【文档说明】计算机视觉中的多视图几何第一章2D射影几何和变换课件.pptx，共(16)页，323.049 KB，由小橙橙上传

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第1章2D射影几何和变换平面几何射影几何点齐次表示：直线二次曲线ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0平行线平行直线无交点点齐次表示:直线齐次表示:二次曲线其中二次曲线系数矩阵c：平行线平行直线交与理想点无穷远线所有理想点的

集合0cxxTTxxx),,(321xTcba),,(lfedecbdba2/2/2/2/2/2/c),(yx0cbyax1.1平面几何与射影几何的对比：第1页，共17页。1

.22D射影平面Tyx)0,,(lT)1,0,0(0lxTllxxxl1.2.1点与直线：结论1.1：点X在直线L上的充要条件是：结论1.2：两直线L和L’的交点是点X：结论1.3：过两点X和X’的直线L是：1.2.2理想点与无穷直线理想点的齐次表示:无穷直线的齐次表

示：=第2页，共17页。射影平面的模型：oxlπ理想点2x3x1x结论1.4：对偶原理2维射影集合中的任何定理都有一个对应的对偶定理，它可以通过互换定理中的点和线的作用而导出。射影平面的模型。IP²的点和线分别表示为过IR³中过原点的射线和

平面。X1X2-上的射线表示理想点，而x1x2-平面表示l第3页，共17页。1.2.3二次曲线与对偶二次曲线二次曲线的切线：cxl结论1.5过（非退化）二次曲线C上点X的切线L由对偶二次曲线：结论1.6：对偶二次曲线C的切线L由0*lclT非退化二次曲线非满秩矩阵C所

定义的二次曲线称作退化二次曲线，退化的点二次曲线包含两条线（秩2）或一条重线（秩1）。第4页，共17页。1.3射影变换定义1.7射影映射是IP²到它自身的一种满足下列条件的可逆映射h：三点x1，x2和x3共线当且仅当h(x1),h

(x2)和h(x3)也共线。射影映射组成一个群。定理1.8映射h：IP²→IP²是射影映射的充要条件是：存在一个3X3的非奇异矩阵H，使得IP²的任何一个用矢量X表示的点都满足h（X）=HX。定义1.9射影变换就是X’=HX1.3.1直线与二次曲线的变换直线

的变换：lHlT二次曲线的变换：在点变换X’=HX下，1HHTcc第5页，共17页。结论1.10在点变换X’=HX下，对偶二次曲线变化为*CTHHCC**1.4变换的层次等距变换相似变换仿射变换射影变换射影变换的层次图

第6页，共17页。等距变换失真情况1.4.2相似变换相似变换的矩阵表示：1100cossinsincos1yxtsstssyxyx简洁的分块形式写成：xosRxHxTS

1t其中s为缩放量，。等距变换的不变性质：长度，面积第8页，共17页。相似变换就是在等距变换的基础上进行了一个S的缩放。相似变换失真情况相似变换的不变性质：长度比，夹角，虚圆点。1.4.3仿射变换仿射变换是一个非奇异线性变换与一

个平移变换的复合。它的矩阵表示为：1100122211211yxtaataayxyx第9页，共17页。它的分块形式：x1tAxxT

0AH可以把仿射变换中A看作两个基本变换——旋转和非均匀缩放的复合。仿射变换的失真情况仿射变换的不变性质：平行，面积比，共线线段或平行线段的长度比，矢量的线性组合第10页，共17页。1.4.4射影变换射影变换的分块形式：xvtAxHx

TPv射影变换是在仿射变换的基础上进行的非线性的缩放。它的不变性质：共点，共线，接触的阶：相交；相切；拐点；切线不连续性和歧点。交比。1.51D射影几何交比交比是射影不变量。给定4个点，交比定义为：ix42314321)(xxxxxxxxCross

4321x,x,x,x第11页，共17页。在任何直线的射影变换下，交比的值不变：如则：xHx2X2),,,(),,,(43214321xxxxCrossxxxxCross1.6从图像恢复仿射和度量性质1.6.1无穷远线

l1001001AtoAlHlTTTTA结论1.11由上式可知在射影变换H下，无穷远直线为不动直线的充要条件是H是仿射变换。第12页，共17页。1.6.3虚圆点及其对偶在相似变换下，无穷

远直线上有两个不动点，它们是虚圆点I,J，其标准坐标是：oioi11JI结论1.12在射影变换H下的，虚圆点I和J为不动点的充要条件是H是相似变换。

01100cossinsincositsstssyxIHIsI01isei第13页，共17页。与虚圆点对偶的二次曲线二次曲线TT*JIIJC与虚圆点对偶。这条曲线是由虚圆点构成的退化的线二次曲线。*TS*S'

*CHCHCT*'*HHCCxHxS因为对偶二次曲线变换遵循结论，可以验证在点相似变换下：结论1.13对偶二次曲线在射影变换H下不变的充要条件是H是相似变换。*C1.6.4射影平面上的夹角结论1.13一旦二次曲线在射影平面上被辨认，那么欧氏角可以测量，公式为：*C))((

cos***mCmICImCITTT第14页，共17页。结论1.14如果，则直线I和m正交。0mCI*T1.6.5由图像恢复度量性质结论1.15在射影平面上，一旦被辨认，那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。*

C1.7二次曲线的其他性质1.7.1极点-极线关系点X和二次曲线C定义一条直线L=CX。L称为X关于C的极线，而点X称为L关于C的极点。xcl第15页，共17页。如果点在C上，则它的极线就是二次曲线过点X的切线。1.8不动点与直线λeHe变换的一个特征矢量对应一

个不动点，由下面的公式可知：同理变换的一个特征矢量对应一个不动直线：λllHT第16页，共17页。谢谢！第17页，共17页。