【文档说明】1.4.2 充要条件（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(31)页，837.265 KB，由飞向未来上传

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1.4.2充要条件1.4.2充要条件1．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．2．通过具体情景，理解充要条件的概念及充要条件的证明与应用，培养学生抽象概括能力和逻辑推理的核心

素养．(一)教材梳理填空(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为_____条件

．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为____条件．p⇒qq⇒pp⇔q充要充要[思考]若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法正确吗？提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q.即p等价于

q.故此说法正确．(二)基本知能小试1．判断正误(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(2)若p/⇒q和q/⇒p有一个成立，则p有可能是q的充要条件．()答案：(1)√(2)×2．已知p：x＝1或x＝－1，q：x2－1＝0.则p是

q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：∵x2－1＝0时，x＝1或x＝－1.∴“x＝1或x＝－1”⇔“x2－1＝0”，即p是q的充要条件，故选C.答案：C3．设A，B是两个集合，p：“A∩B

＝A”，q：“A⊆B”，则p是q的________条件，q是p的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)解析：∵A∩B＝A⇔A⊆B，∴p是q的充要条件，q是p的充要条件．答案：充要充要题

型一充要条件的判断[学透用活]条件p与结论q的关系与充分、必要条件条件p与结论q的关系结论p⇒q，但q/⇒pp是q的充分不必要条件q⇒p，但p/⇒qp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒p，即p⇔qp与q互为充要条件p/⇒q，且q/⇒pp是q的既不充分又不必要条件[典例1](

多选)下列各题中，p是q的充要条件的有()A．p：a≠0，q：函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数B．p：x＞0，y＞0，q：xy＞0C．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分D．p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1[解析]在A、D中，p⇔q，∴p是q的充要条件

，在B、C中，q/⇒p，∴p不是q的充要条件，故选A、D.[答案]AD[方法技巧]判断充分、必要条件的步骤[变式训练]1．设集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的()A．充分不必要条

件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：p＝3⇒A＝{－1,3,2}⇒B⊆A⇒A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝B⇒B⊆A⇒{2,3}⊆{2，－1，p}⇒p＝3，所以是必要条件．故选C

.答案：C2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形；(3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.解：(1)

∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件．(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．题型二利用充分、必要条件求参数[学透用活]

从集合角度看充分、必要条件如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表.记法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}关系ABBAA＝BAB且BA图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p，q互为充

要条件p是q的既不充分又不必要条件[典例2]已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？(2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？(3)当a为何值时，p

是q的充要条件？[解](1)因为p是q的充分不必要条件，所以{x|1≤x≤a}{x|1≤x≤2}，所以1≤a＜2.所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件．[解](2)因为p是q的必要不充分条件，所以{x|1≤x≤2}{x|1≤x≤a}，所以a＞2.所以当a＞2时，p

是q的必要不充分条件．(3)因为p是q的充要条件，所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，此时a＝2.所以当a＝2时，p是q的充要条件．[方法技巧]由条件关系求参数的值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2

)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．[变式训练]1．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的充分不必要条件？解：若q是p的充分不必要条件，即q⇒p，但p/⇒q，亦即p是q的必要不充分条件，同典例2(2)．

所以当a＞2时，p是q的必要不充分条件．[变式训练]2．[变设问]若本例条件不变，当a为何值时，q是p的必要不充分条件？解：若q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q/⇒p，亦即p是q的充分不必要条件，同典例2(1

)．所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件．题型三充要条件的证明与探究[学透用活][典例3]求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[证明]充分性：(由ac＜0推证方程有

一正根和一负根)因为ac＜0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，所以方程一定有两个不等实根．设两根为x1，x2，则x1x2＝ca＜0，所以方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一

正根和一负根推证ac＜0)因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca＜0，即ac＜0.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[方法技巧]充要条件的证明思路根据

充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.[变式训练]1．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有根的和为2的充

要条件是________．解析：当m＝0时，方程为－x＋2＝0，解得x＝2；当m≠0时，方程为一元二次方程，设x1，x2是方程的解，则x1＋x2＝m＋1m2，若x1＋x2＝2，解方程m＋1m2＝2，得m＝－12或1.当m＝－12

或1时，Δ＝(m＋1)2－8m2＜0.即当m＝－12或1时，方程无解．故当m＝0时符合题意．答案：m＝02．已知a，b是正实数，求证：a＋bb＋b＋1a＋2＝2ab的充要条件是a＋b＝1.证明：必要性：若a＋1b＋b＋1a＋2＝2ab，则a(a＋1)＋b(b＋1)＋2abab＝2

ab，即a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2，即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0，即(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0，因为a，b是正实数，所以a＋b＋2＞0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.充分性：若a＋b＝1，则a＋1

b＋b＋1a＋2＝a(a＋1)＋b(b＋1)＋2abab＝a2＋b2＋2ab＋(a＋b)ab＝(a＋b)2＋(a＋b)ab＝1＋1ab＝2ab.综上，a＋1b＋b＋1a＋2＝2ab的充要条件是a＋b＝1.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通

1．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，并用序号填空：(1)使a，b都为0的必要条件是________；(2)使a，b都不为0的充要条件是________；(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是____

____．解析：对于①，ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；对于②，a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数；对于③，a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数；对于④，ab＞0⇔a＞0，b＞0，或a＜0

，b＜0，即a，b同为正数或同为负数．综上可知，使a，b都为0的必要条件是①②③；使a，b都不为0的充分条件是④；使a，b至少有一个为0的充要条件是①.答案：(1)①②③(2)④(3)①二、创新性——强调创新意识和创新思

维2．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．探究：若x∈A是x∈B成立

的________条件，判断实数m是否存在？解：若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，则有1－m≤－2，1＋m>6或1－m＜－2，1＋m≥6，解得m≥5，所以实数m的取值范

围是{m|m≥5}．若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集，则有1－m≥－2，1＋m<6或1－m＞－2，1＋m≤6，解得0＜m≤3，所以实数m的取值范围是{m|0＜m≤3}．若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的

充要条件，则集合A等于集合B，则有1－m＝－2，1＋m＝6，方程组无解．所以不存在满足条件的实数m.谢谢观看