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计算机在材料科学与工程中的应用(1)讲解课件第一章绪论1计算机应用的过去，现在，与未来1.1过去1.2现在1.3未来1.1在1980-1990这一阶段主要是计算机在热工和玻璃陶瓷配方设计中的应用以及简单的材料性能的计算。过程控制。热

工：这一阶段主要是一维和二维的计算。过程控制：DDC材料:性能计算代表人物:干福熹,刘振群,宋专,孙承绪,胡道河等.1990-20001.过程控制:智能化2.热工:三维,燃烧,传热,动量传递3.材料:从头算,量子力学和量子化学计算4.管理:MRP5.CAD和CAI2000

-1.过程控制:智能化2.热工:三维,燃烧,传热,动量传递耦合应用3.材料:从头算,量子力学和量子化学计算指导分子设计4.管理:ERP5.CAD和CAI6.图象处理(1)数值计算数值计算（numericalcomputation）就是有效使用数字计算机求数学问题近似解的方

法与过程，以及由相关理论构成的学科。①研究新材料。可以采用数据处理、仿真技术、数学模型、数据库等技术，通过建立过程机理模型，对材料科学中相关过程的数据分析、模型预测、优化设计等进行实现。计算机应用技术的不断发展，可

以逐步地、全面地解决材料科学与工程中的重大技术问题。可以建立晶体生长模型，晶体生长过程的计算机模拟。从原子结构出发，根据氧化物的健强，预测材料的性质，缩短了试验研究的周期和费用。②在热工方面，主要是窑炉方面的计算机模拟，现在可以将三

传一反应（传质、传热、动量传递、燃料燃烧）结合在一起计算，达到了气、固、液体的耦合计算，对物理现象本质描述的更加完善和细致，比较真实地反映实际现象的数学描述模型，利用计算机模拟。模拟结果，可以指导窑炉设计和生产。(2)过程控制过程控制（Process

Control）是为达到规定的目标而对影响过程状况的变量所进行的操纵。(3)信息管理信息管理（InformationManagement）是人类为了有效地开发和利用信息资源，以现代信息技术为手段，对信息资源进行计划、组织、领导和控制的社会活动。简单地

说，信息管理就是人对信息资源和信息活动的管理。(4)CAD应用CAD是一种技术，其中人与计算机结合为一个问题求解组，紧密配合，发挥各自所长，从而使其工作优于每一方，并为应用多学科方法的综合性协作提供了可能。(5)数字图象处理数字图象处理(DigitalImageProc

essing)就是运用光学、电子光学、数字处理方法，对图像进行复原、校正、增强、统计分析、分类和识别等的加工技术过程。1972年英国EMI公司工程师Housfield发明了用于头颅诊断的X射线计算机断层摄影装置，也就是我们通常所说的CT（ComputerTomograph）

。CT的基本方法是根据人的头部截面的投影，经计算机处理来重建截面图像，称为图像重建在材料科学与工程中，一些仪器就采用了图象处理技术，如SEM等仪器。在工程中，采用图像处理技术可代替人工对产品进行自动检测，

大大节省了人力资源，提高了劳动生产率。在线自动检验------通过数码相机，将照得的图像自动处理，辨识技术，达到自动检验的目的。在军事上，弹道导弹，巡航导弹第二章计算机应用数学基础2.1代数方程的分类代数方程单个方程多个方程线性方程非线性方程线行方程组非线性方程组多项是方程

超越方程2.2代数方程的解法2.2.1迭代的基本思想迭代法是一种逐次逼近法.这种方法的基本思想是:用一个固定的公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后达到精度的要求.例如:求解初值问题y’=f(x,y),y(x0)=y0的梯度式.设:yn+1=y0+1/2[f(x

n,yn)+f(yn+1,yn+1)]2-1可以看作是关于yn+1,的函数方程,设一个初值.yn+1(0)=y0+hf(xn,yn)将它代入上式右端,的校正值.yn+1(1)=yn+h/2[f(xn,yn)+f(xn+1,+yn+1

(0))]如果仍不能满足精度要求，再将上式代入公式计算，计算得到y(2)n+1;+如此继续下去，直到满足精度要求为止。一般公式为：yn+1(k+1)=yn+h/2[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)(k)]k=0,1,2,3,…..几何思想解释yy=xy=(x)Q1p0

Q2p1p*p2Ox*x2x1x0实例解释解：x3-x-1=0的根区间[1，2]，在该区间根出现异号；将方程写成：,131113233xxxx‘，而这时迭代函数就变为：迭代流

程图开始读入x0,N,n=1X1=(x0)|x1-x0|<n等于N打印失败标志结束计算结果nxnnxn01.551.3247611.3572161.3247321.3308671.3247231.3258881.3247241.324942.3二元搜索法二元搜索法是求解一

元非线性方程根的常用方法。原理：首先按x的等间距求出它的函数值f(x),直到两个相邻的函数异号，f(xn)和f(xn+1）异号。对于连续函数而言，异好就指明了根的存在。这时就用下式求出xn,xn+1的中间值xmid.xmid=(xn+1+xn)/2再算出点的函数值f(x

mid),若f(xmid)与f(xn)同号，则用f(xmid)代替f(xn)，否则，f(xmid)代替f(xn+1)。于是含根区间就成为[xmid,xn+1]或[xn,xmid],根的区间范围进一步减小。如此继续下去，当误差足够小时，就

停止迭代。几何意义yx1x2x3x4x5x在x的等分距上求的f(xn)到f(xn+1)变号函数值计算xmid和f(xmid)f(xmid)与f(xc)是否同号f(xmid)是否足够小Xn+1=xmidf(xn+1)=f(xmid)停止Xn=xmi

df(xn)=f(xmid)2.2.4试位法原理:试位法是一种对不同符号的两个函数值的线性内插法。方法：首先按x的等距离间隔依次求取函数的值，直至相邻的函数值异号，这时过两点（xn，f(xn))和（xn+1,f(xn+1))引一条直

线,在这条支线上内插求得:)()(11*nnnnnnxfxfxxxfxx以x*求出发f(x*)后与f(xn)和f(xn+1)比较，照例以f(x*)代替f(xn)和f(xn+1)中的同号者。如果f(x*)不十分接

近零，在重复上述步骤，直到收敛到满意程度。试位法的几何解释yox1x3x4x2计算流程图NN在x的等距分点上找出使f(xn)与f(xn+1)异号的xn和xn+1计算x*和f(x*)f(x*)与f(xn)是否同号Xn=xf(xn)=f(x*)f(x*)与f(xn)是否同号停止x

n+1=x*f(xn+1)=f(x*)2.5牛顿法原理：牛顿法首先要找两个异号函数值，以便把根加住，然后沿曲线上的一点切线作外推。这个方法是基于泰勒展开式：略去二阶以上的高阶项后，设xn+h=xn+1,假设有xn变到xn+1时，使得函数的值接近方程的根，即近似有f(xn+h)=

0;,从而的牛顿迭代式：这里xn+1是在x=xn处区县的切线与x轴的交点。...)(2)()()('''nnnnxfhxhfxfhxfnnnnxfxfxx'1由于曲线f(x)不是直线，f(xn+1)就不可能是真正

的零。因此，需以xn=xn+1作为新的基点，重复上述步骤，直到f(xn+1)充分小。几何解释y0x1x3x2x计算机流程图N选择合适的初值xn计算xn+1和f(xn+1)F(xn+1）是否足够小Xn=xn+1stop2

.6玄割法原理：在一些函数的一阶导数无法求得的情况下:,可用玄来代替导数:那么:11nnnnnxxxfxfxsxnnnxsxfxx1几何解释曲线f(x)上的横坐标为xn的点记为Pn,则差商为:表示玄线Pn-1Pn的斜率,容易看出:求得

xn+1实际上是玄与x轴的交点.Yy=f(x)Pn-1Pnx0xn+1xnxn-111nnnnxxxfxf111nnnnnnnxxxfxfxfxx2.3线性代数组的解法线性方程组在实际工作中最常用到,如玻璃陶瓷配方的计算,如

将偏微分方程求解一般要讲其化为线性方程组在进行求解.实际上在工程中遇到最多的还是线性方程组.2.3.1线性方程组的解法一般表达式:AX=Cnnnnnnnnnncxaxaxacxaxaxacxaxaxa.........221122222121

11212111众所周知:要是方程有唯一的解,这些方程应是线性无关.也就是系数矩阵行列式不等于零.主要解法有消元法,追赶法,迭代法.实际上,可分为两大类直接法:高斯法间接法:迭代法2.3.1直接解法1.高斯消元法高斯消元法的分类:a.

顺序消元法,b.列主元素法c.全主元素法a.顺序消元法顺序消元法在大学课程里已经学过.在这里重新回顾一下：1顺序消元法设一矩阵AX=bnnnnnnnnbbbxxxaa

aaaaaaa2121212222111211.........(1)第一步，令lj1=a1j/ajj将-lji乘以（1）式加到各自方程中去，这样就消去了第一个系数。方程化为：

)1()1(2)0(121)1()1(2)1(2)1(22)0(1)0(12)0(11...0...0...nnnnnnnbbbxxxaaaaaaa对以后的各步，可采用以通式：lKJ=

akj/akk用-lkj遍乘各方乘，消去住对角线以下的各元素，使其变为上对角矩阵。对角线的左下角的元素皆为零。)()1(2)0(121)()1(2)1(22)0(1)0(12)0(1100...0

...nnnnnnnnbbbxxxaaaaaa回代求解xi回代过程根据矩阵的特征，求解先从xn开始：xn==bn(n)/an(n);iiinijjiijiiiaxabx1采用增广矩阵解等价于A(k)x=b(k))1(1)1()1(2

)1(1)1(12)1(2)1(22)1(21)1(11)1(1)1(12)1(11)1()1(.........],[nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaabA假设消元已经进行到k-1步消元)(1)()()(1)()()2(1

2)2(2)2(2)2(22)1(11)1(1)1(1)1(12)1(11)()(............],[knnknnknkkknkknkkknnknnkkkaaaaaaaaaaaaaaabA当主元素akk(k)0时，进行第k步消元令以负的lik乘以第K

行上去（I=k+1,k+2,..,n)得nkkiaalkkkkik,...,2,1)()1(1)1()1(1)1(1)1(1

)1(1)(1)()(1)()2(12)2(2)2(2)2(2)2(22)1(11)1(1)1(11)1(1)1(12)1(11)1()1(............],[knnknnknnkknkknkkkkknkknkkkkkknnkknnkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabA

其中a(k+1)ij=a(k)ij-likakj(k)j=k+1,k+2,..,n+1,I=k+1,k+2,…,n直到完成n-1步，就结束消元过程，得到)(11)()2(12)2(2)2(22)1(11)1(1)1(12)

1(11)()(],[nnnnnnnnnnnaaaaaaaaabA回代：注意：方程应非奇异，在整个消元过程中，主元素a11(1),a22(2），…a(n-1)n-1,n-1,皆不为零.则方程能得到唯一的解.方程得到唯一的解并不一定是正确的解.1,2,...,1,)

(1)()(1nniaxaaxiiinijjiijiini范例:96.05.696.00.5020.036.05.40.20.61.31.150.0321321321xx

xxxxxxx96.05.696.00.5020.036.05.40.20.61.31.150.0.595.240.1000.240.121.000.61.31.150.0

24601220000.240.121.000.61.31.150.0回代得x1=-5.8,x2=2.40,x3=2.02还是原方程,将行与行调换.0.61.31.150.0020.036.05.40.296.05.696.00.5321321321xxxx

xxxxx0.61.31.15.0020.036.05.40.296.05.696.00.59.545.20.10364.024.212.4096.05.696.00.5

99.599.200364.024.212.4096.05.696.00.5回代x(1)=-2.6,x(2)=1.00,x(3)=2.00为什么一组非奇异方程组会得到两个不同的解呢?注意:非奇异方程可以是病态方程.对于病态方程就不能采

用顺序消元法,而要采用主元素法:2.全主元素法全主元素法，是选绝对值最大的元素作为主元素，放在主对角线上，这样就避免对所解方程的失误。由于不但进行行变换，而却还要进行列变换，由于比较增加，计算速度变慢，同时，应注意，随着换列变换，为知元的排列顺序也要作相应的变换

。3三角形分解法设矩阵A=[aij]nXn非奇异，且存在杜利特尔分解。A=LU其中：111121323121nnlllllLnnnnnnnnnuuunuuuuuU11,122

2111211...直接根据A的元素，计算L,U---三角形分解法nnnnnnnnnnnnuuuuuulllaaaaaaaaa

222112112121212222111211...1...11.........根据矩阵的乘法可知a1j=u1jj=1,2,..,nai1=li1u11即li1=ai1/u11这样给出了U第一行和L的第一列的元素,依此类推…假设给出U的前k-1行及L的前k-1列，现在

确定u的第k行和L的第k列.根据矩阵的乘法有：注意当r>k时，lkr=0,lkk=1,所以nrrjrkkjula1,11krrjkrkjkjulau同理可以确定L的第k列由上述步骤进行n步，就确定了L和u的全部元素．nkkiuulalukrulakkkrrkrrikikrkr

knrlrik,...,2,1,,0111从而时，注意，当用三角形分解法解方程Ax=bA=LULUx=bUx=yLy=bnnnnbyylylbyylby....22

112212111计算公式nkylbykrrkrkk,...,2,111kknkrrkrkknnnnnnnnuxuyxyxuyxuxuyxuxuxu1

2222211212111.....计算公式为：然后再解上三角方程４追赶法这里讨论另一种特殊形式的矩阵，三对角矩阵，这个矩阵在热传导，扩散中用得比较多。nnnnnniiibacbacbacbcba

A11122211],,[设存在克劳特分解A=LU其中L和U分别为:nnnnlmlmlmlL112211111121nuuuu

将其代入分解式=nnnnnbacbacbacb11122211nnnnlmlmlml11221

1111121nuuu对比等式两边的元素可得在什么条件下存在克劳特分解?1,...,3,2,...,3,2,,...,3,2,;,;111111nilcuniumblniamlcubliiiiiiiii则存

在唯一的分界。且nniiiiiabnicabcbnicnia)1,...,3,2(||||)2()1,...,2,1(0),...,,3,2(0)1(11三对角方程组的解法设:Ax=f

其中A=[ai,bi,Ci]n1右端向量f=(f1,f2,…,fn)TLy=fUx=yy1=f1/l1;yi=(fi-miyi-1)I=2,3,…,nXn=yn,xi=yi-uixi+1I=n-1,n-2,…,11111111)3(,...,3,2)2(1,...,3,2)1

(iiiinniiiiiiiiiiiiixuyxyxyUxniuabyafybfyfLyniuabcuu的递推公式解的递推公式5方程组的状态与误差分析(1)方程组的状态，条件数如将系数及右端项皆舍入道具

有三位有效数据的数，得方程Txxxxxxxxxx)1,1,1(604751413112134131216113121321321321其解为Txxxxxxxxx)491.1,4880.

0,090.1(783.0200.0250.0333.008.1250.0333.0500.083.1333.0500.000.132132121其解为通过比较发现，原始数据的误差还不足0.3%,但是解

的误差却超过了50%.造成这种情况的原因是方程的固有性质确定的。设一方程组Ax=b设右端向量有一扰动b(她是右端项的误差组成向量）假定没有引入其他误差，必定因其解的扰动记为：xA(x+x)=b+b与Ax=b相减得Ax=b称为扰动方程或误差方

程x=A-1b||x||||A-1||||b||||A||||x||||b||||x||||b||/||A||..,)(,).(.)(.111否则是良态的则矩阵是病态的较大若条件数态条件数反映了矩阵的状可改写成的条件数称矩阵记是误差放大的倍数，如AcondbbAcondxxAA

AAcondAAbbAAxx舍入误差分析一般情形下：假设A和b均有扰动，计算误差可采用下式分析：AAbbAAAcondAcondxx)(1)(2.3线性方程组的迭代方法2.3.1雅克比迭代设一方程组

4444343242141343433323213124243232221211414313212111bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

)(1)(1)(1)(13432421414444434232131333342432312122224143132121111xaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxabax首先选取向量x

(0)=(x(0)1,x(0)2…)代入右端进行第一次迭代，计算结果为;将其代入右端进行第二次迭代,计算结果为:假设进行了第k次,计算为:),...,,()1(4)1(2)1(1)1(xxxx),...,,()2(4)2(2)2(1)2(xxxx),...,,(

)(4)(2)(1)(kkkkxxxx则得k+1次的近似)(1)(1)(1)(1)(343)(242)(141444)1(4)(434)(232)(131

333)1(3)(424)(323)(121222)1(2)(414)(313)(212111)1(1kkkkkkkkkkkkkkkkxaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxab

ax其代数形式代数迭代式如下:nibxaijnjij,...,2,11....2,1,0;,...,3,2,11111)()()1(knibxaxaaxijnijikjijkjijiiki2.3.2塞德尔迭

代赛德尔迭代不同与雅克比迭代雅克比迭代:在进行第k+1次迭代时,用的是第k此提供的信息。即完全用x(k)的各分量提供的信息参与计算。塞德尔作了如下改进：当求出x(k+1)的某个分量xj（K+1)(1jn)以后，马上用它代替xj(k)参与计算，这样，求解方程组的代数迭代公式化为：..2,

1,,...,2,11111)1()1(knibxaxaaxijnjiikjijkjijiiki后者的优点：1）占用内存少2）计算速度快雅克比和塞德尔迭代收敛的充分条件1定理：设方程组Ax=b的系数矩阵A=[aij]nxn按行严格对角

占优或按列严格对角占优，即满足条件:与塞德尔迭代收敛。有唯一的解，且雅克比则方程组或bAXnjaaaniaaaijnjiijjiijiinijijijij,..,2,1,...,2,1||1111112)设方

程组AX=b的析数据针对称正定,则塞德尔迭代收敛这里不再证明2.3松弛迭代法超松弛迭代法(SOR)1.超松弛迭代公式超松弛的创新之处是引进了所谓的超松弛因子，以期加快GS迭代法的收敛速度。考虑方程组,其中非奇异，且。超松弛迭代法由两个步骤组成，对和，有bAxnnijRaA

)(2,1,0kTnxxxx),,,()0()0(2)0(1)0(（1）用GS迭代定义中间量)1(kixniaxaxabxiiijnijkjijkjijiki,,3,2,1/)(1

11)()1()1(（1）通过加权因子取与的谋个加权平均作为)(kix)1(kixnixxxxxxkikikikikiki,,3,2,1)()1()()1()()1()()1

(1kix或写成或写成增量的形式nixaxabaxxijnjkjijkjijiiikiki,,3,2,1)(111)()1()()1(

,2,1,0;,,2,1)(1)(11)1()()1(knixaxabaxxxxnjkjijijkjijiiiiikiki这就是解方程组(3.4.1)的逐次超松弛迭代法(SuccessiveOver-RelaxationMethod),简称SOR方法，其中称为松

弛因子。当=1时，SOR方法就是GS方法；当<1时，SOR方法就是低松弛法。．最佳松弛因子所谓最佳松弛因子，就是使的SOR方法收敛最快。计算实践中通常取不同的值进行试探性的计算，从中摸索近似最佳松弛因子。