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第二章导数与微分后页首页前页第二章导数与微分后页首页前页基本要求、重点难点2.1导数概念2.2导数的基本公式与运算法则2.3殊函数求导法及高阶导数第二章导数与微分后页首页前页2.4变化率问题实例2.5微分2.6演示

与实验二第二章导数与微分后页首页前页基本要求掌握导数的概念、基本公式与运算法则，并会用定义求一些简单函数的导数。了解导数在各种领域的应用并观察其自变量有微小改变时，函数大体上的变化。掌握特殊函数求导法和高阶导数。第二章导数与微分后

页首页前页重点难点重点：微分概念的理论和实际应用。导数在各种领域的应用。导数的概念、导数公式和求导法则。难点：导数的概念、导数公式和求导法则。第二章导数与微分后页首页前页2.1导数概念2.1.1引例当M沿曲线C趋向于M0时，割线M0M的极限位置是直线M0T，这正是曲线C在点M

0处的切线。因此，切线的斜率为：若这个极限不存在(且不是无穷大)，则曲线在M0处无切线。第二章导数与微分后页首页前页2.1.2导数的定义定义2.1设函数y＝f(x)在点x0的某个邻域内有定义。当自变量x在x0处有增量Δx(Δx≠0)时，相应的函数值有增量Δy＝f(x0+Δx)—f(x0)

。如果当Δx→0时，ΔyΔx的极限存在，即存在，那么称此极限值为f(x)在x0处的导数，并称函数f(x)在x0处可导。f(x)在x0处的导数记作Δy/Δx称为f(x)在区间［x0，x0+Δx］上的平均变化率。导数f′(x0)也称为f(x)在x0处的

瞬时变化率(简称变化率)。第二章导数与微分后页首页前页定义2.2若函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，则称函数f(x)在区间(a，b)上可导。这时函数f(x)对于(a，b)内每一个确定的值，都对应一个确

定的导数值，因此构成了一个新的函数，这个函数叫做f(x)的导函数，简称导数，记作f′(x)或dy/dx。第二章导数与微分后页首页前页2.1.3导数的几何意义从引例可以看出，函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线

的斜率。如f(x)＝x3，f′(1)＝3，说明曲线y＝x3在点(1，1)处的切线斜率为3。由直线的点斜式方程可知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)

。第二章导数与微分后页首页前页2.1.4函数的可导性与连续性的关系定理2.1如果函数y＝f(x)在点x0处可导，则y＝f(x)在x0处连续。注意：定理2.1的逆命题并不成立，即函数y＝f(x)在x0处连续，但不一定在该

点可导。第二章导数与微分后页首页前页2.2导数的基本公式与运算法则2.2.1基本初等函数的导数第二章导数与微分后页首页前页2.2.2函数的和、差、积、商的求导法则第二章导数与微分后页首页前页2.2.3初等函数的导数至此，我们已经推导出所有基本初等函数的导数公式，为查阅方便，把这些公式

汇总如下：第二章导数与微分后页首页前页2.3殊函数求导法及高阶导数2.3.1隐函数的导数函数总是用自变量的一个表达式来表示因变量，即形如y＝f(x)的形式。变量间的函数关系隐含在一个方程F(x，y)＝0之中，如3x－2y+5＝0，ex+y＝x·y等这种形式表示的函数。显函数

：隐函数：继续点击第二章导数与微分后页首页前页2.3.2由参数方程所确定函数的求导法圆的参数方程椭圆的参数方程为一般地，设t为参数，则参数方程由参数方程确定的函数：表示平面上一条曲线，当给定一个t值时，由参

数方程确定了x和y的相应值。当φ(t)满足一定条件时，以参数t为桥梁，参数方程可以确定y和x之间的函数关系的这种函数。若要求曲线上一点的切线斜率，也就是要求这个函数的导数。由参数方程确定的函数的导数：将x＝φ(t)的反函数t＝h(x)代入y＝ψ(t)中得复合函数y＝ψ［h(

x)］，再用复合函数求导法求。dydxdydx第二章导数与微分后页首页前页由反函数求导法知因此，不必求出x＝φ(t)的反函数即可得导数公式：第二章导数与微分后页首页前页2.3.3高阶导数函数y＝f(x)的导数y′＝f′(x)仍是x的函数，称为函数y＝f(x)的一阶导数。如果一阶导数f′(x

)仍是可导的，则称f′(x)的导数为y＝f(x)的二阶导数，记为即二阶导数的导数为三阶导数，…，一般地，(n－1)阶导数的导数为n阶导数。三阶以上的导数依次记为：即y(n－1)与y(n)的关系正如y与y′的关系一样。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。第二章导数与微分后页首页前页2

.4变化率问题实例2.4.1物理学方面的变化率问题(导数问题)在引入导数概念时我们曾用变速直线运动的瞬时速度作为例子，就是物理学中的导数问题(变化率问题)。第二章导数与微分后页首页前页2.4.2化学方面在引入

导数概念时我们曾用变速直线运动的瞬时速度作为例子，就是物理学中的导数问题(变化率问题)。第二章导数与微分后页首页前页2.4.3生物学方面第二章导数与微分后页首页前页2.4.4经济学方面第二章导数与微分后页首页前页2.4.5其他科学领域几乎

所有的科学领域都有变化率的问题。地质学家希望知道浸入的融岩通过向周围的岩石进行热量传导而冷却的速度。都市地理学家要了解城市人口密度关于到市中心距离的变化率。气象学家则关心大气压力关于高度的变化率。心理学中对学习理论感兴趣的人会研究反映某种技艺学习过程中的学习

成绩p与培训时间t之间关系的所谓学习曲线，特别想知道成绩随时间的提高率，即导数。在社会学方面，导数可用于分析信息的传播、新方法的推广、服饰新款的流行等等问题。如果p(t)表示t时刻知道某信息的人口比例，那么导数表示信息的传播速度。以上

我们列举了物理学、化学、生物学、经济学等众多领域中变化率的例子，它们都是导数概念的各种具体表现形式，因此，对导数的进一步研究不仅是数学本身的需要，也是各门学科的共同要求。下一章将专门学习导数的应用。dpdtdpdt第二章导数与微分后页首

页前页2.5微分2.5.1函数的线性逼近和微分定义2.3设函数y＝f(x)在点x有导数f′(x)，则称f′(x)Δx为函数y＝f(x)在点x处的微分，记作dy，即dy＝f(x0)Δx。这时也称函数y＝f(x)在x处是可微分的，或简称函数y＝f(x)在

点x处可微。这个定义也可简述为：函数的微分等于函数的导数与自变量增量的乘积。微分具有如下特点：(1)当f′(x)≠0，|Δx|1时，微分是函数增量的主要部分，因此可用微分dy来近似代替函数的增量Δy，即dy≈Δy；(2)dy是Δx的线性函数，用微分近似表示函数增量简便易求。微商：dy＝f

′(x)dx改写为dy/dx＝f′(x)，则左边是函数微分与自变量微分之商，所以导数也称为微商。＜＜第二章导数与微分后页首页前页2.5.2微分的求法由微分的定义可知：一个函数的微分就是它的导数与自变量微

分的乘积.所以，只要会求导数，微分立即可得。例求y＝sinx的微分。解因为y′＝(sinx)′＝cosx，所以dy＝dsinx＝y′dx＝cosxdx。由复合函数的求导法则可知，复合函数y＝f［φ(x)］的微分是dy＝f′［φ(x)］·φ′(x)dx。由于u＝φ(x)的微分是du＝φ′

(x)dx，所以上式可写成：dy＝f′(u)du。微分形式的不变性：尽管u是中间变量，不是自变量，仍然与u是自变量时函数的微分形式是一样的。第二章导数与微分后页首页前页2.5.3微分在近似计算中的应用当函数y＝f(x)在x0处可导，f′(x0)≠0，且|Δ

x|1时，可用微分近似代替其增量，即Δy≈dy＝f′(x0)Δx。也可以用切线方程y＝f(x0)+f′(x0)(x－x0)来近似代替函数y＝f(x)，即f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0)。＜＜第二章导数与微分后页首页前页2.6.

1实验目的1.学习用Mathematica辅助理解导数概念；2.学习用Mathematica求函数的导数。2.6演示与实验二第二章导数与微分后页首页前页2.6.2原理与方法由导数的定义知，其几何意义是切线斜率，即割线斜率的极限。我们利用Mathematica可以通过数

值演示、图形演示和动画演示等方式观察割线斜率的变化过程，或割线的运动过程。第二章导数与微分后页首页前页2.6.3内容与步骤1.用Mathematica辅助理解导数概念(1)数值演示(2)图形演示(3)动画演示2.用Mathematica

求函数的导数和微分(1)用D［f［x］,x］语句求函数f的一阶导数(2)用D［f［x］,{x,n}］语句求函数f的n阶导(3)若已经自定义了函数f(x)，则用f［x］也可以求其导数，其中的求导符号“′”用单引号键输

入，这也符合我们的手写习惯。(4)利用Dt命令求函数的微分(5)求隐函数的导数(6)求由参数方程所确定的函数的导数后页首页前页