【文档说明】[高等教育]计算机辅助几何造型技术-第2章课件.ppt，共(58)页，1.044 MB，由小橙橙上传

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CAGD计算机辅助几何造型技术敖志强zhiqiangao@163.com2022/11/13南昌航空大学航机学院2第二章三次样条曲线与参数样条曲线拉格朗日插值多项式).,,1,0()()(0njyxlyxLjnkjkkjn),,

1,0,(.,0;,1)(nkjjkjkxlkj)()(111kkkkkkxxxxyyyxL（点斜式），11111)(kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL（两点式），2022/11/13

南昌航空大学航机学院3第二章三次样条曲线与参数样条曲线).()()()(11112xlyxlyxlyxLkkkkkk可用来解决对有限多个数据点的代数多项式插值问题。但数据点越多，插值多项式的次数就越高。高次多项式一不容易计算，二会在曲线上产生不

希望有的波动三次样条函数及其力学背景按给定的数据将型值点准确地点在图板上（打点）。采用一种称为“样条”的工具，用压铁强迫它通过这些型值点，再适当调整这些压铁，让样条的形态发生变化，直至取得合适的形状，才沿着样条画出所需的曲线。2022/11/13南昌航空大学航机学院4第二

章三次样条曲线与参数样条曲线把样条看成弹性细梁，压铁看成作用在这梁的某些点上的集中载荷，那就可把上述画模线的过程在力学上抽象为求弹性细梁在外加集中载荷作用下产生的弯曲变形。欧拉公式EJxMx)()(1232)'1('')(1yyx

平面曲线的曲率EJxMyy)()'1(''2322022/11/13南昌航空大学航机学院5第二章三次样条曲线与参数样条曲线对于“小挠度”曲线'()1yx方程近似为()''MxyEJ由于在各小段上M是线性函数，所以y(x)是x

的三次多项式在整个梁上，y(x)就是分段三次函数，但它具有直到二阶的连续导数（弯矩M是连续的折线函数），这一力学背景就导致了数学上三次样条函数概念的建立。2022/11/13南昌航空大学航机学院6第二章三次样条曲线与参数样条曲线三

次样条函数的定义0,nxx设在区间其中01nxxx已知插值条件为0101,,,,,,nnxxxyyy若有函数y(x)适合下列条件()1,2....iiyxyiny(x)在整个区间上二次连续可导在每一个

子区间上，y(x)是的三次多项式则称y(x)是关于已知插值条件的三次样条函数,由样条函数构成的曲线称为样条曲线。2022/11/13南昌航空大学航机学院7第二章三次样条曲线与参数样条曲线用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线在区

间[0,1]上带一阶导数的插值问题构造曲线段的方程为230123()yuaauauau求一阶导后有2123'()23yuaauau将四个已知条件代入以上两式，即可解得方程的四个系数320101100100()(22'')(332'')'()yuyyyyuyyyyuyuy

2022/11/13南昌航空大学航机学院8第二章三次样条曲线与参数样条曲线可改写为323232320101()(231)(23)'(2)'()yuyuuyuuyuuuyuu令：)1()()1()(32)(132)(2

120231230uuuGuuuGuuuFuuuF则曲线段方程为00110011()()()'()'()yuyFuyFuyGuyGu2022/11/13南昌航空大学航机学院9第二章三次样条曲线与参数样

条曲线0101(),(),(),()FuFuGuGu称为埃尔米特基函数或三次混合函数01()()1FuFu混合即为将已知条件混合在一起，突出已知条件在构造曲线过程中的作用01,GG专门控制端点的一阶导数值对曲线形状的的影响，而同端点的函数值无关01,FF专门控制端点的函数值

对曲线形状的的影响，而同端点的导数值无关0011,G,,FFG控制左端点控制右端点2022/11/13南昌航空大学航机学院10第二章三次样条曲线与参数样条曲线01010011(0)(1)1,(1)(0)0G(0)G(1)G(0)G(1)0

FFFF一些常用值00110101(0)(1)(1)(0)0,G(0)G(1)1,G(1)G(0)0FFFF2022/11/13南昌航空大学航机学院11第二章三次样条曲线与参数样条曲线四个混合函数的

图形F0F111G0G111oo11uuuu11oo2022/11/13南昌航空大学航机学院12第二章三次样条曲线与参数样条曲线现在解决在任意区间上带一阶导数的插值问题设对应于区间两端的函数值与一阶导数值分别为

：1,1,,iiiiyymm进行变量转换1,iixx111iiiiixxxxuxxh'''uxxidxyyyhdu2022/11/13南昌航空大学航机学院13第二章三次样条曲线与参数样条曲线第i段曲线的表达式101101()()()[()()]iiiiiiy

xyFuyFuhmGumGu矩阵形式1010111231()(),(),(),()100000101332122110,1,2,iiiiiiiiiiiiyyyxFuFuGuGuhmhmyyuu

uhmhmin2022/11/13南昌航空大学航机学院14第二章三次样条曲线与参数样条曲线上

式确定的函数y(u),它本身及一阶导数具有连续性但二阶导数是否连续还不能确定，取决于m的取值，上式对x求导两次后101101221111''()''()''()''()''()iiiiiiiiiyxyFuyFumGu

mGuhhhh0''()126Fuu1''()126Fuu0''()64Guu1''()62Guu2022/11/13南昌航空大学航机学院15第二章三次样条曲线与参数样条曲线考察连续性对于第i段曲线的末点（u=1）iiiiiiiiii

hmhmhyhyxy4266)(''1221对于第i+1段曲线的始点（u=0）1112112114266)(''iiiiiiiiiihmhmhyhyxy2022/11/13南昌航空大学航机学院16第二章三次样条曲线与参数样条

曲线让两段曲线的二阶导数在该点连续，则两式必须相等1111111111123iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhmmmhhhhhyyhyyhhhhhh

引入记号11111,1,3iiiiiiiiiiiiiiihyyyyucuhhhh2022/11/13南昌航空大学航机学院17第二章三次样条曲线与参数样

条曲线可写为1120,1,1iiiiiimmumcin称为样条函数的m-关系式虽然此时还不知道各内节点上的im但正可以通过这些为保证二阶导数连续而建立起来的关系式解出这些关系式是包含n+1个未知数方程的个数是n-1个，还不足以完全确定这些未知数还必须添加两个条

件。一般取端点条件2022/11/13南昌航空大学航机学院18第二章三次样条曲线与参数样条曲线101121+2mmumc端点条件1已知曲线在两端点处的斜率0,nmm就化成关于n-1个未知量，n-1个线性方程其中

第一个方程为第n-1个方程为121n-1nn-1+2nnnmmumc从而即可求出唯一的解。2022/11/13南昌航空大学航机学院19第二章三次样条曲线与参数样条曲线给定两端点的二阶导数端点条件20,nMM则在二阶导数公式

中：i=0时001101102)(32cMhhyymmi=n时：nnnnnnnncMhhyymm2)(3211特别当两端二阶导数为0时，这种端点条件称为自由端点条件当曲线在端点出现

拐点或与一直线相切时，可以使用2022/11/13南昌航空大学航机学院20第二章三次样条曲线与参数样条曲线在求得所有的mi后分段三次曲线即可确定整条三次样条曲线的表达式为：123110000010()1332122110,1,2,iiiiiiyyyxuuuhmhmin

()()0,1,2,iyxyxin2022/11/13南昌航空大学航机学院21第二章三次样条曲线与参数样条曲线用型值点处的二阶导数表示的三次样条曲线区间[0,1]上01u对应

于两个端点的函数值与二阶导数值分别为0101,,'',''yyyy构造曲线段的方程：230123()yuAAuAuAu求导两次23''()26yuAAu2022/11/13南昌航空大学航机学院22第二章三次样条曲线与参数样条曲线已知条

件代入两式，解得四个系数得32100101001111()('''')''('''')6263yuyyuyuyyyyuy改写为0101()(1)(1)(2)''(1)(1)''66uuyuuyuyuuyuuy2022/11/13南昌航空大学航机学院23第二章三次样

条曲线与参数样条曲线令0101()1()()(1)(2)6()(1)(1)6FuuFuuuGuuuuGuuu则曲线段方程为0101101()()()''()''()y

uyFuyFuyGuyGu0101(),(),(),()FuFuGuGu新的混合函数2022/11/13南昌航空大学航机学院24第二章三次样条曲线与参数样条曲线01010011(0)(1)1,(1)(0)0G(0)G(1)G(0)G(1)0FFFF混合函数关系式：01()(

)1FuFu00110110(0)(1)(1)(0)0,G(0)G(1)1,G(0)G(1)0FFFF2022/11/13南昌航空大学航机学院25第二章三次样条曲线与参数样条曲线解决在任意区间的插值问题：已知条件：11,,,iiiiyyMM

变量转换：111iiiiixxxxuxxh10,1,2,iiihxxin22''''()''uxxidxyyyhdu2022/11/13南昌航空大学航机学院26第二章三次样条曲线与参数样条曲线仿照式（2-11）

写出第i段曲线的表达式20101111()()()[()()]iiiiiyxyFuyFuhMGuMGu矩阵形式10101212()(),(),(),()1,2,iiiiiiiyyyxFuFuGuGuhMhMin

2022/11/13南昌航空大学航机学院27第二章三次样条曲线与参数样条曲线讨论连续性求x导10110111'()'()'()'()'()iiiiiiiiiyxyFuyFuMGuhMGuhhh012021'()1'()11

'()(362)61'()(31)6FuFuGuuuGuu2022/11/13南昌航空大学航机学院28第二章三次样条曲线与参数样条曲线第i段曲线的末点)2(6)('11iiiiiii

iMMhhyyxy第i+1段曲线的始点)2(6)('11111iiiiiiiiMMhhyyxy2022/11/13南昌航空大学航机学院29第二章三次样条曲线与参数样条曲线两式右边相等111111111

26()iiiiiiiiiiiiiiiiihhMMMhhhhyyyyhhhh11iiiihhh1iiu11116()iiiiiiiiiyyyydhhhh2022/11/13南昌航空大学航机学院3

0第二章三次样条曲线与参数样条曲线1120,1,1iiiiiimMuMcin写为称为M-关系式有n-1个方程的线性方程组，含n+1个未知数必须再加上两个端点条件条件一：给定两端点的

二阶导数值，当端点导数值为0时称为自由端点条件2022/11/13南昌航空大学航机学院31第二章三次样条曲线与参数样条曲线条件二：给定曲线在两端点处的斜率值可分别写出第1段曲线始点和第n段曲线末点的一阶导数表达式00101110)(62dmhyyhMMnn

nnnnnndhyymhMM)(6211便可解得全部节点上的M值2022/11/13南昌航空大学航机学院32第二章三次样条曲线与参数样条曲线三次样条的局限性1.局部修改牵涉到整个样条的重新计算2.不

能解决具有垂直切线的问题3.当曲线中夹有线段时拟合效果不好4.在拟合有二阶导数不连续的曲线时,产生较大的波动。5.不具备几何不变性2022/11/13南昌航空大学航机学院33第二章三次样条曲线与参数样条曲线解决曲线中夹有直线的方法要求：第一：整条曲线具有统一的表达式；第二：在直线段上严格为直线第

三：而在直线与曲线连接处不产生额外的波动。2022/11/13南昌航空大学航机学院34第二章三次样条曲线与参数样条曲线添加端点条件后的m关系式0011111111122022022iiiiiinnnnnumumumumum

mnniicccccc1110若第i,i+1两点

间为直线，令110iiiiuu)(2111iiiiiixxyycc2022/11/13南昌航空大学航机学院35第二章三次样条曲线与参数样条曲线001111111220020020022iinnnnnumummmumm

nniicccccc1110修改为两点间严格为直线，它具有所需要的斜率111iiiiiixxyymm方程)(1111

iiiiiixxxxyyyy2022/11/13南昌航空大学航机学院36参数样条曲线函数出现多值，从而会使问题复杂化对大挠度曲线，即有近于垂直切线的曲线缺乏几何不变性，与曲线的几何特征相脱节2022/11/13南昌航空大学航机学院37第二章三次样条曲线与参数样条曲

线参数样条曲线采用参数样条可解决垂直切线和无几何不变性的问题一般采用累加弦长参数样条：以累加弦长s为参数来表示曲线为简单起见，现讨论用累加弦长参数样条来插值平面上的一批有序的点Pi，与型值点列Pi相对应的累加弦长为：2022/11/13南昌航空大

学航机学院38第二章三次样条曲线与参数样条曲线2022/11/13南昌航空大学航机学院39第二章三次样条曲线与参数样条曲线累加弦长参数样条能解决“大挠度”的问题采用以近似弦长为参数的方程后，端点条件的换算用参数样

条拟合某些封闭曲线2022/11/13南昌航空大学航机学院40第二章三次样条曲线与参数样条曲线θR(x0,y0)(x0,y0)xyoθyzoρ给定曲率中心的曲线端点条件封闭曲线2022/11/13南昌航空大学航机

学院41第二章三次样条曲线与参数样条曲线2022/11/13南昌航空大学航机学院42第二章三次样条曲线与参数样条曲线2022/11/13南昌航空大学航机学院43第二章三次样条曲线与参数样条曲线2022/11/13南昌航空大学航机学院44第二章三次样条曲线与参数样条曲线2022/11/13南昌航

空大学航机学院45θ2πππ/2oρ3π/2极坐标下的ρ-θ关系曲线2022/11/13南昌航空大学航机学院46第二章三次样条曲线与参数样条曲线弗格森曲线弗格森（Ferguson）1963年在飞机设计中首先使用三次参

数曲线来定义曲线和曲面。实际上，弗格森三次参数曲线段就是前面用艾米尔特插值得到的三次参数曲线段的矢值形式231000(0)0010(1)()13321'(0)2211'(1)rrruuuurr

2022/11/13南昌航空大学航机学院47第二章三次样条曲线与参数样条曲线导矢'(0)r'(1)r与T(0)与T(1)成正比例，于是可写成同两端的单位切矢)0()0('0Tr)1()1('1Tr

切矢模长α0与α1的含义是：当α0与α1同时增大时仅仅会使曲线更丰满，而若只增大α0，则将会使更长的一段曲线在转入T(1)的方向之前保持接近T(0)的方向，当α0与α1的值很大时，曲线会出现弯折（尖点）和打圈圈（二重点）2022/11/13南昌航空大学航机学院48第二章三次样

条曲线与参数样条曲线α0，α1同时增大T0r0T1r12022/11/13南昌航空大学航机学院49T1r1T0r0α0增大α1不变2022/11/13南昌航空大学航机学院50第二章三次样条曲线与参数样条曲线讨论如何保证弗格森三次参数曲线段合成的曲线达到二阶连续。)0()1(

)2()1(rrTrTr2)2(1)1()0(')1('2022/11/13南昌航空大学航机学院51第二章三次样条曲线与参数样条曲线12)1()2()1(')0('rr后者也就是其中T是再接合点处公切线的单位矢

量，α1和α2如前所述，是控制曲线段“丰满”程度的数量常数为常数2022/11/13南昌航空大学航机学院52第二章三次样条曲线与参数样条曲线如果在接合处要求曲率连续，则必须使(2)(2)(1)(1)33(2)(1)'(0)''(0)'(1)''

(1)'(0)'(1)rrrrrr将（2-28）代入上式得(2)2(1)''(0)''(1)TrTr这个关系式为(2)2(1)(1)''(0)''(1)'(1)rrr所满足2022/11/13南昌航空大学航机学院53第二章三次样条曲线与参数样条曲线式中为任意

常数这是因为上式两端左乘T后有(2)2(1)(1)2(1)''(0)''(1)'(1)''(1)TrrrTr的作用是在保证接合处曲率相等的前提下使曲线设计着有更大的灵活性综上所述得两参数曲线段之间位置、斜率和曲率连续的条件。2022/11/13南昌航空大学航机学院54第二章

三次样条曲线与参数样条曲线弗格森把他的注意力集中在寻找达到曲率连续的做简单、最明显的方法上，于是他采用1,0这种最简单的连接办法。为了保证两参数曲线段之间的位置、斜率和曲率连续，有)0()1()2()1(rr)0(')1(')2()1(rr)0('')

1('')2()1(rr2022/11/13南昌航空大学航机学院55二阶导矢容易从式（2-26）求得，因此可把式（2-35）写成(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)6(0)6(1)2'(0)4'(1)6(0)6(1)2'(0)

2'(1)rrrrrrrr拟合一条合成弗格森曲线，使之通过一批点nrrr,,10这些点的切矢量为nttt,,10则可以把上式简化后的结果表为111143()0,1,,1iiiiitttrrin2022/11/13南昌航空大学航机学

院56第二章三次样条曲线与参数样条曲线这是相邻三点的切矢量之间的递推关系式。只要指定0tnt就能根据这个方程组，仅仅利用位置信息确定所有其余的切矢量。当切矢量取这些值时即可保证合成曲线的曲率连续这个过程和上述的建立一般三次样条曲线的过程十分类似。比较一下式（2-36）和m-关系式（2-9）的

异同是很有意义的如果令式（2-9）中11iihh1/2iiu即得)(341111iiiiiyymmm2022/11/13南昌航空大学航机学院57第二章三次样条曲线与参数样条曲线由此可以看出，当节点均匀分布且适当选择坐标系的

度量单位，使得所有的1ih的情况下合成弗格森曲线的切矢量关系式和三次样条的m-关系式实质上完全一样。所以可以认为合成弗格森曲线是三次参数样条曲线的一种特殊情况。两者不同的地方是，在三次样条中考虑到子区间的长度,在累加弦长三次参数样条的情况

下即为弦长，而在合成弗格森曲线中则假定弦长为1两者相同的地方是，它们都取0即都以二阶导数连续作为曲率连续的条件，也就是说为了简单而牺牲了曲线设计的灵活性2022/11/13南昌航空大学航机学院58第二章三次样条曲线

与参数样条曲线因此这两种曲线都比较适合于拟合而不像后面介绍的贝齐埃曲线主要适合于设计。贝齐埃在选择曲线段之间的连续条件时比弗格森限制要少，因而给曲线设计提供了所需的额外自由度。特别对合成弗格森曲线来说，主要适合于拟合型值点间隔比较

均匀的曲线，否则将会出现不好的效果日本的穗板为主张用iiill1实际上就是以累加弦长为参数来解决这个问题