【文档说明】2021-2022学年浙江省宁波市余姚市九年级上期中数学试题及答案解析.docx，共(22)页，497.654 KB，由飞向未来上传

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第1页，共22页2021-2022学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.用列表法画二次函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥

+𝑐的图象时先列一个表，当表中对自变量𝑥的值以相等间隔的值增加时，函数𝑦所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是()A.506B.380C.274D.1822.函数𝑦=𝑥2−2𝑥−2的图象如图所示，根据其中提

供的信息，可求得使𝑦≤1成立的𝑥的取值范围是()A.−1≤𝑥≤3B.−1<𝑥<3C.𝑥<−1或𝑥>3D.𝑥≤−1或𝑥≥33.如图，⊙𝑂的弦𝐴𝐵、𝐶𝐷相交于点𝑃，若𝐴𝑃=6，𝐵𝑃=8，𝐶𝑃=4，则𝐶𝐷长为()A.16

B.24C.12D.不能确定4.𝐴𝐵=12𝑐𝑚，过𝐴、𝐵两点画半径为6𝑐𝑚的圆，能画的圆的个数为()A.0个B.1个C.2个D.无数个5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书

》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心𝑂为圆心的圆，如图2.已知圆心𝑂在水面上方，且⊙𝑂被水面截得的弦𝐴𝐵长为6米，⊙𝑂半径长为4米.若点𝐶为运行轨道的最低点，则点𝐶到弦𝐴𝐵所在直线的距离是()第2页，共22页

A.1米B.(4−√7)米C.2米D.(4+√7)米6.木条𝑎、𝑏、𝑐如图用螺丝固定在木板𝛼上且∠𝐴𝐵𝑀=50°，∠𝐷𝐸𝑀=70°，将木条𝑎、木条𝑏、木条𝑐看作是在同一平面𝛼内的三条直线𝐴𝐶、𝐷𝐹、𝑀𝑁，若使直线𝐴𝐶、直线𝐷�

�达到平行的位置关系，则下列描述错误的是()A.木条𝑏、𝑐固定不动，木条𝑎绕点𝐵顺时针旋转20°B.木条𝑏、𝑐固定不动，木条𝑎绕点𝐵逆时针旋转160°C.木条𝑎、𝑐固定不动，木条𝑏绕点𝐸逆时针旋转20°D.木条𝑎、�

�固定不动，木条𝑏绕点𝐸顺时针旋转110°7.下列语句中，正确的有()①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，点𝐴、

𝐵、𝐶、𝐷、𝐸都是⊙𝑂上的点，𝐴𝐶⏜=𝐴𝐸⏜，∠𝐷=128°，则∠𝐵的度数为()A.128°B.126°C.118°D.116°第3页，共22页9.如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸是

𝐵𝐴延长线上一点，𝐶𝐸与𝐴𝐷、𝐵𝐷分别交于点𝐺、𝐹，则下列说法错误的是()A.𝐸𝐴𝐶𝐷=𝐸𝐺𝐺𝐶B.𝐸𝐺𝐺𝐶=𝐴𝐺𝐵𝐶C.𝐶𝐷𝐵𝐸=𝐶𝐺𝐶𝐸D.𝐶𝐹𝐺𝐹=𝐸𝐹𝐶𝐹10.下列事件中属

于不可能事件的是()A.在足球比赛中，弱队战胜强队B.任取两个正整数，其和大于1C.抛掷一硬币，落地后正面朝上D.用长度为2，3，6的三条线段能围成三角形二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.将函数𝑦=𝑥2−𝑥的图象向左平移__

____个单位，可得到函数𝑦=𝑥2+5𝑥+6的图象．12.已知点𝐴(3,2)，则点𝐴绕原点𝑂顺时针旋转180°后的对应点𝐴1的坐标为______．13.如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后

，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是______．14.如图，作⊙𝑂的任意一条直径𝐹𝐶，分别以𝐹、𝐶为圆心，以𝐹𝑂的长为半径作弧，与⊙𝑂相交于点𝐸、𝐴和𝐷、𝐵，顺次连接𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝐷、𝐷𝐸、𝐸𝐹、

𝐹𝐴，得到六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹，则⊙𝑂的面积与阴影区域的面积的比值为______．15.如图，若抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐上的𝑃(4,0)，𝑄两点关于它的对称轴𝑥=1对称，则𝑄点的坐标为______．第4页，共22页16.如图所示，𝐴𝐵为⊙�

�的直径，𝐴𝐵=2，𝑂𝐶是⊙𝑂的半径，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，点𝐷在𝐴𝐶⏜上，𝐴𝐷⏜=2𝐶𝐷⏜，点𝑃是𝑂𝐶上一动点，则阴影部分周长的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0

分)已知：如图，⊙𝑂中弦𝐴𝐵=𝐶𝐷.求证：𝐴𝐷⏜=𝐵𝐶⏜．18.(本小题8.0分)如图，已知𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶，求证：∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸．19.(本小

题8.0分)如图，利用标杆𝐷𝐸测量楼高，点𝐴，𝐷，𝐵在同一直线上，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，垂足分别为𝐸，𝐶.若测得𝐴𝐸=1𝑚，𝐷𝐸=1.5𝑚，𝐶𝐸=5𝑚，楼高𝐵𝐶是多少？第5页，共22页20.(本小题10

.0分)为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点𝐴，在近岸分别取点𝐵、𝐷、𝐸、𝐶，使点𝐴、𝐵、𝐷在一条直线上，且𝐴𝐷⊥𝐷𝐸，点𝐴、𝐶、𝐸也在一条直线上，且𝐷𝐸//𝐵𝐶.经测量𝐵𝐶=25米，𝐵𝐷=12米，𝐷𝐸=40米，求河的

宽度𝐴𝐵为多少米？21.(本小题10.0分)如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，∠𝑀𝐴𝑁=45°，连接𝐶𝐵，交𝐴𝑀、𝐴𝑁分别于点𝑃、𝑄，求证：𝐶𝑃2+𝐵𝑄2=𝑃𝑄2．22.(本小题12.0分)小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探

究活动：将一个矩形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴顺时针旋转𝛼(0°<𝛼≤90°)，得到矩形𝐴𝐵′𝐶′𝐷′，连结𝐵𝐷．[探究1]如图1，当𝛼=90°时，点𝐶′恰好在𝐷𝐵延长线上.若𝐴𝐵=1，求𝐵𝐶的长．[探究2]如图2，连结𝐴𝐶′，过点𝐷

′作𝐷′𝑀//𝐴𝐶′交𝐵𝐷于点𝑀.线段𝐷′𝑀与𝐷𝑀相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线𝐷𝐵分别交𝐴𝐷′，𝐴𝐶′于点𝑃，𝑁(如图3)，发现线段𝐷𝑁，𝑀𝑁，𝑃𝑁第6页，共22页存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．23

.(本小题14.0分)将两个等腰直角三角形纸片△𝑂𝐴𝐵和△𝑂𝐶𝐷放在平面直角坐标系中，已知点𝐴坐标为(−5,0)，𝐵(0,5)，𝑂𝐶=𝑂𝐷=4，∠𝐶𝑂𝐷=90°，并将△𝑂𝐶𝐷绕点𝑂顺时针旋转．(Ⅰ)当旋转至如图①的位置时，∠𝐴𝑂𝐶=30°，求此时

点𝐶的坐标；(Ⅱ)如图②，连接𝐴𝐶，当△𝑂𝐶𝐷旋转到𝑦轴的右侧，且点𝐵，𝐶，𝐷三点在一条直线上时，求𝐴𝐶的长；(Ⅲ)当旋转到使得∠𝑂𝐵𝐶的度数最大时，求△𝑂𝐴𝐷的面积.(直接写出结果即可)第7页，

共22页答案和解析1.【答案】𝐶【解析】解：设相邻的两个自变量的值为𝑥1、𝑥2，代入𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，计算差值为：𝑦1−𝑦2=(𝑥12−𝑥22)+𝑏(𝑥1−𝑥2)=(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2+𝑏)，因此函数值之间的差值间隔是相等的，即含有公因数𝑥

1−𝑥2，计算各个差值为56−20=36；110−56=54；182−110=72；274−182=92；380−274=106；506−380=126；650−506=144，36、54、72都含有公因数9

，即𝑥1−𝑥2=9，而92不含有因数9，∴可以断定是274错误了．故选：𝐶．因为𝑥的值以相等间隔的值增加，所以只要设出相邻的两个自变量的值为𝑥1、𝑥2代入求出差值，再由具体的计算看是否成规律变化找出即可．此题主要考查画二次函数图象时，一般利用函数对称性取值描点，

使点之间的数据间隔相等．2.【答案】𝐴【解析】【分析】此题主要考查了抛物线图像应用，正确利用数形结合分析是解题关键，直接利用函数图象得出当𝑦=1时，𝑥=−1或3，进而根据抛物线的图象得出答案．【解答】第8页，共22页解：如图所示：当𝑦=1时，𝑥=−1或3，故使𝑦≤1成

立的𝑥的取值范围是：−1≤𝑥≤3．故选A．3.【答案】𝐴【解析】解：∵𝐴𝑃⋅𝐵𝑃=𝐶𝑃⋅𝐷𝑃，∴𝑃𝐷=𝐴𝑃⋅𝐵𝑃𝐶𝑃，∵𝐴𝑃=6，𝐵𝑃=8，𝐶𝑃=4，∴𝑃𝐷=12，∴𝐶𝐷=�

�𝐶+𝑃𝐷=12+4=16．故选A．由相交线定理可得出𝐴𝑃⋅𝐵𝑃=𝐶𝑃⋅𝐷𝑃，再根据𝐴𝑃=6，𝐵𝑃=8，𝐶𝑃=4，可得出𝑃𝐷的长，从而得出𝐶𝐷即可．本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的

积相等．4.【答案】𝐵第9页，共22页【解析】解：这样的圆能画1个．如图：作𝐴𝐵的垂直平分线𝑙，交𝐴𝐵于𝑂点，然后以𝑂为圆心，以6𝑐𝑚为半径作圆，则⊙𝑂为所求；故选：𝐵．先作𝐴𝐵的垂直平分线𝑙，交𝐴𝐵于𝑂点，然后以𝑂为圆心，以6𝑐𝑚为半径作圆即

可；本题考查了点与圆的位置关系：设⊙𝑂的半径为𝑟，点𝑃到圆心的距离𝑂𝑃=𝑑，则有点𝑃在圆外⇔𝑑>𝑟；点𝑃在圆上⇔𝑑=𝑟；点𝑃在圆内⇔𝑑<𝑟．5.【答案】𝐵【解析】解：连接𝑂

𝐶交𝐴𝐵于点𝐷，连接𝑂𝐴，∵点𝐶为运行轨道的最低点，∴𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，∴𝐴𝐷=12𝐴𝐵=3(米)，在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐷中，𝑂𝐷=√𝑂𝐴2−𝐴𝐷2=√42−32=√7(米)，∴点𝐶到弦𝐴𝐵所在直线的距离𝐶𝐷=𝑂𝐶−�

�𝐷=(4−√7)米，故选：𝐵．连接𝑂𝐶交𝐴𝐵于点𝐷，连接𝑂𝐴，根据垂径定理得到𝐴𝐷=12𝐴𝐵，根据勾股定理求出𝑂𝐷，结合图形计算，得到答案．本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两

条弧是解题的关键．6.【答案】𝐷第10页，共22页【解析】解：𝐴.木条𝑏、𝑐固定不动，木条𝑎绕点𝐵顺时针旋转20°，∴∠𝐴𝐵𝐸=50°+20°=70°=∠𝐷𝐸𝑀，∴𝐴𝐶//𝐷𝐹，故A不符合题意；B.木条𝑏、𝑐固定不动，木条𝑎绕点𝐵逆时针

旋转160°，∴∠𝐶𝐵𝐸=50°+20°=70°=∠𝐷𝐸𝑀，∴𝐴𝐶//𝐷𝐹，故B不符合题意；C.木条𝑎、𝑐固定不动，木条𝑏绕点𝐸逆时针旋转20°，∴∠𝐷𝐸𝑀=70°−20°=50°=∠𝐴𝐵𝐸，∴𝐴𝐶//𝐷

𝐹，故C不符合题意；D.木条𝑎、𝑐固定不动，木条𝑏绕点𝐸顺时针旋转110°，∴木条𝑏和木条𝑐重合，𝐴𝐶与𝐷𝐹不平行，故D符合题意．故选：𝐷．根据平行线的判定定理判断求解即可．此题考查了平行线的判

定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．7.【答案】𝐴【解析】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正

确．故选：𝐴．根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识，解题的关键是理解基本概念，属于中考常考题型．8.【答案】𝐷第11页，共22页【解析】解：连接𝐴𝐶、𝐶𝐸，∵点𝐴、�

�、𝐷、𝐸都是⊙𝑂上的点，∴∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐷=180°，∴∠𝐶𝐴𝐸=180°−128°=52°，∵𝐴𝐶⏜=𝐴𝐸⏜，∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐸𝐶=12×(180°−52°)=64°，∵点𝐴、𝐵、𝐶、𝐸都是⊙𝑂上的

点，∴∠𝐴𝐸𝐶+∠𝐵=180°，∴∠𝐵=180°−64°=116°，故选：𝐷．连接𝐴𝐶、𝐶𝐸，根据圆内接四边形的性质求出∠𝐶𝐴𝐸，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠𝐴𝐶𝐸，根据圆内接

四边形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9.【答案】𝐵【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶∵𝐴𝐵/

/𝐶𝐷∴𝐸𝐴𝐶𝐷=𝐸𝐺𝐺𝐶故A正确∵𝐴𝐵//𝐶𝐷∴𝐸𝐺𝐺𝐶=𝐴𝐺𝐺𝐷故B错误∵𝐴𝐷//𝐵𝐶∴𝐴𝐵𝐵𝐸=𝐶𝐺𝐶𝐸即𝐶𝐷𝐵𝐸=𝐶𝐺𝐶𝐸故C

正确∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵//𝐶𝐷∴𝐶𝐹𝐺𝐹=𝐵𝐹𝐷𝐹，𝐸𝐹𝐶𝐹=𝐵𝐹𝐷𝐹∴𝐶𝐹𝐺𝐹=𝐸𝐹𝐶𝐹故D正确故选：𝐵．第12页，共22页根据平行四边

形的性质和相似三角形的性质求解本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键10.【答案】𝐷【解析】解：𝐴、在足球比赛中，弱队战胜强队，属于随机事件，不符合题意；B、任取两个正整数，其和大于1，属于必然事件，不符合题意；C、抛掷一硬币，落地

后正面朝上，属于随机事件，不符合题意；D、用长度为2，3，6的三条线段能围成三角形，属于不可能事件，符合题意；故选：𝐷．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此对各选项分析判断即可得解．本题

考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件

．11.【答案】3【解析】解：∵𝑦=𝑥2−𝑥=(𝑥−12)2−14，𝑦=𝑥2+5𝑥+6=(𝑥+52)2−14，∴两个函数的对称轴分别是𝑥=12，𝑥=−52，∴12−(−52)=3，故答案为3．用配方法将

二次函数的一般式转化为顶点式，即𝑦=(𝑥−12)2−14，𝑦=(𝑥+52)2−14，再根据两个函数的对称轴求得答案．本题考查二次函数的一般式转化为顶点式问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．12.【答案】(−3,−2)【解析】解：如图所示，点𝐴(3,2)绕原

点𝑂顺时针旋转180°后的对应点𝐴1的坐标为(−3,−2)．故答案为：(−3,−2)．第13页，共22页画出平面直角坐标系，然后作出点𝐴绕原点𝑂顺时针旋转180°的点𝐴1的位置，再根据平面直角坐标系写出坐标即可．本题考查了坐标与图

形变化−旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更简便，形象直观．13.【答案】13【解析】解：列表如下：12322463369由表知，指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的有2种结果，∴指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率为：26=13，故答案为：13．先用列表法得出所有等可能的出

现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】2√33𝜋【解析】解：连接𝐸

𝐵，𝐴𝐷，设⊙𝑂的半径为𝑟，⊙𝑂的面积𝑆=𝜋𝑟2，弓形𝐸𝐹，𝐴𝐹的面积与弓形𝐸𝑂，𝐴𝑂的面积相等，第14页，共22页弓形𝐶𝐷，𝐵𝐶的面积与弓形𝑂𝐷，𝑂𝐵的面积相等，∴图中阴影部分的面积=𝑆△𝐸𝐷𝑂+𝑆△𝐴

𝐵𝑂，∵𝑂𝐸=𝑂𝐷=𝐴𝑂=𝑂𝐵=𝑂𝐹=𝑂𝐶=𝑟，∴△𝐸𝐷𝑂、△𝐴𝑂𝐵是正三角形，∴阴影部分的面积=12×𝑟×√32𝑟×2=√32𝑟2，∴⊙𝑂的面积与阴影区域的面积的比值为2√33𝜋，故答案为：2√33

𝜋．连接𝐸𝐵，𝐴𝐷，将图中阴影部分面积拼补为△𝐸𝐷𝑂与△𝐴𝑂𝐵面积之和，进一步确定△𝐸𝐷𝑂、△𝐴𝑂𝐵是正三角形，从而求出阴影部分的面积=12×𝑟×√32𝑟×2=√32𝑟2，即可求解．本题考查圆与多边形

的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为等边三角形的面积是解题的关键．15.【答案】(−2,0)【解析】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐上的𝑃(4,0)，𝑄两点关于它的对称轴𝑥=1对称，∴𝑃，𝑄两点到对称轴𝑥=1的距离相等，

∴𝑄点的坐标为：(−2,0)．故答案为：(−2,0)．直接利用二次函数的对称性得出𝑄点坐标即可．此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．16.【答案】√3+𝜋3【解析】解：如图，连接𝐵𝐷，𝐴𝐷，𝑃𝐵．根据已知得𝐵是𝐴关于𝑂𝐶的

对称点，第15页，共22页所以𝐵𝐷就是𝐴𝑃+𝑃𝐷的最小值，∵𝐴𝐷⏜=2𝐶𝐷⏜，而弧𝐴𝐶的度数是90°的弧，∴𝐴𝐷⏜的度数是60°，∴∠𝐴𝐵𝐷=30°，∵𝐴𝐵是直径，∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，而𝐴𝐵=2，∴𝐵𝐷=√3，∵𝐴𝐷⏜的长=60⋅�

�⋅1180=𝜋3，∴𝐴𝑃+𝑃𝐷的最小值是√3，∴阴影部分的周长的最小值为√3+𝜋3．故答案为：√3+𝜋3．𝐵是𝐴关于𝑂𝐶的对称点，连接𝐵𝐷则就是𝐴𝑃+𝑃𝐷的最小值．根据已知条件可以知道∠𝐴𝐵𝐷=30°，由于𝐴𝐵是直径，所以∠𝐴𝐷𝐵

=90°，解直角三角形求出𝐵𝐷，利用弧长公式求出𝐴𝐷⏜的长即可．本题考查轴对称最短问题，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17.【答案】证明：∵𝐴𝐵=𝐶𝐷，∴𝐴𝐵⏜=𝐶𝐷⏜，∴𝐴𝐵⏜−𝐵𝐷⏜=𝐶𝐷⏜−𝐵𝐷⏜，∴𝐴

𝐷⏜=𝐵𝐶⏜．【解析】根据在同圆或等圆中，等弧对等弦，由𝐴𝐵=𝐶𝐷，得𝐴𝐵⏜=𝐶𝐷⏜，再等量减去等量还是等量知弧𝐴𝐵−弧𝐵𝐷=弧𝐶𝐷−弧𝐷，即𝐴𝐷⏜=𝐵𝐶⏜．本题利用了在同圆

或等圆中，等弧对等弦及等弧对等弦求解．18.【答案】解：∵𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶，∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，第16页，共22页∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶，∵𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶，

∴△𝐴𝐷𝐵∽△𝐴𝐸𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸．【解析】根据𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶，得到△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，根据相似三角形的性质得到∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，根据角

的和差得到∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶，推出△𝐴𝐷𝐵∽△𝐴𝐸𝐶，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19.【答案】解：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，𝐵

𝐶⊥𝐴𝐶，∴𝐷𝐸//𝐵𝐶，∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，∴𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐶，已知𝐴𝐸=1𝑚，𝐷𝐸=1.5𝑚，𝐶𝐸=5𝑚，∴11+5=1.5𝐵𝐶，∴𝐵𝐶=9𝑚，答：楼高𝐵𝐶是9𝑚．【解析】根据平行线的判定得

到𝐷𝐸//𝐵𝐶，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，证得△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶是解题的关键．20.【答案】解：∵𝐵𝐶//𝐷𝐸，∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，∴𝐵𝐶𝐷

𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐷，即2540=𝐴𝐵𝐴𝐵+12，∴𝐴𝐵=20．答：河的宽度𝐴𝐵为20米．【解析】先证明△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸，利用相似比得到𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐵+𝐵𝐷，然后根据比例的性质求𝐴𝐵的长度．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物

体的高度；利用相似测量河的宽度(测量距离)；第17页，共22页借助标杆或直尺测量物体的高度．21.【答案】证明：将△𝐴𝐵𝑄绕𝐴点顺时针旋转90°得到△𝐴𝐶𝑄′，连接𝑃𝑄′，∴𝐴𝑄′=𝐴𝑄，𝐶𝑄′=𝐵𝑄，∠𝐵𝐴𝑄=∠𝐶𝐴𝑄′，∠𝐴𝐶𝑄′=∠𝐴�

�𝐶，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，∴∠𝐴𝐶𝑄′=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=45°，∠𝐶𝐴𝐵=90°，∵∠𝑀𝐴𝑁=45°，∴∠𝐶𝐴𝑃+∠𝐵𝐴𝑄=45°，∴∠𝑄′𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑄′+∠𝐶𝐴𝑃=45°

，∴∠𝑄′𝐴𝑃=∠𝑄𝐴𝑃，在△𝑄′𝐴𝑃和△𝑄𝐴𝑃中，{𝐴𝑄=𝐴𝑄′∠𝑄𝐴𝑃=∠𝑄′𝐴𝑃𝐴𝑃=𝐴𝑃，∴△𝑄′𝐴𝑃≌△𝑄𝐴𝑃(𝑆𝐴𝑆)，∴𝑃𝑄=𝑃𝑄′，∵∠𝑄′𝐶𝑃=∠𝐴𝐶𝑄′+∠�

�𝐶𝐵=90°，在𝑅𝑡△𝑄′𝐶𝑃中，由勾股定理得，𝑄′𝑃2=𝑄′𝐶2+𝐶𝑃2，∴𝐶𝑃2+𝐵𝑄2=𝑃𝑄2．【解析】△𝐴𝐵𝑄绕𝐴点顺时针旋转90°得到△𝐴𝐶𝑄′，连接𝑃𝑄′，可得𝐴𝑄′=𝐴𝑄，𝐶𝑄′=𝐵𝑄，∠𝐵𝐴𝑄=∠�

�𝐴𝑄′，∠𝐴𝐶𝑄′=∠𝐴𝐵𝐶，利用𝑆𝐴𝑆证明△𝑄′𝐴𝑃≌△𝑄𝐴𝑃，得到𝑃𝑄=𝑃𝑄′，在𝑅𝑡△𝑄′𝐶𝑃中，由勾股定理得𝑄′𝑃2=𝑄′𝐶2+𝐶𝑃2，进而求证．本

题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是将△𝐴𝐵𝑄绕𝐴点顺时针旋转90°得到△𝐴𝐶𝑄′，使所求三边置于同一直角三角形中．第18页，共22页22.【答案】解：(1)如图1，设

𝐵𝐶=𝑥，∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴顺时针旋转90°得到矩形𝐴𝐵′𝐶′𝐷′，∴点𝐴，𝐵，𝐷’在同一直线上，∴𝐴𝐷′=𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝑥，𝐷′𝐶=𝐴𝐵′=𝐴𝐵=1，∴𝐷′𝐵=𝐴𝐷′−𝐴𝐵=𝑥−1，∵∠𝐵𝐴𝐷=∠

𝐷′=90°，∴𝐷′𝐶′//𝐷𝐴，又∵点𝐶′在𝐷𝐵的延长线上，∴△𝐷′𝐶′𝐵∽△𝐴𝐷𝐵，∴𝐷′𝐶′𝐴𝐷=𝐷′𝐵𝐴𝐵，∴1𝑥=𝑥−11，解得𝑥1=1+√52，

𝑥2=1−√52(不合题意，舍去)，∴𝐵𝐶=1+√52．(2)𝐷′𝑀=𝐷𝑀．证明：如图2，连接𝐷𝐷′，∵𝐷′𝑀//𝐴𝐶′，∴∠𝐴𝐷′𝑀=∠𝐷′𝐴𝐶′，∵𝐴𝐷′=𝐴𝐷，∠𝐴𝐷′𝐶′=∠𝐷𝐴𝐵=90°

，𝐷′𝐶′=𝐴𝐵，第19页，共22页∴△𝐴𝐶′𝐷′≌△𝐷𝐴𝐵(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐷′𝐴𝐶′=∠𝐴𝐷𝐵，∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷′𝑀，∵𝐴𝐷′=𝐴𝐷，∴∠𝐴𝐷𝐷′=∠𝐴𝐷′𝐷，∴∠𝑀𝐷𝐷′=∠𝑀𝐷′𝐷，∴𝐷′𝑀=𝐷�

�；(3)关系式为𝑀𝑁2=𝑃𝑁⋅𝐷𝑁．证明：如图3，连接𝐴𝑀，∵𝐷′𝑀=𝐷𝑀，𝐴𝐷′=𝐴𝐷，𝐴𝑀=𝐴𝑀，∴△𝐴𝐷′𝑀≌△𝐴𝐷𝑀(𝑆𝑆𝑆)，∴∠𝑀𝐴𝐷′=∠�

�𝐴𝐷，∵∠𝐴𝑀𝑁=∠𝑀𝐴𝐷+∠𝑁𝐷𝐴，∠𝑁𝐴𝑀=∠𝑀𝐴𝐷′+∠𝑁𝐴𝑃，∴∠𝐴𝑀𝑁=∠𝑁𝐴𝑀，∴𝑀𝑁=𝐴𝑁，在△𝑁𝐴𝑃和△𝑁𝐷𝐴中，∠𝐴𝑁𝑃=∠𝐷𝑁𝐴，∠𝑁𝐴𝑃=∠𝑁𝐷𝐴，∴△�

�𝑃𝐴∽△𝑁𝐴𝐷，∴𝑃𝑁𝐴𝑁=𝐴𝑁𝐷𝑁，∴𝐴𝑁2=𝑃𝑁⋅𝐷𝑁，∴𝑀𝑁2=𝑃𝑁⋅𝐷𝑁．【解析】(1)如图1，设𝐵𝐶=𝑥，由旋转的性质得出𝐴𝐷′=𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝑥，𝐷′𝐶=𝐴𝐵′=𝐴𝐵=1

，证明△𝐷′𝐶′𝐵∽△𝐴𝐷𝐵，由相似三角形的性质得出𝐷′𝐶′𝐴𝐷=𝐷′𝐵𝐴𝐵，由比例线段得出方程1𝑥=𝑥−11，求出𝑥的值即可得出答案；(2)连接𝐷𝐷′，证明△𝐴�

�′𝐷′≌△𝐷𝐴𝐵(𝑆𝐴𝑆)，由全等三角形的性质得出∠𝐷′𝐴𝐶′=∠𝐴𝐷𝐵，由等腰三第20页，共22页角形的性质得出∠𝐴𝐷𝐷′=∠𝐴𝐷′𝐷，证出∠𝑀𝐷𝐷′=∠𝑀

𝐷′𝐷，则可得出结论；(3)连接𝐴𝑀，证明△𝐴𝐷′𝑀≌△𝐴𝐷𝑀(𝑆𝑆𝑆)，由全等三角形的性质得出∠𝑀𝐴𝐷′=∠𝑀𝐴𝐷，得出𝑀𝑁=𝐴𝑁，证明△𝑁𝑃𝐴∽△𝑁𝐴𝐷，由相似三角形的性质得出𝑃𝑁𝐴𝑁=𝐴𝑁𝐷𝑁，则可得出结论．

本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】解：(Ⅰ)如图①中，故

点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑂𝐴于𝐸．∵△𝐶𝑂𝐷绕点𝑂顺时针旋转30°，∴∠𝐶𝑂𝐸=30°，∴𝐸𝐶=12𝑂𝐶=2，𝑂𝐸=√𝑂𝐶2−𝐸𝐶2=√42−22=2√3，∴𝐶(−2√3,2)．(Ⅱ)

如图②中，过点𝑂作𝑂𝐹⊥𝐵𝐷于𝐹．第21页，共22页∵∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐵=90°，∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐷，∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，𝑂𝐶=𝑂𝐷，∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐶=�

�𝐷，在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹中，𝐶𝐷=√2𝑂𝐶=4√2，∵𝑂𝐹⊥𝐶𝐷，𝑂𝐶=𝑂𝐷，∴𝐶𝐹=𝐷𝐹=2√2，∴𝑂𝐹=12𝐶𝐷=2√2，∴𝐵𝐹=√𝑂𝐵2−𝑂𝐹2=√52−(2√2)2=√17，∴𝐵�

�=𝐵𝐹+𝐷𝐹=√17+2√2，∴𝐴𝐶=𝐵𝐷=√17+2√2．(Ⅲ)如图③中，当𝑂𝐶⊥𝐵𝐶时，∠𝑂𝐵𝐶的值最大，此时𝐵𝐶=√𝑂𝐵2−𝑂𝐶2=√52−42=3，𝑆△𝑂𝐵𝐶=12⋅𝑂𝐶

⋅𝐵𝐶=12×4×3=6．过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝑥轴于𝐹，过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑂𝐵于𝐸．∵∠𝐵𝑂𝐹=∠𝐶𝑂𝐷=90°，∴∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐷𝑂𝐹，∵∠𝐶𝐸𝑂=∠𝐷𝐹𝑂=90°，𝑂𝐶=𝑂𝐷，∴△𝑂𝐸𝐶≌△𝑂𝐹𝐷(𝐴𝐴�

�)，第22页，共22页∴𝐸𝐶=𝐷𝐹，∵𝑆△𝐴𝑂𝐷=12⋅𝑂𝐴⋅𝐷𝐹，𝑆△𝐵𝑂𝐶=12⋅𝑂𝐵⋅𝐶𝐸，𝑂𝐵=𝑂𝐴，∴𝑆△𝐴𝑂𝐷=𝑆△𝐵𝑂𝐶=6．【解析】(Ⅰ)如图①中，故点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑂𝐴于

𝐸.解直角三角形求出𝑂𝐸，𝐶𝐸，可得结论．(Ⅱ)如图②中，过点𝑂作𝑂𝐹⊥𝐵𝐷于𝐹.首先证明△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(𝑆𝐴𝑆)，推出𝐴𝐶=𝐵𝐷，求出𝐵𝐷，可得结论．(Ⅲ)如图③中，当𝑂𝐶⊥

𝐵𝐶时，∠𝑂𝐵𝐶的值最大，此时𝐵𝐶=√𝑂𝐵2−𝑂𝐶2=3，𝑆△𝑂𝐵𝐶=12⋅𝑂𝐶⋅𝐵𝐶=6.再证明𝑆△𝐴𝑂𝐷=𝑆△𝐵𝑂𝐶，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等

知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．