【文档说明】电子计算机中信息的表示及其运算37课件.ppt，共(103)页，806.012 KB，由小橙橙上传

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第二章电子计算机中信息的表示及其运算进位计数制机器内数据及符号的表示方法微型计算机的数据类型数的运算方法2.1进位计数制512=5*102+1*101+2*100系数基数权数2.1.1概述基本概念

权数：数值N中各数码所在的位置系数：数值N中各位置上的数码基值：数值N中各个位置上所能表示的数码的个数进位计数制的表示方法假设有一数值NN=(dn-1dn-2……d1d0d-1……d-m)rN=dn-1rn-1+dn-2rn-2+……d1r1+d0r0

+d-1r-1+……+d-mr-mr:基值di:系数r:为权数m,n:正整数，分别表示小数位和整数位例2-1-1(43863.57)十=4*104+3*103+8*102+6*101+3*100+5*10-1+7*10-2二进制权数：2n-1，2n-2…………系数：0，1基数

：r=2表示方法：在数字的末尾加上一个字母B例如：331.25=101001011.01B注:十进制数在数字的末尾加上一个字母D十进制二进制十进制二进制000005010110001601102001

07011130011810004010091001十进制和二进制之间的对应关系例2-1-2=1*28+1*27+1*26+1*25+0*24+0*23+1*22+1*21+0*20(111100110)二二进制数的优缺点优点二进制数便于物理元件的实现二进制数运

算简单二进制数使用器材少便于实现逻辑运算缺点代码冗长不便阅读八进制(Octal)和十六进制(Hexadecimal)八进制权数：8n-1，8n-2系数：0，1，2，3，4，5，6，7基数：r=8表示方法：在数字的末尾加上一个字母O例

如：331.25=513.2O十进制和八进制之间的对应关系十进制八进制十进制八进制006611772281033911441012551113例2-1-3例2-1-4(647.32)八=6*82+4*81+7*80+3*8-1+2*8-2=(423.40625)十(101

000111001)二5071=(5071)八=(2617)十十六进制权数：16n-1，16n-2，…………系数：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F基数：r=16表示方法：在数字的末尾加上一个字母H例如：331.25=14B.4H

十进制十六进制十进制十六进制十进制十六进制006612C117713D228814E339915F4410A16105511B1711十进制和十六进制之间的对应关系例2-1-5(101000111000)二A38=(A38)十六2.1.2不同计数制之间的转换各种数制转换成十进制按“权”转换法

例2-1-6：将(11011.11)二转换成十进制数解：(11011.11)二=1*24+1*23+0*22+1*21+1*20+1*2-1+1*2-2=16+8+0+2+1+0.5+0.25=(27.75

)十例2-1-7将(732.6)八转换成十进制数解：(732.6)八=7*82+3*81+2*80+6*8-1=448+24+2+0.75=(474.75)十基值重复相乘（相除）法整数的基值反复相乘法设N是一个四位的二进制数N=d323+d2

22+d121+d020=(d322+d221+d1)*2+d0=[(d3*2+d2)*2+d1]*2+d0运算步骤从最高为开始，将最高为乘以2，加上次高位，令结果为M1M1乘以2，加上第三位，令结果

为M2M2乘以2，加上第四位，令结果为M3，按这种方法一直运算下去，加到最低位为止最后，所得到的结果就是转换的结果例2-1-8将(101101)二转换成十进制数解：M1=1*2+0=2M2=2*2+1=5M3=5*2+1=11M4=11*2+0=2

2M5=22*2+1=45(101101)二=(45)十小数的基值反复相除法设N为四位的二进制小数则N=d-12-1+d-22-2+d-32-3+d-42-4=2-1{d-1+2-1[d-2+2-1(d-3+2-1d-4)]}运算步骤从最低位开始，将最低位除以2，加上次低位，令结果为R

1R1除以2，加上第三低位，令结果为R2R2除以2，加上第四低位，令结果为R3，一直进行到小数点左边的0为止所得到的十进制小数就是所要求的结果例2-1-9将N=(0.1011)二转换为十进制小数解：R1=(1/2)+1=1.5R2=(1.5/2)+0=0.75R3=(0.75/2)+1

=1.375N=(1.375/2)+0=0.6875(0.1011)二=(0.6875)十例2-1-10将N=(632.43)八转换为十进制小数解：（1）整数部分M1=6*8+3=51N整=51*8+2=410(632.43)八=(410.546875)十（2）小数部分R1=(3/

8)+4=4.375N小=(4.375/8)+0=0.546875将十进制数转换成其它进位制数将十进制数转换成二进制数整数部分的转换小数部分的转换ExampleExample例2-1-11求十进制数43的二进制表示解：除以2商Q

i余数di43/221d0=121/210d1=110/25d2=05/22d3=12/21d4=01/20d5=1低高即（43）十=（101011）二例2-1-12求(0.6875)十的二进制小数值解：乘以2得小数Fi整数di0.6875*

20.3750d-1=10.3750*20.7500d-2=00.7500*20.5000d-3=10.5000*20.0000d-4=1低高即（0.6875）十=（0.1011）二如果小数Fi永远不为0，

怎么办？例2-1-13求(0.423)十的二进制小数值（精度为2-5）解：乘以2得小数Fi整数di0.423*20.846d-1=00.846*20.692d-2=10.692*20.384d-3=10.384*20.768d-4=0低高即（0.423）十=（0.0

1101）二0.768*20.536d-5=1…………………………将十进制转换成其它进位制数例2-1-14将(0.6328125)十转换成八进制数解：乘以8得小数Fi整数di0.6328125*80.0625000d-1=50.0625000*80.500

0000d-2=00.5000000*80.0000000d-3=4低高即（0.6328125）十=（0.504）八例2-1-15将(3952)十转换成十六进制数解：除以16商Qi余数di3592/16247d0=0247/1615d1=715/160d2=F低高即（3

952）十=（F70）十六二进制与八进制、十六进制数之间的转换二进制--〉八进制1101110010.011001010002651213(1562.312)八二进制十六进制1101110010.0110010100(372.65)十六3

7265真值与机器数真值：用“+”，“-”来表示符号“正”、“负”的二进制数机器数：用“0”，“1”来表示符号“正”、“负”的二进制数01011符号数值部分小数点位置11011符号数值部分小数点位置2.2

机器内数据及符号的表示方法数据编码根据用途不同：原码、补码、反码为了方便人机交互有权码：8421码、2421码、5421码……无权码：余3码、格雷码……检测能力的数据编码：奇偶校验码、五中取二

码纠错能力的数据编码：汉明码、倍数正误码数字、字母、字符编码：ASCII码、EBCDIC码、汉字编码带符号数与不带符号数0000000011111111数值位不带符号数表示范围：0----255表示范围：0----1270000000001111111数值位带符号

数符号表示范围：-1-----1271000000111111111数值位带符号数符号2.2.1数的符号与小数点的表示定点与浮点表示定点数纯小数：小数点固定在符号位之后，如1.1010111，此时机器中所有的数都是小数。纯整数：小数点固定在最低位之后，如

11010111.，此时机器中所有的数都是整数。SfS1S2S3S4符号数值部分小数点位置SfS1S2S3S4符号数值部分小数点位置例2-2-1(329.625)十(.101001001101)二(54.75)十(.11011011)二+相等？(101001001101.)二(11011011.

)二(384.375)十(1.011111111101)二(101100101000.)二添加比例因子例2-2-2求329.625D和54.75D之和解：329.625D=101001001.101B54.75D=110110.11

B用比例因子23分别乘两数可得：101001001101.000110110110.求和：110000000011.将求和的结果除以23：110000000.011384.375D浮点表示法为什么要用浮点表示法计算机处理的数据不一定是纯小数或者纯整数如：圆周率3.1415926有些数据的数

之范围相差很大，不能用定点小数或者定点整数表示，但均可用浮点整数表示。如：电子的质量9*10-28克352.47=3.5247*102=3524.7*10-1=0.35247*103………………………………………

数学表示N=S*rjr：基值j：r的指数S：N的有效数字N=S*2jj：r的指数S：浮点数的尾数对二进制而言：N=11.0101=0.110101*210=1.10101*201=1101.01*2-10=0.00110101*2100……………………………10，01，-

10，100表示的是什么？一定要注意：这是二进制的表示方式，基数为2，有效数字和指数都要用二进制表示浮点机中数的表示形式jfj1j2j3…jmSfS1S2S3S4S5S6S7…Sn阶符阶值尾符尾数尾数：表示了数的精度，位数越多，精度越高阶值：表示了数的表示范

围，位数越多，表示范围越大机器字长一定，如何提高浮点数的表示精度？0.000010101如何用最少的位数表示该数？规格化规格化数非规格化数如果尾数的第一位有效数字是1时，该数即是规格化的数。例如：1.10101110.10100

01如果尾数的第一位有效数字是0时，该数即是非规格化的数。例如：1.0010101110.0010100010.1<|S|<1例2-2-3将N1=11.0101表示成浮点数例2-2-4将N2=0.00110101表示成浮点数

00100110101解：N1=11.0101=0.110101*210解：N1=0.00110101=0.110101*2-10尾数取6位，阶值取3位，阶符和尾符各取1位10100110101定点表示法与浮点表示法的比较数的表示范围假设机器的字长为8位SfS1

S2S3S4S5S6S7小数定点机浮点机jfj1j2SfS1S2S3S40.0000001------0.11111111/128------127/1280.0001*2-11------0.1111*2+111/128------7(1/2)浮

点数的表示范围要远远大于定点数的表示范围数的精度浮点数为规格化数时，它的精度远远大于定点数的精度数的运算定点数运算速度快浮点数要对尾数和阶码分别进行运算，而且运算结果要求规格化，所以运算步骤较多，运算速度不如定点数快溢出处理定点数对本身数值进行判断。如小数

定点机中的数的绝对值必须小于1，否则为“溢出”浮点数主要对阶码进行判断，下溢：当浮点数阶码小于最小阶码时，称为“下溢”，这时，溢出的数的绝对值很小，机器按0处理。此时机器可以继续运行上溢：当浮点数阶码大于最大阶码时，称为“上溢”，此时机器停止运算，进

行中断溢出处理。原码为了表示数的符号，可在数的最高位之前增设一位符号位，符号位为0表示正数，符号位为1表示负数，这样规定的二进制码，我们称为原码。例如：（假设机器字长为8位）X1=+1011010则[X1]原=0101101

0X2=-1011010则[X2]原=110110102.2.2原码、补码和反码整数的原码数学表示0,x0≤x<2n-1[x]原=2n-1–x-2n-1<x≤0其中：x为真值n为机器字长例：2-2-5假设机器字长为四位，求x的原码x=+1

01[x]原=0101x=-101[x]原=24-1–(-101)=1000–(-101)=1101小数的原码数学表示x0≤x<1[x]原=1–x-1<x≤0其中：x为真值例：2-2-6求x的原码x=+0.1010[x]原=0.1010x=-0.0011[x]原=1–(-0

.0011)=1+0.0011=1.0011例：2-2-7已知x的原码，求x的真值[x]原=1.0101x=1-[x]原=1–1.0101=-0.0101例：2-2-8已知x=0.0000，求[x]原[+0.0000]原=0.0000[-0.0000]原=1–(-0.0000)

=1.0000在原码表示法中，+0.0000和–0.0000的值不同返回补码操作种类A的符号B的符号实际操作结果符号|A|>|B||A|<|B|加正正加正正正负减正负负正减负正负负加负负减正正减正负正负加正正负正加负负负负减负正“补”的概念补码假设有一个四位的计数器，0000

-1111计数，当前值为1011，如何计数到00001011-101100001011+010110000计数器为4位，“1”自然丢失整数的补码数学表示（模2n）x0≤x<2n-1[x]补=2n+x-2n-1<x≤0其中

：x为真值n为机器字长例：2-2-9求x的补码，假设机器字长为4位x=+101[x]补=0101x=-101[x]补=24+(-101)=10000-101=1011小数的补码数学表示（模2）x0≤x<1[x]补=2+x

-1<x≤0其中：x为真值例：2-2-10求x的补码x=+0.1001[x]补=0.1001x=-0.0110[x]补=2+(-0.0110)=10–0.0110=1.1010例2-2-11x=0，求[x]补[+0.0000]补=0.0000[-0.0000]补=1

0–0.0000=0.0000原码返回在补码的表示方法中，+0.0000和–0.0000的值相同反码x=-101假设机器字长为4位[x]补=24+(-101)=10000+(-101)=101124=10000=1111+0001[x]补

=24+x=1111+0001-x1x2x3=1x1x2x3+0001整数的反码数学表示（模2n-20）x0≤x<2n-1[x]反=(2n–20)+x-2n-1<x≤0其中：x为真值n为机器字长例：2-2-12求x的反码，假设机

器字长为4位x=+101[x]反=0101x=-101[x]反=(24-20)+(-101)=10000-0001-101=1010小数的反码数学表示（模2–2-n+1）x0≤x<1[x]反=(2–2-n+1)+x-1<x≤0其中：

x为真值n为机器字长例：2-2-13求x的反码x=+0.0110[x]反=0.0110x=-0.1011[x]反=(2–2-4)+(-0.1011)=2–0.0001–0.1011=1.0100例2-2-14x=0，求[x]反[+

0.0000]反=0.0000[-0.0000]反=10.0000–0.0001–0.0000=1.1111原码补码在反码的表示方法中，+0.0000和–0.0000的值不相同小结机器数的最高位是符号位，0为正，1为负正数x，其原码、补码、反码的表示形式相同负数x[x

]原：符号位为1，数值部分与真值绝对值相同[x]补：符号位为1，数值部分为将真值尾数逐位求反，最低位加1[x]反：符号位为1，尾数部分为将真值的尾数按位取反例2-2-15已知x=+13/128，试用二进制表示成定点数和浮点数（数值部分取8位，阶码部分取3位，阶符、数符各取

1位），并写出它在定点机和浮点机中的机器数形式解：(1)x=8/128+4/128+1/128=2-4+2-5+2-7=0.0001101(2)定点数表示为：x=0.00011010浮点数表示为：x=0.11010000*2-11(3)定点机中的机器数

：[x]原=[x]补=[x]反000011010(4)浮点机中的机器数：011010000[x]原：1011011010000[x]补：1101011010000[x]反：1100例2-2-16已知x=-17/64，试用二进制表示成定点数和浮点数（数值部分取8位，阶码部分取3位，阶符、数

符各取1位），并写出它在定点机和浮点机中的机器数形式解：(1)x=-(16/64+1/64)=-(2-2+2-6)=-0.0100010(2)定点数表示为：x=-0.01000100浮点数表示为：x=0.10001000*2-1(3)定点机中的机器数：

101000100[x]原：110101100[x]补：110101011[x]反：(4)浮点机中的机器数：110001000[x]原：1001101111000[x]补：1111101110111[x]反：11102.2.3信息的编码方法BCD码（B

inaryCodedDecimal）二进制表示的十进制数编码常用的BCD码为8421BCD码（每位十进制数用四位二进制数表示）34转换为BCD码为：0011010090转换为BCD码为：10010000BCD码的种类非压缩型的BCD码每个十

进制数用一个字节表示，只有低四位的值表示数值34表示为：001100110011010090表示为：0011100100110000压缩型的BCD码一个字节存放两个十进制的数位BCD码的用途可以表示数，并在计算机内直接参加运算BCD码可以

在数的转换过程中，做中间表示奇偶校验码作用：为了防止信息在存储及传输过程中发生错误而设置的附加码编码种类：奇校验：“1”的个数为奇数010110101偶校验：“1”的个数为偶数01010101ASCII码目的：为了表示、传输打字机或键盘上面的所有符号表

示128各符号，包括数字、英文字母（大写和小写）、34个专用字符和32个通用控制字符。非压缩型的编码最高位增加一位校验位ASCII码表2.3微型计算机的数据类型字符型数据单字整数双字整数短实数长实数……2.3.1

带符号数与不带符号数的区别数的表示上，最高位为符号位，“0”代表正数，“1”代表负数例：10110101无符号数：1*27+1*25+1*24+1*22+1*20=128+32+16+4+1=181有符号数：10110

101=-01001011=-75整数类型数的表示范围类型带符号数无符号数字符型-128≤x<1270≤x≤255单字-32768≤x≤+327670≤x≤65535双字-2*109≤x≤+2*109-10≤x≤

4*109-12.3.2整数表示字符型整数S数值760单字整数S数值15140双字整数S数值313002.3.3实数表示S偏移的阶码有效位短实数S偏移的阶码有效位3130220长实数63625108位11位十进制数的表示，见BCD码

2.4数的运算方法数的运算的种类算术运算逻辑运算与、或、非、异或2.4.1数的逻辑运算逻辑非（求反）NOT国标符号运算规则例x=10110101，y=01100010，求其非NOTx=01001010NOTy=10011101AA0110AA

逻辑加OR国标符号运算规则例x=10110101y=01100010求xORy解：xORy=10110101OR01100010=11110111ABA∨B000011101111+ABA∨B逻辑乘AND国标符号运算规则

例x=10110101y=01100010求xANDy解：xANDy=10110101AND01100010=00100000ABA∧B000010100111ABA∧B逻辑异或（按位加）国标符号运算规则例x=10110101，y=

01100010求xXORy解：xXORy=10110101XOR01100010=11010111⊕ABA⊕BABA⊕B0000111011102.4.2数的算术运算定点加减运算及溢出判断定点加减

运算计算机中，数的加减运算是通过补码来完成的[x]补+[y]补=[x+y]补成立详细的证明过程，见书36页例2-4-1A=0.1011B=-0.0101，求[A+B]补解：[A]补=0.1011[B]补

=1.1011[A]补+[B]补=0.1011+1.1011丢掉10.0110[A+B]补=0.0110例：2-4-2A=-0.1001B=-0.0101，求[A+B]补解：[A]补=1.0111[B]补=1.1011[A]补+[B

]补=1.0111+1.1011丢掉11.0010[A+B]补=1.0010单符号位的溢出判断两个符号相反的数相加不会产生溢出符号位相同时，相加结果得到相反的符号，则溢出。双符号位的加减运算解：[A]补=11.0101[B]

补=11.1001[A]补+[B]补=11.0101+11.1001丢掉110.1110例2-4-3已知A=-11/16B=-7/16，求[A+B]补符号位不同，溢出解：[A]补=00.1011[B]补=00.0111[A]补+[B]补=0

0.1011+00.011101.0010例2-4-4已知A=11/16B=7/16，求[A+B]补符号位不同，溢出补码定点加减法的硬件配置0An加法器（n+1位）0Xn溢出判断VGAGs求补控制逻辑0.10001111定点乘除运算原码一位乘法分析笔算乘法例设A=0.1101B=0.

1011，求A*B0.1101*0.10111101110100001101将四个位积一次相加，机器难以实现乘积的位数增长了一倍，造成器件的浪费和运算时间的增加笔算乘法的改进A*B=A*0.1011=0.1*A+0.00*A+0.001*A+0.0001*A=0.1*A+

0.00*A+0.001*(A+0.1*A)=0.1*A+0.01*[0*A+0.1*(A+0.1*A)]=0.1*{A+0.1*[0*A+0.1*(A+0.1*A)]}=2-1*{A+2-1*[0*A+2-1*(A+2-1*(A+0))]}将乘法转换为四次加法和四次移位操作笔算乘

法改进的运算步骤操作运算A*0.10111加法A+0=0.1101+0=0.11012移位2-1*(A+0)=0.011013加法A+2-1*(A+0)=0.1101+0.01101=1.001114移位2-1*(A+2-1*(A+0))=0.1001115加法0

*A+2-1*(A+2-1*(A+0))=0.1001116移位2-1*[0*A+2-1*(A+2-1*(A+0))]=0.01001117加法A+2-1*[0*A+2-1*(A+2-1*(A+0))]=1.

0001118移位2-1*{A+2-1*[0*A+2-1*(A+2-1*(A+0))]}=0.10001111A*B=2-1*{A+2-1*[0*A+2-1*(A+2-1*(A+0))]}数学表示[x]原=x0.x1x2x3……xn[y]原=y0.y1y2y3……yn

[x]原*[y]原=x0⊕y0（0.x1x2……xn）*（0.y1y2……yn）（0.x1x2……xn）记作x*（0.y1y2……yn）记作y*递推公式：z0=0zi=2-1(yn-i+1*x*+zi-1)z1=

2-1(yn*x*+z0)……z2=2-1(yn-1*x*+z1)…………zn=2-1(y1*x*+zn-1)……部分积乘数说明0.0000+0.11011011初始条件，部分积为0乘数低位为1，加被乘数0.11010.0110+0.1101110111位，形

成新的部分积，乘数1位，低位为1，加被乘数1.00110.1001+0.000011110111位，形成新的部分积，乘数1位，低位为0，加00.10010.0100+0.11011111110111位，形成新的部分积，乘数1位

，低位为1，加被乘数1.00010.100011111111位，形成最终结果被乘数A=0.1101乘数B=0.1011原码一位乘所需的硬件配置0An0Qn0Xn加法器控制门移位和加控制计数器SGM原码一位除法分析笔算除法0.11

010.101100010.011010.010012-1*y010.0011010.0001012-2*y0010.000011010.000001112-3*y设x=-0.1011y=0.1101数学表示[x]原=x0.x1x2x3……xn[y]原=y0.y1y2y3……yn[x]原/[y]

原=x0⊕y0[（0.x1x2……xn）/（0.y1y2……yn）]（0.x1x2……xn）记作x*（0.y1y2……yn）记作y*约束：0<|被除数|≤|除数|恢复余数法当余数为负的时候，需加上除数，将其恢复成原来的余数。当余数Ri>0时，上商“1

”，再对Ri左移一位后减除数，即做2Ri–Y*的运算；当余数Ri>0时，上商“0”，然后做Ri+Y*即恢复余数的运算；加减交替法当余数Ri>0时，上商“1”，做2Ri–Y*的运算；当余数Ri<0时，上商“0”，做2Ri+Y*的运算

；恢复余数法示例加减交替法示例例已知x=-0.1011，y=-0.1101求[x/y]原解：x0=1x*=0.1011[x]原=1.1011y0=1y*=0.1101[y]原=1.1101[-y*]补=1.0011被除数（余数）

商说明0.1011+1.00110.0000+[-y*]补，（减去除数）1.1110+0.11010余数位负，上商0恢复余数，+[y*]补0.10111.0110+1.00110被恢复的余数1位+[

-y*]补，（减去除数）0.10011.0010+1.00110101余数为正，上商11位+[-y*]补，（减去除数）被除数（余数）商说明0.01010.1010+1.0011011011余数为正，上商11位+[-

y*]补，（减去除数）1.1101+0.11010110余数位负，上商0恢复余数，+[y*]补0.10101.0100+1.00110110被恢复的余数1位+[-y*]补，（减去除数）0.011101101余数为正，上商1返回例已知x=-0.1011，y=0.1101求[x/y]原解

：x0=1x*=0.1011[x]原=1.1011y0=0y*=0.1101[y]原=0.1101[-y*]补=1.0011被除数（余数）商说明0.1011+1.00110.0000+[-y*]补，（减去除数）1.11101.1100+0.1101

00余数位负，上商01位恢复余数，+[y*]补0.10011.0010+1.00110101余数为正，上商11位+[-y*]补，（减去除数）0.01010.1010+1.0011011011余数为正，上商11位+[-y*]补，（减去除数）被除数（余数）商说明1.11011.1

010+0.110101100110余数为负，上商01位+[y*]补，（加除数）0.011101101余数位正，上商1原码加减交替法所需的硬件配置0An0Qn0Xn加法器控制门移位和加控制计数器SGDV习题习题3：数制转换习题11：写出

下列各数的原码、补码和反码习题17：将十进制数……表示成二进制浮点规格化数%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$

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