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第七章多元微积分简介后页首页前页第七章多元微积分简介后页首页前页基本要求、重点难点7.1空间解析几何简介7.2多元函数的概念、极限和连续性7.3偏导数与全微分7.4复合函数和隐函数的微分法第七章多元微积分简介

后页首页前页7.5多元函数的极值7.6二重积分7.7演示与实验六第七章多元微积分简介后页首页前页基本要求掌握多元函数以及多元嫦娥数微积的法则。了解微积分及其应用，且以二元函数为主原由。掌握三元以及一般n元函数的性质，特点。了解一些空间解析几何的概念。理解多元函数的偏导数与全微分

的概念，熟练掌握多元复合函数与隐函数的偏导数的求法。掌握二元函数定义、定义域的求法与表示法。第七章多元微积分简介后页首页前页重点难点重点：函数的微积分应用以及二元函数。多元函数的概念、极限和连续性。难点：多元函数的偏导数、极值及其在经济分析中的应用

。第七章多元微积分简介后页首页前页7.1空间解析几何简介7.1.1空间直角坐标系第七章多元微积分简介后页首页前页7.1.2平面与直线一、平面方程例求与二定点M1(1,－1,0)、M2(2，0，－2)距离相等的点M(x

,y,z)的轨迹方程。解依题意有|MM1|＝|MM2|，由两点间距离公式得化简后可得点M的轨迹方程为x+y－2z－3＝0。中学几何中，已知动点M的轨迹是线段M1M2的垂直平分面。因此上面所求的方程即为该平面的方程。可以证明空间中任一个平面的方程为三元一次方程Ax+By+Cz+D＝0,其

中A、B、C、D均为常数，且A、B、C不全为零。二、直线方程空间直线也可看作两个平面的交线，所以直线方程可用这两个平面方程的联立方程来表示，即其中A1，B1，C1与A2，B2，C2不成比例。继续点击第七章多元微积分简介后页首页前页7.1.3曲面如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,

z)＝0，而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)＝0,那么方程F(x,y,z)＝0称为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)＝0的图形。第七章多元微积分简介后页首页前页7.2多元函数的概念、极限和连续性7.2.1多元函数的概念定义7.1设平面上有

一个非空点集D，如果有一个对应规律f，使每一个点(x,y)∈D都对应于惟一的一个实数z，则称z是D上的二元函数，它在(x,y)处的值称为函数值，记为f(x,y),即z＝f(x,y)。D称为该函数的定义域，

x,y称为自变量，z称为因变量或函数。在解析几何中，一个二元有序数组(x,y)对应于平面上一个点，这种点的集合称为平面点集。类似地，一个三元有序数值(x,y,z)对应于空间内一点，这种点的集合称为空间点集。令ρ＝(x－

x０)2+(y－y０)2为点P(x,y)与点P(x0,y0)间的距离，则满足ρ＜δ的点集，称为点(x0,y0)的δ邻域(δ为常数)。√______________第七章多元微积分简介后页首页前页7.2.2二元函数的极限定义7.2设函数z＝f(x,y)在平面区域

D内点P0(x0,y0)的邻域有定义(可不包括P0)。若当点P(x,y)无限接近点P0(x0,y0)(可不达到P0)时，对应的函数值f(x,y)无限趋近于某一常数A，则称在(x0,y0)点，函数f(x,y

)的极限为A，记为第七章多元微积分简介后页首页前页7.2.3二元函数的连续性定义7.3设二元函数f(x,y)在平面区域D内点(x0,y0)邻域有定义，如果lim(f,x)＝f(x0,y0)，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，(x0,y0)为函数f(x,y)的连续点。如果f(x,y)

在(x0,y0)处不连续，那么称f(x,y)在(x0,y0)处间断，(x0,y0)为函数f(x,y)的间断点。(x,y)→(x,y)如果函数f(x,y)在平面区域D内的每一点都连续，那么称函数f(x,y)在区域D内连续。第七章多元微积

分简介后页首页前页7.3偏导数与全微分7.3.1多元函数的偏导数一、一阶偏导数在热学中，需要研究下面两种情况：(1)等温过程，即温度不变(T＝T0常数)时，考察因压强P的变化而引起体积V的变化，这导致V关于P的

变化率：(2)等压过程，即压强不变(P＝P0常数)时，考察因温度T的变化而引起体积V的变化，这导致V关于T的变化率：第七章多元微积分简介后页首页前页定义7.4设函数z＝f(x,y)在点(x0,y0)的

某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量(偏增量)如果存在，则称此极限为函数z＝f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作类似地，函数z＝f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为记为如果函数z＝f(x,y

)在平面区域D内每一点(x,y)处对x(或y)的偏导数都存在，那么称函数f(x,y)在D内有对x(或y)的偏导函数，简称偏导数。记作第七章多元微积分简介后页首页前页第七章多元微积分简介后页首页前页7.3.2全微分一、全微分的概念定义7.5若函数z＝f(x,y)在点

(x0,y0)的全增量Δz＝f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0)可表示为Δz＝AΔx+BΔy+o(ρ)。其中A、B与Δx、Δy无关，而o(ρ)ρ＝Δx２＋Δy２是的高阶无穷小，即lim＝０，则称AΔx+BΔy为

函数z＝f(x,y)在(x0,y0)处的全微分，记作dz，即dz＝AΔx+BΔy。此时也称函数z＝f(x,y)在点(x0,y0)可微。若z＝f(x,y)在区域D内每一点可微，则称函数f(x,y)在D内

可微。ρ→０o(ρ)ρ定理7.2若函数z＝f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。定理7.3(可微的必要条件)若函数z＝f(x,y)在点(x,y)可微，则函数z＝f(x,y)在点(x,y)必存在偏导数，且A＝,B＝。əzəxəzəy继续点击定理

7.4(可微的充分条件)若z＝f(x,y)在点(x,y)处的两个偏导数存在且连续，则此函数在该点一定可微。第七章多元微积分简介后页首页前页二、全微分在近似计算中的应用由二元函数全微分的概念可得Δz＝f′

x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy+o(ρ)，由于o(ρ)为ρ的高阶无穷小(ρ→0时)，因此当|Δx|与|Δy|都较小时，可略去o(ρ)项，得到近似公式为f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy。第七章多元微积分简介后页首页前页7.4复合

函数和隐函数的微分法7.4.1复合函数的微分法一、全微分的概念定理7.5(可微的必要条件)若函数z＝f(u,v)关于u,v的偏导数连续。又函数u＝φ(x,y),v＝ψ(x,y)关于x,y的偏导数连续，则复合函数z＝f［φ(x,y),ψ(x,y)］关于x,y的偏导数存在且连续，并有第七

章多元微积分简介后页首页前页7.4.2全微分形式的不变性定理7.6(可微的必要条件)设z＝f(u,v)有连续偏导数，而u＝u(x,y),v＝v(x,y)也有连续偏导数，则无论u,v是否为自变量，都有第七章多元微积分简介后页首页前页7.4.3隐

函数的微分法(1)在一元函数中已经讨论过用隐函数求导法，求由方程F(x,y)＝0所确定的隐函数y＝f(x)的导数dydx。这个问题还可以用多元复合函数的微分法来解决。现给出其公式：若≠0，则由F［x,f(x)］≡0有可得əəFy第七章多元

微积分简介后页首页前页(2)对于由方程F(x,y,z)＝0所确定的隐函数z＝f(x,y)，如果≠0，则由F［x,y,f(x,y)］≡0，有得əəFz第七章多元微积分简介后页首页前页7.5多元函数的极值7

.5.1二元函数的极值定义7.6设函数z＝f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域有定义，如果在此邻域内异于点(x0,y0)的任何点(x,y)，恒有f(x,y)＜f(x0,y0)(f(x,y)＞f(x0,y0))，那么称点(x0

,y0)为函数z＝f(x,y)的极大点(极小点)。f(x0,y0)称为极大值(极小值)。极大点和极小点统称极值点，极大值和极小值统称极值。定理7.7(极值存在的必要条件)设函数z＝f(x,y)在点(x0,y0)的一个邻域内有定义且存在一阶偏导数，如果(x0

,y0)是极值点，则有f′x(x0,y0)＝0,f′y(x0,y0)＝0。第七章多元微积分简介后页首页前页定理7.8(极值存在的充分条件)设函数z＝f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又f′x(x0,y0)＝0,f′y(x

0,y0)＝0，令f′xx(x0,y0)＝A,f′xy(x0,y0)＝B,f′yy(x0,y0)＝C,则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC－B2＞0时具有极值，且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值；(2)AC

－B2＜0时没有极值；(3)AC－B2＝0时无法判断。第七章多元微积分简介后页首页前页7.5.2最大值和最小值应用问题第七章多元微积分简介后页首页前页7.5.3条件极值上面给出的求二元函数f(x,y)极值的方法中，两个自变量x与y是相互

独立的，即不受其他条件约束，此时的极值称为无条件极值，简称极值。若自变量x与y之间还要满足一定的条件φ(x,y)＝0，称为约束条件或约束方程，这时所求的极值叫做条件极值。拉格朗日乘数法：求函数z＝f(x,y)在条件φ(x,y)＝0下的可能极值点的步骤为：(1)作辅助

函数(称为拉格朗日函数)。F(x,y,λ)＝f(x,y)+λφ(x,y)，其中λ称为拉格朗日乘数。(2)求F(x,y,λ)对x,y,λ的一阶偏导数，并令其为零，即＝f′x(x,y)+λφ′x(x,y)＝0,＝f′y(x,y)+λφ′y(x,y)＝0,＝φ

(x,y)＝0。解出x,y,λ，则(x,y)是原来的条件极值问题的可能极值点。əəFxəəFyəFəλ第七章多元微积分简介后页首页前页7.6.1二重积分的概念7.6二重积分第七章多元微积分简介后页首页前页7.6.2二重积分的计算性质与定积分比较

，很容易得到二重积分的性质.现假定所涉及的被积函数在相应的区域上都是可积的，则对二重积分的计算性质叙述如下：第七章多元微积分简介后页首页前页7.6.3二重积分的计算几何观点：假定f(x,y)≥0，记以曲面z＝f(x,y)为顶，以有界闭区域D为

底的曲顶柱体体积为V，则设积分区域D可以用不等式来表示(如左下图)，其中函数φ1(x),φ2(x)在区间［a,b］上连续。此式右端是两个定积分：先对y积分，后对x积分，称之为累次积分。y称为内积分变量，x称为外积分变量。函数y＝φ1(x),y＝φ2(x)在

［a,b］上连续，函数z＝f(x,y)在D上连续，则有下列公式第七章多元微积分简介后页首页前页第七章多元微积分简介后页首页前页7.7演示与实验六7.7.1实验目的1.学习用Mathematica画二元函数的图形；2.学习用Mathematica求多元函数的偏导数及全微分；3.学习用Mathe

matica求多元函数的极值；4.学习用Mathematica求重积分。第七章多元微积分简介后页首页前页7.7.2内容与步骤1.Mathematica画二元函数的图形命令格式：Plot3D［f,｛x,xmin,xmax｝,{y,ymin,

ymax}］2.用Mathematica求多元函数的偏导数及全微分(1)求一阶偏导数命令格式：D［函数，自变量］(2)求高阶偏导数命令格式：D［函数，{自变量，阶数}］(求函数对一个自变量的高阶导数)D［函数，自变量1，自变量2］(求函数对两个自变量的混合二阶偏导数)(3)求全微分命令格式：D

t［函数］后页首页前页