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第五章积分的应用后页首页前页第五章积分的应用后页首页前页基本要求、重点难点5.1定积分的微元法5.2平面图形的面积5.3空间立体的体积5.4其他应用实例5.5积分数学模型实例第五章积分的应用后页首页前页基本要求掌握微元法的概念。了解几何、物理中的问题以及简单

的数学模型。了解平面图开的面积、空间立体的体积。会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和一些简单的经济应用题。第五章积分的应用后页首页前页重点难点重点：某个定积分的分析方法——微元法。微积数学模型的应用。难点：

定积分在各种领域的应用。第五章积分的应用后页首页前页5.1定积分的微元法微元法骤是：(1)分割：用任意一组分点把区间［a,b］分成长度为Δxi(i＝1,2,…，n)的n个小区间，则所求量Q(面积或路程)分成n个部分量ΔQi(i＝1,2,…,n),即Q＝ΔQi；(2)近似代替，求和：

ΔQi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi)，从而Q≈f(ξi)Δxi；(3)取极限，令λ＝{Δxi}，得：Q＝f(ξi)Δxi＝f(x)dx。∑ni＝1∑ni＝1max1≤i≤nlimλ→０∑ni＝1∫ba第五章积分的应用后页首页前页若某一实际问题所求量Q符合下列条件：(1)是一个与变

量变化区间［a,b］有关的量；(2)对于区间［a,b］具有可加性；(3)ΔQi≈f(ξi)Δxi(误差是比Δxi高阶的无穷小)。用定积分来表达这个量，具体步骤如下：(实用上，为了简便，省略下标)第五章积分的应用后页首页前页5.2平面图形的面积5

.2.1直角坐标情形第五章积分的应用后页首页前页.2.2极坐标情形1.原函数和不定积分概念设连续曲线是极坐标方程r＝r(θ),α≤θ≤β。求由曲线r＝r(θ)及二射线θ＝α，θ＝β所围成区域的面积(如图)。应用微元法在［α，β］上任取一个θ，它的极径r＝r(θ)。在角θ处的面

积微元dA是以极径r(θ)为半径，以dθ为圆心角的扇形面积，即dA＝r2dθ＝［r(θ)］2dθ再对每一个θ，将对应的扇形面积微元dA从α到β无限累加起来，即由α到β的定积分就是区域的面积这就是极坐标下的面积公式。1212

第五章积分的应用后页首页前页5.3空间立体的体积5.3.1平行截面面积为已知的立体的体积如图，设有一立体，夹在过点x＝a、x＝b(a＜b)且垂直于x轴的两个平行平面之间，用一组垂直于x轴的平面截此立体所得截面面积A＝A(x)是x的已知的连续函数，求此立体的体积V。取

x为积分变量，它的变化区间为［a,b］，立体中相应于［a,b］上任一小区间［x,x+dx］的一薄片的体积，近似于底面积为A(x)，高为dx的扁柱体的体积，即体积微元dV＝A(x)dx。以A(x)dx为被积表达式，在闭区间［a,b］上作定积分，便得所求立体体

积V＝dV＝A(x)dx。∫ba∫ba第五章积分的应用后页首页前页第五章积分的应用后页首页前页5.3.2旋转体体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体。圆柱、圆锥、圆台、球体可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转

一周而成的立体，所以它们均为旋转体。在区间［a,b］上的非负连续曲线y＝f(x)、x轴、直线x＝a、x＝b所围成曲边梯形绕x轴旋转一周，得到旋转体。现在我们求该旋转体的体积。区间［a,b］上任一点x处垂直于x轴的截面为以f(x)为半径的圆盘(图)，其面积为第五

章积分的应用后页首页前页。于是得旋转体体积为。同理得区间［c,d］上非负连续函数x＝φ(y)、y轴、直线y＝c、y＝d围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。第五章积分的应用后页首页前页5.4其他应用实例

5.4.1物理应用第五章积分的应用后页首页前页5.4.2其他应用举例第五章积分的应用后页首页前页5.5积分数学模型实例后页首页前页