【文档说明】matlab控制系统计算机辅助设计课件.ppt，共(67)页，1.038 MB，由小橙橙上传

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1第6章控制系统计算机辅助设计2设计一个自动控制系统一般经过以下三步:根据任务要求，选定控制对象；根据性能指标的要求，确定系统的控制规律，并设计出满足这个控制规律的控制器，初步选定构成控制器的元器件；将选定的控制对象

和控制器组成控制系统，如果构成的系统不能满足或不能全部满足设计要求的性能指标，还必须增加合适的元件，按一定的方式连接到原系统中，使重新组合起来的系统全面满足设计要求。原系统控制器控制对象校正系统原系统校正装置能使系统的控制性能满足控制

要求而有目的地增添的元件称为控制系统的校正器或称校正装置.图6.1系统综合与校正示意图3必须指出，并非所有经过设计的系统都要经过综合与校正这一步骤，对于控制精度和稳定性能都要求较高的系统，往往需要引入校正装置才能使原系统的性能得到充分的改善和补偿。反之，

若原系统本身结构就简单而且控制规律与性能指标要求又不高，通过调整其控制器的放大系数就能使系统满足实际要求的性能指标。在控制工程实践中，综合与校正的方法应根据特定的性能指标来确定。一般情况下，若性能指标以稳态误差、

峰值时间、最大超调量、和过渡过程时间、等时域性能指标给出时，应用根轨迹法进行综合与校正比较方便;如果性能指标是以相角裕度r幅值裕度、相对谐振峰值、谐振频率和系统带宽等频域性能指标给出时,应用频率特性法进行综合与校正更合适。对单变

量系统来说，校正装置接入系统的主要形式有两种，即串联校正和并联校正。sseptpstgKrMrb46.1基于传递函数的控制器设计方法一般的控制目的是使得输出信号能很好地跟踪输入信号，这样的控制也称为伺服

控制。在这个基本的控制结构下，误差信号E(s)和控制信号U(s)一般要求其尽可能小。如图6.2所示系统，由于受控对象和控制器为串联，故称其为串联控制。常用的串联控制有超前滞后校正器和PID类控制器。Gc(s)G(s)H(s)R(s)Y(s)-6.2串联校正E(s)U(s)56.1.1串联超前滞后校

正器1、超前校正器超前校正器传递函数可写成：G(S)=K(1+αTS)/(1+TS)(6.1)其有一个极点p(-1/T)和一个零点Z(-1/αT)，它们在复平面上的分布如图6.3所示.φm=φz-φp>0，相位超前作用.-1/T-1/ɑTsp

Zjω0φzφp图6.3超前网络零、极点在S平面上的分布620dB/decL()dB0º90º(度)20lgadBT1mT1m)()(m如图6.4可以看出，引入这样具有正相位的校正器，将增大前向通道的相位，使其相位“超前”于受控对象的相位，因此称为超前校

正器。超前校正器可使校正后的闭环系统的阶跃响应的速度加快，超调量减小。图6.4超前校正器的Bode图72、滞后校正器：可使校正后的闭环系统的阶跃响应的速度变慢，但超调量减小。滞后器传递函数可写成：G(s)=K(1+TS)/(1+αTS)（6.2）向量zs和ps与实轴正方向的夹角

的差值小于零，即φ=φz－φp<0（如图6.5所示）图6.520lgbω-900dB-20dB/dec1/Tωm1/bTω图6.6滞后校正器的Bode图ZP-1/T-1/αTSjωφzφp083、超前滞后校正器串联超前校正主要是利用超前网络的相角超前特性来提高系统的相角裕量或相对稳定性，而串

联滞后校正是利用滞后网络在高频段的幅值衰减特性来提高系统的开环放大系数，从而改善系统的稳态性能。当原系统在剪切频率上的相频特性负斜率较大又不满足相角裕量时，不宜采用串联超前校正，而应考虑采用串联滞后校正。但并不意味着串联滞后一定能有效的代替串联超前校正，稳定的运行于系统上；事实上，在某些情

况下可以同时采用串联滞后和超前校正，即滞后-超前校正，综合两种校正方法进行系统校正。9超前滞后校正器的数学模型为1111)(2211sTsTTsTKsGc其兼有超前和滞后校正器的优点。由图6

.7，α>1表示超前部分，β>1表示滞后部分。-1/βT2-1/ɑT1jω0图6.7超前滞后零极点在S平面上的分布-1/T2-1/T110从频率响应的角度来看，串联滞后校正主要用来校正开环频率的低频区特性，而超前校正主要用

于改变中频区特性的形状和参数。因此，在确定参数时，两者基本上可独立进行。可先根据动态性能指标的要求确定超前校正装置的参数，在此基础上，再根据稳态性能指标的要求确定滞后装置的参数。应注意的是，在确定滞后校正装置时

，尽量不影响已由超前装置校正好了的系统的动态指标，在确定超前校正装置时，要考虑到滞后装置加入对系统动态性能的影响，参数选择应留有裕量。116.1.2控制系统工具箱中的设计界面MATLAB控制工具箱提供了控制器设计界面函数sisotool(G，Gc)，

其中G为受控对象模型，Gc为控制器模型。例：受控对象模型为由下面语句启动sisotoolG=zpk([-1],[0,-0.1,-10,-20],10);Gc1=zpk(10,55,1));%超前校正器sisotool(G,Gc1))20)(10)(1.

0()1(10)(ssssssG图6.8如图6.8，单击FS可改变控制结构，单击控制器模块可选择控制器。12图6.913图6.10工具栏可改变零极点图6.11Analysis菜单可显示各种响应和分析曲线。Tools/DrawSimulinkDiagram菜单项将自动绘制闭环系统的S

imulink仿真框图。14考虑线性、定常、连续控制系统，其状态空间描述为：6.2基于状态空间模型的控制器设计方法++B∫CAxyuxD-Fv用u(t)=v(t)-Fx(t)带入开环系统的状态方程模型，则有000()

,xAxBuxtxttyCxuD15如果系统(A,B)完全可控，则选择合适的F矩阵，可以将闭环系统矩阵A-BF的特征值配置在任意地方。换句话说，系统设计问题就是寻找一个控制作用u(t)，使得在其作用下系统运动的行为满足预先所给出的期望性能指标。设计

问题中的性能指标可分为非优化型性能指标和优化型性能指标两种类型。非优化型指标是一类不等式型的指标，即只要性能指标值达到或好于期望性能指标就算实现了设计目标，如极点配置问题、解耦控制问题、跟踪问题、调节问题。优化型指标则是一类极值型的指标，设计目标是要使性能指

标在所有可能值中取得极小（或极大）值。16性能指标常取为一个相对于状态x(t)和控制u(t)的二次型积分性能指标，其形式为：fttTTffTdttuRtutxQtxtxFtxJ0)()()()

(21)()(21设计的任务是确定一个控制u*(t)，使得相应的性能指标J[u*(t)]取得极小值。从线性系统理论可知，许多设计问题所得到的控制规律常具有状态反馈的形式。但是由于状态变量为系统的内部变量，通常并不是每一个状态变量都是可以直接量测的。这一矛

盾的解决途径是：利用可量测变量构造出不能量测的状态，相应的理论问题称为状态重构问题，即状态观测器问题。176.2.1线性二次型最优调节器考虑受控系统，其性能指标为：fttTTffT

dttuRtutxQtxtxFtxJ0)()()()(21)()(21其中，Q和R分别为对状态变量和输入变量的加权矩阵，tf为控制终止时间，F对控制系统的终值也给出某种约束。线性二次型最优控制问题，简称为LQ（LinearQuadratic）问题。就是寻找一个

控制u*(t)，使得系统沿着由指定初态x0出发的相应轨线x*(t)，其性能指标J取得极小值。有限时间LQ问题:终端时刻tf是固定的,且为有限值无限时间LQ问题:tf→∞，18我们建立Hamilton矩阵)]()()

[()]()()()([21tButAxttRututQxtxHTTT若输入信号没有任何约束，则求解H对u(t)的导数为零，可以得到目标函数的最小值。0)()(tBtRuuHT则有)()(1*tBRtuT即u*(t)为最优解。而

λ(t)可写为其中，满足下述Riccati矩阵代数方程：)()()(txtPtnnRP19P(t)的终值为P(tf)=F，于是有最优控制信号为)()()(1*txtPBRtuT求解Riccati方

程很困难，因此这里只考虑tf→∞的稳态情况。这时设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的，即系统的状态渐近地趋向于0。此时设)(1tPBRKT则状态反馈下闭环系统的状态方程为[(A-BK),B,C,D]。++

B∫AxuR-1BTP20控制系统工具箱函数lqr()的调用格式为：[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)其中：K为设计线性定常、连续时间系统的最优反馈增益矩阵，P为Riccati方程的解，e为闭环系统的特征值，(A,B)为给

定对象的状态方程模型。关于无限时间LQ状态调节问题的鲁棒性有以下结论：对于无限时间定常LQ状态调节问题的最优调节系统，取加权阵则系统的每一个反馈控制回路均具有:(1)至少±60º的相角裕度；(2)从0.5到无穷大的幅值裕度。},,,{21rdia

gRrii,,2,1,0，21离散系统的二次型性能指标为NkTTkRukukQxkxJ0)]()()()([21与其对应的Riccati方程为QFkSGGRkSkSFkSTT)]1()1()1([)(1其中，S(N

)=Q，N为终止时刻，(F,G)为离散状态方程矩阵。S的稳态值记为S∞，则控制率为FSBGSGRKTT1][K可以由dlqr()函数求解。注：由最优控制率表达式，可以看出，最优性取决于Q、R矩阵的选择，但如何选择这两个矩阵没有解析的方法，只能定性地选择。22例6.2已知连续系

统的状态方程模型参数为2),500,500,1000,0,1000(0000000818.00982.00491.00409.0,00100000010025.00478.00004.06956.0615.20003.0358.1IRdiagQBA

试由下面语句求系统状态反馈矩阵、Riccati方程解，以及闭环特征值。A=[-1.35760.3000;2.6151-0.69560.400;00.0478-0.2500;-10000;00-100];B=[

0.0409-0.0491;0.0982-0.0818;zeros(3,2)];Q=diag([100001000500500]);R=eye(2)[K,S,e]=lqr(A,B,Q,R)23K=13.90374.866

876.7050-2.6784-22.1997-22.8863-1.473720.133722.1997-2.6784S=1.0e+004*0.0752-0.0172-0.5591-0.13290.1

409-0.01720.01210.31100.0526-0.0813-0.55910.31108.57751.5036-2.2844-0.13290.05261.50360.3725-0.37900.1409-0.0813-2.2844-0.37900.7

143e=-2.5964-0.8173+0.2130i-0.8173-0.2130i-0.2993-0.0636246.2.2极点配置在状态反馈律作用下的闭环系统为：)()(tKxtru-+ruB++∫ACxyKx状态反馈极点配置：通过状态反馈矩阵K的选取，使闭环系统的极点，

即的特征值恰好处于所希望的一组给定闭环极点的位置上。线性定常系统可以用状态反馈任意配置极点的充要条件是：该系统必须是完全能控的。所以，在实现极点的任意配置之前，必须判别受控系统的能控性。),,2,1(niiBKA251.

Bass-Gura算法：设受控系统的开环特征方程和闭环特征方程分别为：则状态反馈阵nnnnasasasAsIsa111)det()(nnnnnsssssss

11121)()()(00010010111321211aaaaaabAbAbTnnnnnBBB00010010111321211

aaaaaabAbAbTnnnnnBBB11111],,,[TaaaKnnnn26Tn,,,21控制系统工具箱给出函数bass_pp()来实现该算法，其调用格式为:K=bass_pp(A,B,p)其中，(A,B)为状态方程模型

，p为包含期望闭环极点位置的列向量，返回变量K为状态反馈行向量。2.Ackermann算法：状态反馈阵为其中，控制系统工具箱给出函数acker()来实现该算法，其调用格式与bass_pp()完全一致。注：acker()函数可以求解多重极点配置的问题，但不能求解多输入

系统的问题。)(]][100[11ABAABBKnnnnnnIAAAA111)(27place()函数调用格式为：K=place(A,B,p)[K,prec,message

]=place(A,B,p))*(KBAeigp3.鲁棒极点配置算法控制系统工具箱中place()函数是基于鲁棒极点配置的算法，用来求取状态反馈阵K，使得多输入系统具有指定的闭环极点p，即。其中，prec为闭环

系统的实际极点与期望极点p的接近程度，prec中的每个量的值为匹配的位数。如果闭环系统的实际极点偏离期望极点10%以上，那么message将给出警告信息。函数place()不适用于含有多重期望极点的配置问题。28A=[0100;00-

10;0001;00110];B=[0;1;0;-1];C=[1234];po=eig(A),p=[-1;-2;-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1)];K=place(A,B,p),pc=eig(A-B*K)‘po=003.3166-3.

3166K=-0.4000-1.0000-21.4000-6.0000pc=-2.0000-1.0000-1.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000可见，受控系统的极点位置位于0、0、3.3166、-3.3166，该系统是不稳定的。但应用

极点配置技术可以将系统的闭环极点配置在期望的位置上。29例6.3系统的状态方程模型为)(20201000)()(20224264)(75.025.075.125.

1125.15.025.025.025.125.425.25.025.1525.2)(txtytutxtx可用下面的语句直接进行极点配置。A=[2.25-5-1.25-0.5;2.25-4.25-1.25-0.25;0.25-0.5-1.25-1;1.25-1.75-0.25-0.75];B=[

46;24;22;02];p=[-1-2-3-4];K=place(A,B,p)注意：由于该系是多变量系统，故不能用acker和bass_pp函数作极点配置。K=1.5080-6.49665.93053.23170.45951.7859-3.2431-

1.157330例6.4离散系统的状态模型为如用下面的语句进行极点配置A=[0100;00-10;0001;0050];B=[01;0-1;00;00];p=[0.1-0.1-0.5+0.2i-0.5-0.2i];K=place(A,B,p)会出现

错误提示：???Errorusing==>placeCan'tplaceeigenvaluesthere.检查系统可控特性rank(ctrb(A,B))发现ans=2)(00001010)(0500100001000010])1[(kTukTxTkx

31本章介绍了超前、滞后于超前滞后校正器的原理与意义，并介绍了一种基于剪切频率和相位裕量配置的校正器设计方法及其MATLAB实现。本章介绍了状态反馈的基本概

念，并介绍了两种状态反馈控制结构：基于二次型指标的最优控制器设计及极点配置控制器设计方法。本章小结326.2.3观测器设计及基于观测器的调节器设计上一节中我们叙述了状态完全可控的系统(A,B,C,D)可以通过

状态反馈任意配置闭环极点。为了实现状态反馈，需要系统所有的状态信息。但是，系统的所有状态不一定都能测量到，这就造成了状态反馈在物理实现上的困难。也就是说，即使理论上证明了系统状态完全可控，能实现全极点状态反馈，也必须根据系统的实际情况来作出选择。这就提出了状态重构问题。状态重构问题的

核心，就是重新构造一个系统，利用原系统可以直接测量的变量，如输入量u和输出量y作为他的输入信号，并使其输出信号在一定指标下和原系统的状态变量x(t)等价。xˆ33通常把叫做x(t)的状态重构或状态估计，而把实现状态重构的系统叫做观测器。

带有状态观测器的典型控制系统结构如下图所示。若原系统的(A,C)为完全可观测，则状态观测器的数学模型为xˆu对象模型G(s)y++∫ABLˆx+C-ˆx状态估计(6.3)stxtxLCAtxtx)]()(ˆ)[()()(ˆ)()()()(ˆ)())()()(ˆ()()(ˆ

)(ˆtLytuLDBtxLCAtytDutxCLtButxAtx(6.4)34)]()(ˆ[)()(ˆ00))((0txtxetxtxttLCA基本观测器可以任意配置极点的充要条件是(A,C)完全可观测。其极点配置设计，可仿照完

全可控系统用状态反馈进行极点配置的方法。为使0)]()(ˆ[limtxtxt则，可通过选择增益阵来任意配置(A-LC)阵的全部特征值，即不管初值为何值，当矩阵(A-LC)的全部特征值具有负实部时，就可实现渐近重构状态的目的。mnRL0ˆx(6.5)35对于单输入—单输出

系统，我们介绍simobsv()函数仿真受控系统的全维状态观测器所观测到的状态，其调用格式为：[xh,x,t]=simobsv(G,L)其中G为受控系统的状态空间模型，L为全维观测器设计中的增益列向量，xh和x分别为重构状态和受控系统的阶跃响应矩阵，t为时

间向量。xˆfunction[xh,x,t]=simobsv(G,H)[y,t,x]=step(G);G=ss(G);A=G.a;B=G.b;C=G.c;D=G.d;[y1,xh1]=step((A-H*C),(B-H*D),C,D,1,t);[y2,xh2]=ls

im((A-H*C),H,C,D,y,t);xh=xh1+xh2;36例6.5系统的状态方程为若采用极点配置的方法设计观测器，而期望观测器的极点位于-1、-2、-3、-4，则可由下面命令设计出极点配置的观测器模型A=[0200;0-0.180;00-1016;000

-20];B=[0;0;0;0.3953];C=[0.09882,0.1976,0,0];D=0;p=[-1-2-3-4];L=place(A',C',p)';[xh,x,t]=simobsv(ss(A,B,C,D),L);plot(t,x,t,xh,

':');set(gca,'XLim',[0,15],'YLim',[-0.5,4]))(001976.009882.0)()(3953.0000)(20000161000081.

000020)(txtytutxtx37图6.8状态变量阶跃响应曲线x1(t)和1xˆx2(t)和2xˆxˆ4xˆ3x3和x438带有观测器的状态反馈控制器将式(6.3)中的状态反馈写成两个子系统G1和G2，这两个字系统分别由信号u和y单独驱动，使G1为G2为-+Kyrˆx受控系统状态观

测器u于是，这样的系统闭环模型可以表示为)(ˆ)()()()(ˆ)()(ˆ1111txKtytuLDBtxLCAtx)(ˆ)()()(ˆ)()(ˆ2222txKtytLytxLCAtx39对上

述模型化简，变成其等价的结构前向控制器Gc(s)=1/[1+G1(s)]，H(s)=G2(s)。可以证明Gc(s)=1-K(sI-A+BK+LC-LDK)-1B控制器Gc(s)的状态空间实现为有了状态反馈向量K和观测器向量L，则上面的控制器和反馈环境可以由MATLAB函数得到：

)()()()()()()(tutKxtytButxLDKLCBKAtx40function[Gc,H]=obsvsf(G,K,L)H=ss(G.a-L*G.c,L,K,0);Gc=ss(G.a-G.b

*K-L*G.c+L*G.d*K,G.b,-K,1);)()()()()()(tKxtytLutxLDKLCBKAtx若参考输入信号r(t)=0，则Gc可进一步简化为这时的Gc可以由控制系统工具箱中的reg()函数得到，其调用格式为：Gc=re

g(G,K,L)其中G为受控系统的状态空间表示，K、L分别表示状态反馈的行向量K和全维状态观测器的列向量L。Gc为基于全维状态观测器的调节器的状态空间表示。41例6.6

)(001976.009882.0)()(3953.0000)(20000161000081.000020)(txtytutxtx对x1和x2引入较小的加权，而对其它两个状态变量引入较大约束，则选择加权矩阵Q=diag(0.01,0.001,2,3)，R=1，则由下面

语句设计LQ最优控制器。A=[0200;0-0.180;00-1016;000-20];B=[0;0;0;0.3953];C=[0.09882,0.1976,0,0];D=0;Q=diag([0.01.0123]);R=1;K=lqr(A,B,Q,R),step(ss(

A-B*K,B,C,D))K=0.10000.94290.76630.638742在直接状态反馈控制下，系统的阶跃响应曲线。43若不能直接测得系统的状态，如何用极点配置的方法设计观测器，重构系统的状态，并比较原

系统与重构系统的差异。思考题：44描述设连续PID控制器的传递函数为：)11()(sTsTKsGdipcPID控制器具有简单的控制结构，在实际应用中又较易于整定，因此它在工业过程控制中有着最广泛的应用。大多数PID控制器是现

场调节的，可以根据控制原理和控制效果对PID控制器进行精确而细致的现场调节。6.3过程控制系统的PID控制器设计6.3.1比例、积分、微分控制器的分析典型PID控制系统结构图)(sGc)(0sG45下面，我们通过一个例子来研究比例、积分、微分各个环节的控制作用。例：设被控对象

的数学模型为1、分析比例、微分、积分控制对系统的影响。G0=tf(1,[1,3,3,1]);p=[0.10.30.5123];holdonfori=1:length(p)G=feedback(p(i)*G0,1);step(G);gridon,axi

s([0,12,0,1.3])%设置x轴和y轴的范围endholdofffigure,rlocus(G0)axis([-2,0.2,-2,2])k=rlocfind(G0)30)1(1)(ssG46图6.9比

例控制时的闭环阶跃响应曲线图6.10闭环系统的根轨迹图结论：比例系数增大，闭环系统的灵敏度增加，稳态误差减小，系统振荡增强；比例系数超过某个值时，闭环系统可能变得不稳定。472、研究积分控制作用：将Kp的值固定为1，采用PI控制策略，绘制不

同的Ti值下闭环系统的单位阶跃响应曲线结论：引入积分控制可以消除控制中的静态误差；积分作用太强(Ti太小)会导致系统不稳定。Ti值增加时，系统的超调量变小。PI控制时的闭环阶跃响应G0=tf(1,[1,3,3,1]);Kp=1

;Ti=[0.6:0.2:1.4];t=0:0.1:20;holdonfori=1:length(Ti)Gc=tf(Kp*[1,1/Ti(i)],[10]);G=feedback(G0*Gc,1);step(G,t);

gridon,endaxis([0,20,-0.5,2.5])483、研究微分控制作用：Kp=Ti=1，取不同的Td值结论：由于微分控制对误差取导数,故对误差的变化率具有预报作用，Td增大，会使系统的超调量减小，响应时间变快。G0=tf(1,[1,3,3,1])

;Kp=1;Ti=1;Td=[0.2:0.3:1.4];t=0:0.1:20;holdonfori=1:length(Td)Gc=tf(Kp*[Ti*Td(i),Ti,1],[Ti0]);G=feedback(G0*Gc,1);step(G,t);gridon

,endaxis([0,20,0,1.6])494、不完全微分控制结论：解决了完全微分的物理实现性问题；当N=10的时候，不完全微分近似于完全微分作用。)/111()(NsTsTsTKsGddipcN=10时的误差信号e(t)

=1-y(t)曲线505、微分先行控制)11(sTKipNsTsTdd/1对象模型)11(sTKipNsTsTdd/1对象模型结论：具有和完全微分相同的作用，改善了完全微分的不足：解决了完全微分控制对阶跃性误差信号（主要有阶跃给定引起）在第一拍会输出很大的控制量而在第一拍后微分

作用都为零的问题。从误差图可以看到，误差信号在t=0处有一个跳跃，如果对误差在t=0时刻取微分，则微分作用将输出一个很大的阶跃，会对系统的执行机构造成冲击，所以在控制中我们常常不希望这样的微分动作。在实际应用中，我们经常把微分动作放置在反馈路径中，这时微分作用的输出

信号是相当平滑的，而不是象在前向通道中有跳跃的现象。这样的PID控制策略及其等效的结构如上图所示。516.3.2Ziegler-Nichols（齐格勒—尼柯尔斯）整定法则由于很难获取被控对象的精确数学模型，所以用理论计算得到的PID参

数应用到实际系统后，控制效果不会很好，甚至引起振荡。齐格勒—尼柯尔斯是一种工程整定方法，可以在不知道对象模型的前提下，确定PID参数。齐格勒—尼柯尔斯调节律有两种方法，其目标都是使闭环系统在阶跃响应中，达到25%的最大超调量。描述52第一法：通过实

验获取开环系统的S型响应曲线，(若被控对象既不包括积分器，又不包括主导共轭复数极点。)通过S型曲线的转折点画一条切线，可以求得延迟时间L和时间常数T单位阶跃响应曲线近似为带延迟的一阶系统1)(0TsKesGLs53控制器类型K

pTITdPT/L∞0PI0.9T/LL/0.30PID1.2T/L2L0.5L齐格勒—尼柯尔斯调整法则（第一种方法）PID控制器公式：sLsTLsLsLTsTsTKsGdipc2)/1(6.0)5.0211(2.1)11()(54第二法：闭环系统只采用比例控

制作用，使Kp从0增加到临界值Kc（Kc是使系统的输出首次出现持续振荡的增益值）。带比例控制的闭环系统结构图具有周期Pc的等幅振荡响应55控制器类型KpTITdP0.5Kc∞0PI0.45KcPc/1.20PID0

.6Kc0.5Pc0.125Pc齐格勒—尼柯尔斯调整法则（第二种方法）PID控制器公式：sPsPKsPsPKsTsTKsGccccccdipc2)/4(075.0)125.05.011(6.0)11()(5

6(附)劳斯判据这是1877年由劳斯(Routh)提出的代数判据。1.若系统特征方程式设an>0，各项系数均为正数。2.按特征方程的系数列写劳斯阵列表：1110nnnnasasasa02411352123312341231101nnnnnnnnnnnsaaasaaasb

bbscccsdddsfsg57表中直至其余bi、ci等项均为零。2113142151311111nnnnnnnnnnnnnnnaabaaaaabaaaaabaaa

67131121152131173141111nnnnnnaacbbbaacbbbaacbbb58按此规律一直计算到n-1行为止。在上述计算过程中，为了简化数值运算，可将某一行中的各系

数均乘一个正数，不会影响稳定性结论。3.考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。例

：系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解从系统特征方程看出，它的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。列写劳斯阵列表如下432ssss6121160591126611061/66455/6106第一列系数均为正实数，故系统稳定。事实上，从因式分解

可将特征方程写为其根为2，3，，均具有负实部，所以系统稳定。(s+2)(s+3)(s2+s+1)=013j220s1s2s3s4s604.两种特殊情况在劳斯阵列表的计算过程中，如果出现：(1)劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零，其余各系数不为零（或没有其余项），

这时可用一个很小的正数e来代替这个零，从而使劳斯阵列表可以继续运算下去（否则下一行将出现∞）。如果e的上下两个系数均为正数，则说明系统特征方程有一对虚根，系统处干临界状态；如果e的上下两个系数的符号不同，则说明这里有一个符

号变化过程，则系统不稳定，不稳定根的个数由符号变化次数决定。61(2)若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。在这种情况下可做如下处理：a.利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是偶数的；b.求辅助多项式

对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行；c.继续计算劳斯阵列表；d.关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得。62例6.7:设被控对象的传递函数为串联校正采用PID控制器，其形式为试采用齐格勒—尼柯尔斯调节律确定参数的值。若设计出的系统的超调量等于或大于40%，则

应精确调整，使最大超调量减小到大约25%。)5)(1(1)(0ssssG)11()(sTsTKsGdipcdipTTK,,1、采用齐格勒—尼柯尔斯调节律第二种方法确定PID的参数，设和，则闭环传递函数iT0dTppKsssKs)5)(1()(632

、利用劳斯稳定判据求出临界增益Kc和振荡周期Pc的值ng0=[1];dg0=[1650];g0=tf(ng0,dg0);delta=0.02;Kc=-1;forKp1=1:0.1:50;gt=feedback(Kp1*g0,1);p=roots(gt.den{1});fori=1:1

:length(p);ifabs(real(p(i)))<=10*epsKc=Kp1,Pc=2*pi/abs(imag(p(i))),break;end;end;ifKc>=0break;end;end64Kp=0.6*Kc,Ti=0.5*Pc,Td=0.1

25*Pc,ngc=Kp*[Ti*Td,Ti,1];dgc=[Ti,0];gc=tf(ngc,dgc);zpk(gc),g=feedback(gc*g0,1);[pos,tr,ts,tp]=stepchar(g,delta)

;pos,ts,t=[0:0.001:1.5*ts];step(g,t);gridonKc=30;Pc=2.8099;Kp=18;Ti=1.4050;Td=0.3512Zero/pole/gain:6.3223(s+1.424)^2

------------------spos=62.2949;ts=10.0512运行结果：[pos,tr,ts,tp]=stepchar(g,delta);%g为系统的闭环传递函数,delta为调整时间误差范围;pos、tr、ts、tp，分别表示超

调量、上升时间、调整时间、峰值时间。对于调整时间ts，允许误差范围取为稳态值的±2%。6505101500.20.40.60.811.21.41.61.8StepResponseTime(sec)Amplitud

e66方案1：保持Kp=18，并将PID控制器的一对零点移动到s=-0.65ng0=[1];dg0=[1650];g0=tf(ng0,dg0);delta=0.02;z1=-0.65;p1=0;Kp1=18;Gc1=zpk([z1;z1]

,[p1],-Kp1/(2*z1))g=feedback(Gc1*g0,1);[pos,tr,ts,tp]=stepchar(g,delta);pos,ts,t=[0:0.001:1.5*ts];step(g,t);gridon0123456700.20.40.60.811.21.

4StepResponseTime(sec)Amplitude结果：pos=17.9028,ts=4.684667方案2：Kp增加到39.42，零点位置不变。ng0=[1];dg0=[1650];g0=tf(ng0,dg0);delta=0.02;Kc=-1;z2=-0.65;p2=0;Kp2=

39.42;Gc2=zpk([z2;z2],[p2],-Kp2/(2*z2))g=feedback(Gc2*g0,1);[pos,tr,ts,tp]=stepchar(g,delta);pos,ts,t=[0:0.001:1.5*ts];step(g,t);gridon结果：Z

ero/pole/gain:30.3231(s+0.65)^2------------------spos=27.3359，ts=2.710000.511.522.533.5400.20.40.60.811.21.4StepRe

sponseTime(sec)Amplitude