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第十章行列式与矩阵后页首页前页第十章行列式与矩阵后页首页前页基本要求、重点难点10.1行列式10.2克拉默法则10.3矩阵及其运算10.4矩阵的初等变换与矩阵的秩10.5逆矩阵第十章行列式与矩阵后页首页前

页基本要求掌握2，3阶行列式的对角线法则。了解排列与反序数的概念，正确理解阶行列式的定义。熟知行列式的性质及其推论，并能熟练掌握运用它们计算行列式。会运用克莱墨法则求解线性方程组和方程组中的未知常数。掌握矩阵的定义。掌握矩阵的运算法则。第

十章行列式与矩阵后页首页前页基本要求掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法。掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法。掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵。掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变

换解线形方程组的方法。第十章行列式与矩阵后页首页前页重点难点重点：行列式的性质和利用性质、按行（列）展开定理计算行列式的方法。矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等变换及线性方程组的解。难点：n阶行列式的定义、

带有字母的行列式和n阶行列式的计算。矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法。第十章行列式与矩阵后页首页前页10.1行列式10.1.1二阶行列式二阶行列式：我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为a11

x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2{用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22-a12a21≠0时，有x1=b1a22-a12b2a11a22-a12b21x2=a11b2-b1a21a11a22-a12a21{第十章行列式与

矩阵后页首页前页上式中分母都是a11a22-a12a21，其中a11，a12，a21，a22是方程组未知数的系数，为了便于记忆与讨论，把它们按照方程组中原来的位置排成一个正方形，如图所示，可以看出：a11a

12a21a22二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，虚线连接的两个数相乘取负号。把这个数定义为二阶行列式，并记作：a11a12a21a22D=defa11a22-a12a21其中a11，a1

2，a21，a22叫做二阶行列式的元素，横排叫行，竖排叫列，a11a22-a12a21叫做行列式的展开式。第十章行列式与矩阵后页首页前页10.1.2三阶行列式含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为：{a11x1+a12x2+a13x3=b

1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x3+a33x3=b3用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32≠0时，有第十章行列式与矩阵后页首

页前页为了便于记忆，我们把未知数的九个系数按照方程组中的位置不变，排成三行三列的正方形，并加两竖线，即a11a12a13a21a22a23a31a32a33规定它表示：a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-

a31a22a13-a21a12a33-a11a32a23，则称上式为三阶行列式。第十章行列式与矩阵后页首页前页10.1.3n阶行列式由上小节中二阶、三阶行列式的定义可得到如下等式：上式可以看作三阶行列式按第一

行元素的展开式，其中三个二阶行列式分别是原来三阶行列式中划去a1j(j=1，2，3)所在行所在列的元素，剩余下来的元素保持原来相对位置所组成行列式，分别称a1j的余子式，记作M1j，而称A1j=(-1)1+jM

1j为元素a1j的代数余子式。有了代数余子式的概念，则上式可写成第十章行列式与矩阵后页首页前页若规定一阶行列式｜a｜=a，则二阶行列式也可定义为定义10.1第十章行列式与矩阵后页首页前页10.1.4行列式的性质第十章行列式与矩阵后页首页前页定理10.1n阶行列式n阶n≥2行列式D等于

它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。即或n阶行列式的任意一行（列）中各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。即推论：第十章行列式与矩阵后页首页前页综合定理及其推论有：例利用定理10.1求行列式第十章行列式与矩阵后页首页前页10.2克莱默（Crame

r)法则定理10.2若n元线性方程组(10.2.1)的系数行列式则方程组(10.2.1)有且仅有一个解：其中Dj(j=1，2，3，…，n)是把D中第j列各元素换成对应的常数项b1，b2，…，bn而其余各项不变，即继续点击第十章行列式与矩阵后页首页前页10.3矩阵及其运算10.3.1矩阵的概念下

例是一个国家的两个机场A1、A2，与另一个国家的三个机场B1、B2、B3的通航网络下图所示。每条连线上的数字表示航线上不同航班的数目。以数表表达一些数量和关系的方法，在经济管理和工程技术中是常用的，称这种数表为矩阵。第十章行列式与矩阵后页首页前页定义

10.3由m×n个数aij(i=1，2，3，…，m;j=1，2，3，…，n)按一定顺序排列成的一个m行n列的矩形数表：称为一个m×n矩阵，通常用大写英文字母A、B、C等表示，可简记为A=(aij)m×n或A=(aij)，其中aij称为矩阵A中第i行第j

列的元素。特别地，当m=n时，此矩阵称为n阶方阵，简称方阵。第十章行列式与矩阵后页首页前页10.3.2几个特殊的矩阵第十章行列式与矩阵后页首页前页1.矩阵的相等定义10.4若两个矩阵A=(aij)s×n，B=(bij)r×m满足(1

)行数相等s=r；(2)列数相等n=m；(3)所有对应元素相等aij=bij(i=1,2,3,…,s;j=1,2,3,…,n).则称矩阵A与B相等，记作A=B.10.3.3矩阵的运算第十章行列式与矩阵后页首页前页2.矩阵的加减法定义10.5设矩阵A=(aij)m×

n，B=(bij)m×n为同型矩阵，则C=(aij±bij)m×n为矩阵A与B的和与差，记作A±B，即A±B=(aij±bij)m×n.不难验证，矩阵的加法满足下列运算规律：(1)交换律：A+B=B+A；(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+

C);第十章行列式与矩阵后页首页前页3.数乘矩阵定义10.6设矩阵A=(aij)m×n，k∈R为常数，则矩阵B=(kaij)m×n称为数k与矩阵A的数乘，简称数乘矩阵，记作kA，即kA=(kaij)m×n.不难验证，设A、B为

同型矩阵，k,k1,k2∈R为任意实数，则数乘矩阵满足：(1)结合律：(k1k2)A=k1(k2A)；(2)分配律：(k1+k2)A=k1A+k2A;k(A+B)=kA+kB；(3)kA=Ok=0或A=O.第十章行

列式与矩阵后页首页前页第十章行列式与矩阵后页首页前页4.矩阵与矩阵相乘定义10.7设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bij)是一个s×n矩阵,规定A与B的积为一个m×n矩阵C=(cij)，其中A与B的乘积记成AB，即C=AB.注意3：只有当

左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时才能相乘。第十章行列式与矩阵后页首页前页对于两个n阶矩阵A与B，一般说ABk≠AkBk。第十章行列式与矩阵后页首页前页5.矩阵的转置定义10.8把矩阵A的行换成同序数的列，得到一

个新的矩阵，称为A的转置，记为AT或A′。第十章行列式与矩阵后页首页前页6.n阶方阵的行列式定义10.9把方阵A的元素按原来的次序排列的行列式，称为方阵A的行列式，记作detA.第十章行列式与矩阵后页首页前页10.4矩阵的初等变换

与矩阵的秩10.4.1矩阵的初等变换定义10.10矩阵的初等行(列)变换是指对矩阵进行下列三种变换：(1)互换矩阵某两行(列)的位置(互换第i,j两行(列)，记为rirj(cicj))；(2)用非零常数遍乘

以矩阵的某一行(列)(用k≠0乘以第i行(列)所有元素，记为kri(kci))；(3)将矩阵的某一行(列)乘以一个常数k加到另一行(列)上(第i行(列)乘以k加到第j行(列)上，记为ri×k+rj(ci×k+cj)).矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵

的初等变换。前页第十章行列式与矩阵后页首页前页10.4.2阶梯形矩阵定义10.11若矩阵B满足：(1)零行(元素全为0的行)在下方；(2)首非零元(即非零行的第一个不为零的元素)的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵B为阶梯形矩阵。定义10

.11若阶梯形矩阵B还满足：(1)非零行的首行非零元都是1；(2)所有首非零元所在列的其他元素都是0，则称为行简化阶梯形矩阵。第十章行列式与矩阵后页首页前页显然，矩阵。定理10.3任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。证略。均为阶

梯形矩阵；其中B2为行简化阶梯形矩阵。应该指出，一个矩阵A可以通过初等行变换化为阶梯形矩阵，这时，就称此阶梯形矩阵为矩阵A的阶梯形矩阵。第十章行列式与矩阵后页首页前页10.4.3矩阵的秩定义10.13矩阵的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作r(A)或R(A)，Ra

nk(A)。第十章行列式与矩阵后页首页前页定义10.14设A为n阶方阵，若r(A)=n，则称A为满秩矩阵，或非奇异的，或非退化的。例如等都是满轶矩阵。关于满轶矩阵我们有如下重要定理。定理10.4任何满秩矩阵都能经过初等行变换成单位矩形。第十章行列式与

矩阵后页首页前页10.5.1逆矩阵的概念10.5逆矩阵对于一般线性方程组由于方程组的解是由未知量的系数aij和常数项bj决定，为此，我们把未知量的系数aij和常数项bj分别以矩阵的形式给出，记第十章行列式与矩阵后页首

页前页由10.3节矩阵的乘法运算以及相等的概念，则方程组(10.5.1)可用矩阵表示为AX=b.(10.5.2)另外我们记第十章行列式与矩阵后页首页前页定义10.15设A是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，若存在一个n阶方阵C

，使得AC=CA=E，则称C为方阵A的逆矩阵(简称逆阵)。记作A-1，即A-1A=AA-1=E。若有逆矩阵存在，则称A是可逆的。有了逆阵的概念，方程组(10.5.2)中，若A可逆，则AX=bA-1=A-1bEX=A-1bX=A-1b.即可用逆矩阵法求方

程组的解。第十章行列式与矩阵后页首页前页10.5.2逆矩阵的性质第十章行列式与矩阵后页首页前页10.5.3逆矩阵存在的充要条件由式(10.1.15)知，n阶行列式detA等于它任一行(列)元素和它对应代数余子式的乘积之和，且任意一行(列)元素和其他行(列)各元素对应代数余子式乘积之和

为零，所以我们把detA中所有元素的代数余子式按一定顺序排列得到一个新的矩阵——伴随矩阵。定义10.15设n阶方阵A=(aij)n×n，其行列式detA中各元素aij的代数余子式为Aij，将Aij按detA

中ai的顺序排列成方阵，再转置后得的方阵称为方阵A的伴随矩阵，记作A*，即第十章行列式与矩阵后页首页前页由式(10.1.15)易知同理可得A*A=(detA)E。若detA≠0，则有这说明方阵A可逆，且A-1=，再由性质10.11，得下面一个定理。第十章行列式与矩阵后页首页前页

定理10.5方阵A可逆的充要条件是detA≠0，且当A可逆时有A-1=.由定理10.5可以得到以下两个方面：(1)判断方阵A是否可逆：先求出detA，若detA≠0，则A一定可逆；否则，A一定不可逆；(2)用伴随矩阵求逆阵

：先求出detA的值判定方阵A是否可逆；若detA≠0，再按A*中Aij的排列顺序分别求出detA中元素aij的代数余子式Aij，求出A*，则A-1=。第十章行列式与矩阵后页首页前页定理10.6n阶矩阵A可逆的充要条件是A为满秩矩阵，即r(A)=n.

如第十章行列式与矩阵后页首页前页定理10.7设A、B都是n阶方阵，若AB=E，则A、B均为可逆矩阵，且A-1=B.证因为AB=E，det(AB)=detAdetB=detE=1，所以detA≠0知A可逆，设逆阵为A-1，由于BA=E(BA)=(A-1A)

(BA)=A-1(AB)A=A-1EA=A-1A=E，所以B是A的逆矩阵，再由逆矩阵的惟一性知A-1=B.利用定理10.7判定矩阵A是否可逆，比直接用定义判定要简单。第十章行列式与矩阵后页首页前页10.5.4逆矩阵的求

法具体方法是：对n×2n矩阵(AE)进行一系列初等行变换，当A变成E时，右边的E就同步地变成A-1，于是有如下定理定理10.8可逆矩阵A经过一系列初等行变换后，一定可化为单位矩阵，同时，同样的初等行变换作

用于E，可将E化为A-1。第十章行列式与矩阵后页首页前页10.5.5矩阵方程的求解设A为n阶可逆方程，Bn×m为已知矩阵，Xn×m为未知矩阵，且AX=B，我们来求解这样的矩阵方程。由于A可逆，设逆阵为A-1，对方程两端左乘A-1，可得X=(A-1A)X=A-1B。而对A左乘A-1，实际上就相

当于对A作初等行变换化为单位矩阵，同样的变换作用于B，即得A-1B，亦即X。类似地，设Bn×m为已知矩阵，Xn×m为未知矩阵，且XA=B，也可以用初等列变换的方法直接求出。第十章行列式与矩阵后页首页前页10.6.1实验目的1.掌握Mathematica中矩阵的输入方法；

2.学习用Mathematica计算行列式；3.学习用Mathematica进行矩阵的基本运算；4.学习用Mathematica求逆矩阵及矩阵的秩。10.6演示与实验九第十章行列式与矩阵后页首页前页10.6.2

内容与步骤1.Mathematica中矩阵的输入方法线性代数中的大量计算都是针对矩阵的，在Mathematica中矩阵的输入方法有以下几种：(1)按表的形式输入矩阵A=｛｛a11,a12,…，a1n｝，｛a21,a22,…，a2n｝，…，｛am

1,am2,…，amn｝｝还可以用函数a(i,j)生成一个矩阵，也是表的形式，格式如下：B=Table［a(i,j),｛i,l,m｝,｛j,l,n｝］(2)由模板输入矩阵步骤如下：(a)在基本输入模板中单击二阶方阵模块，输入一个空白的二阶方阵；(b)按“Ctrl+，”使矩阵增加

一列；(c)按“Ctrl+Enter”使矩阵增加一行。如果矩阵不大，此法较方便.(3)由菜单输入矩阵如果输入行、列数较多的矩阵，打开主菜单的Input项，单击CreateTable/Matrix/Palette项，即可打开一个创建矩阵的对话

框，输入行数、列数，单击OK即可得到一个空白的矩阵，填入数据即可。对于存入系统中的矩阵可以直接调用，并进行各种运算。第十章行列式与矩阵后页首页前页2.计算行列式的值命令格式：Det［A］例10.6.1计算行列式的值。首先以表的形式输入矩阵，然后计算矩阵的行列式，输入如下命令：A=｛｛2

,8,-5,1｝,｛1,9,0,-6｝,｛0,-5,-1,2｝,｛1,0,-7,6｝｝；Det[A］执行，得结果-108。第十章行列式与矩阵后页首页前页3.矩阵的基本运算命令格式：A+B矩阵A和B相加k*A常数k和矩阵A相乘Transpose［M］矩阵M的转置A.B矩阵A和B相乘M

atrixForm［M］用标准形式表示矩阵M∥MatrixForm直接将矩阵M以标准化形式输出。第十章行列式与矩阵后页首页前页4.矩阵求逆命令格式：Inverse［A］求方阵A的逆矩阵。Inverse［A］∥MatrixForm求方阵A的逆矩阵，并以标准形

式输出。5.求矩阵的秩方法：用初等变换将矩阵化为行最简形，数一数非零行数即可。命令格式：RowReduce［M］6.注意事项(1)定义矩阵时可使用A、B、M、P等符号，但不能使用C、D、E，因为在Mathematica中C、D、E有各自的意义

，代表固定的参数；(2)以上例题中的矩阵都是以表的形式输入的，大家可以尝试用其他两种方法输入矩阵。后页首页前页