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第二节建立数学模型的一般步骤和原则第三节常用的数学建模方法一、建立数学模型的一般步骤和原则1、数学建模的定义2、数学建模的一般步骤和原则3、应用举例数学建模的定义一个过程一种科学方法实际问题数学模型观察力、想像力、逻辑思维抽象、简化，反复探索、逐步

完善特点：定量的、从无到有的创新活动过程。模型分析合格到实际中检验应用重新建模合格不合格数字结果稳定性分析灵敏度分析误差分析重新建模评价、预测、优化评价不合格评价合格数学建模的一般步骤和原则（建模过程）（1）建模准备（2）

建模假设（3）模型构造（4）模型求解（5）模型分析（6）模型检验（7）模型应用选题:是确立建模课题的过程，就是要了解问题的实际背景，明确建模的目的。最关键的一步:根据建模的目的对原型进行适当的抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象

出来，简化掉那些非本质的因素、使之摆脱原来的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件。合理性原则：(a)目的性原则(b)简明性原则(c)真实性原则(d)全面性原则假设分析选择工具与方法模型模型分析设计或选择数学方法和算法编程或选软件包计算例：设长为l的均匀细杆，杆的侧面是绝热的。假设

热是经过杆的两个端点流到外介质或流入杆内，且杆的两端保持零度。已知初始温度的分布为φ（x），求该问题的解。模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析、检验模型应用例题：以金属材料中空位形成能为例研究建模过程基本步骤：（1）建模准备背景：原子能的发展对于金属研究的影响辐照电离固体受到辐照蜕变后

产生效应离位(产生空位和填隙原子)最主要(2)建模假设和构造模型（A）晶体（B）结构——面心立方假设（C）原子间的交互作用限于最近邻（D）空位的形成能：在晶体内取出一个原子放到晶体的表面(但不改变晶体的表面能)所需要的能量（E）为了不影响晶体的表面积，取出的原子应放在晶体表面的台阶处(3

)模型求解和模型分析取出一个原子：割断12个键(面心立方结构的配位数为12)在表面台阶处置放一原子：要形成6个键净效应：割断6个键结论：空位形成能应和晶体的结合能(即升华能)相等(4)模型检验模型得出的结论—空位形成能和结合能之间有密切的关系是符合实验

事实的：结合能愈大，熔点愈高，则空位的形成能也愈大。空位形成能≈（1/2～1/4）结合能（实际）二者相等的观点（A）没考虑金属键的特征是非常粗略的（B）没考虑空位周围原子的位移（1）晶体（2）空位源的前身：点阵中的一个正离子（3）其所带的正电荷均匀地散布在晶体

中，整个晶体仍保持电中性，空位的静电效应和一个零价的溶质原子相似。（4）在单价金属中，空位的附加电荷为-Ze(即Z=-1)，引起导带电子的屏蔽效应。达到平衡状态后，空位周围只保留局部的干扰电势Vp，产生静电能的增加。（5）当正离子被放到台阶处后，自由电子气膨胀，费米能下

降。（6）空位形成能≈静电能的增加+总费米能的变化重新建模假设：模型求解（1）求静电能的增加条件：（A）局部干扰电势Vp（B）导带的电子浓度为nRPdrrVnE0214据固体物理知识，静电能的增加E1为：根据电子屏蔽模型有，Vp与Z满足如下关系：RPMZdrrVEN02014)(

)(01MENnE对自由电子210)(CEENMMEEMCEdEECdEENn002321032)(MEE3210()nENE（2）求费米能的总变化据固体物理原理，对n的表达式进行变化得

32)23(CVNEM当自由电子体积膨胀△V时VVEEMM32MMEEE5253322122243515MMMEEEEEE动能为总能量的3/5，费米能的总变化E2为：空位形成能E为：VdVdEEM

MVNnCnEM32)23(模型检验如果考虑到空位周围的原子略有松弛，可能降低能量，因而有第三项E3，比如对铜的估计值为-0.3eV。E=E1+E2+E3模型应用建立空位形成能计算模型后，根据自由能极小

的条件，可以求出在热力学平衡状态下的空位浓度式中，c为平衡状态下的空位浓度；Uf为空位形成能；Sf为形成一个空位改变了周围的原子振动所引起的振动熵；k为玻尔兹曼常数；T为热力学温度。（1）定义：通过描述系统

功能的数据分析来建立数学模型（2）条件：当系统的结构性质不大清楚，无法从理论分析中得到系统的规律，也不便于类比分析，但有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可利用时（1）定义：根据两个(或两类)系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种

方法（2）条件：两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述二、常用数学建模方法1、理论分析法2、模拟方法3、类比分析法4、数据分析法5、人工假设法6、物理系统建模法（1）定义：以结构和性质与被研究系统相同，而且构造出的模型也类似的系统代替被研究系统来建立数学模型的方法。（2）条件：模型

的结构及性质已经了解，但其数量描述及求解却相当麻烦。（1）定义：指应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。（2）条件：工艺比较成熟、对机理比较了解时（1）定义：人为地组成一个系统，基于对系统过去行为的了解和对

未来希望达到的目标，并考虑到系统中有关因素的可能变化，将系统中不确定因素假定为若干组确定的取值，从而建立系统的模型。（2）条件：假设应合理，模型是一个反复修改、不断完善的长期过程。应用：主要用来分析大规模复杂系统（如社会经

济系统、军事系统等）。（1）定义：为了完成对各种各样的物理系统进行分析和优化设计的目的，而建立数学模型的方法。（2）分类：一类是从系统各个部件的工作机理出发，列出各个变量之间的数学关系式；另一类是把系统看作是一个黑箱，假设它可以用某种数学

方程来描述，然后根据其输入输出量的测量值进行模型的辩识，以求得所需数学模型。（3）步骤：确定系统的基本物理变量；选择独立的特征变量。理论分析法例:在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式。炉气碳势：体系中碳的平衡浓度（Cc）模型假设：钢在炉气中发生如下反应：CFe+C

O2=2CO（1-12）据化学平衡原理可求出平衡常数K2为将wc(A)和平衡常数(K2)的计算式代入式(1-16)，可求得碳势与炉气CO、CO2含量及温度之间的关系式。在理论分析的基础上，根据实验数据进行修正，可得出实用的碳势控制数学模型。单参数

碳势控制的数学模型的建立甲醇加煤油气氛渗碳中，炉气碳势与CO2含量的关系，实际数据见表1-2。由前面炉气的化学反应及平衡常数之间的互换关系得知：据定义知在温度一定时，CC(A)和K2均为常数，如不考虑CO及其他因素的影响，将φco等视为常数，可得出设lgCC=Y，lgA=a，lgφCO2=x，

系数为b，可得利用表中的实验数据进行回归，求出回归方程为y=-0.02278-0.3874x模拟方法问题：（1）一个人能否经过每座桥恰好一次？（2）能否恰好经过每座桥一次并且最后能回到原出发点？例：“哥尼斯堡七桥问题”1736年被Euler解决CEuler采用方法：模拟法建立

“数学模型”建模：将人们企图一次无重复地走过7座桥的问题等价于一笔画出上述图形的问题(每条边必须且只须经过一次)。Euler解决七桥问题的思路：先考虑一般化问题。一般问题：给定任意一个河道图与任意多座桥，可否判断每座桥能否恰好走过一次呢？一笔画的结构特征：有起点和终点（若起点与终点重合时即为E

uler图）；除起点与终点处，一笔画中出现的交点处总是一进一出，交点进出的总边数为偶数。•因此一笔画问题与经过点的线的条数有关系，为方便起见，若与一点相连的线的条数为偶数，则称此点为偶点。•由上可知，“过路点”是偶点。同理，如果起点和终点是同一点，那么

它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。•最后我们可以确定，图能一笔画的两个条件：1、图是连通的，2、图中的奇点数为0或2。Euler给出一般结论：（1）连接奇数个桥的

陆地仅有一个或超过两个以上，不能实现一笔画。（2）连接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一陆地。（3）每个陆地连接有偶数个桥时，则从两者任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。对于模拟图，显然

图必须是连通的，当且仅当图为Euler图时，问题（2）才能实现，由模型图可知，问题无解。数据分析法例：求一条通过或接近一组数据点的曲线，这一过程叫曲线拟合，而表示曲线的数学式称为回归方程。一般方法：利用最小二乘法的原理设有一未知系统，已测得该系统有n个输入-输出数据点为无论x，y为什么函数

关系，假设用一多项式作为对输出(观测值)y的估计(用表示)。若能确定其阶数及系数b0，b1…，bm，则所得到的就是回归方程—数学模型。各项系数即回归系数。yˆyˆ当输入为xi，输出为yi时，多项式拟合曲线相应于xi的估计值为现在要使多项式估值与观测值yi的差的平方和为最小，这就是最

小二乘法，有例：经实验获得低碳钢的屈服点σs与晶粒直径d对应关系见表1-3中，用最小二乘法建立起d与σs之间关系的数学模型(霍尔-配奇公式)。构造函数：以作为x，σs作为y，取y=a+bx为一直线。设实验数据点为(X

i，Yi)，一般来说，直线并不通过其中任一实验数据点，因为每点均有偶然误差ei21d2222)(bababa22)]([)(iiiiYbXaYbXa22])[()(iiiibXYaYbXa取a=σ0，b=K，得到以下公式人工假设法