【文档说明】第三章 函数的概念与性质（习题课）（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(38)页，1.034 MB，由飞向未来上传

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习题课函数的概念与性质习题课综合贯通知识把握考点考法函数的概念与性质综合考法(一)求函数的定义域[题型技法][例1](1)函数y＝2x＋1＋3－4x的定义域为()A.－12，34B．－12，34C.－∞，12D．－12，0∪(0，＋∞)[解析](1)由2x＋1≥0，3－4x≥0

，解得－12≤x≤34，所以函数y＝2x＋1＋3－4x的定义域为－12，34.[例1](2)若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是()A．[－4,4]B．[－2,2]C．[－4，－2]D．[2,4][解析](2)

由－2≤x≤4，－2≤－x≤4，得－2≤x≤2，所以函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是[－2,2]．[答案](1)B(2)B[方法技巧]求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．(2)实际问题：求

函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．(3)复合函数问题：①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(

x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．[提醒](1)f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；(2)定义域所指永远是x的范围．[冲关训练]1．函数f(x)＝2x21－x＋(2x－1)0的定义域为()A.－∞，12B．12，1C.－12，12D．－∞，12∪12，

1解析：由题意得1－x＞0，2x－1≠0.解得x＜1且x≠12.答案：D2．已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为()A.－13，0B．－1

3，3C．[0,1]D．－13，1解析：由－1≤x≤2，得－2≤x－1≤1，所以－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1.答案：C综合考法(二)分段函数[题型技法][例2]设f(x)＝x，0＜x＜1

，2x－1，x≥1.若f(a)＝f(a＋1)，则f1a＝()A．2B．4C．6D．8[解析]当0<a<1时，a＋1>1，f(a)＝a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2a，解得a＝14.∴f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝

6.当a≥1时，a＋1≥2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∴2(a－1)＝2a，无解．综上，f1a＝6.[答案]C[方法技巧](1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当

出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验．(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段

函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．[冲关训练]1．已知函数f(x)＝x＋1x－2，x＞2，f(x＋3)，x≤2，则f(2)的值等于()A．4B．3C．2D

．无意义解析：∵f(x)＝x＋1x－2，x＞2，f(x＋3)，x≤2，∴f(2)＝f(5)＝5＋15－2＝2.故选C.答案：C2．设集合A＝0，12，B＝12，1，函数f(x)＝x＋12，x∈A，2(1－x)，x∈B，若x0∈A，且f(f(x0)

)∈A，则x0的取值范围是()A.0，14B．－14，12C.14，12D．0，38解析：∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋12∈B，∴f(f(x0))＝fx0＋12＝21－x0－12＝1－2x0∈A，∴0

≤1－2x0＜12，即14＜x0≤12.又x0∈A，∴14＜x0＜12.答案：C3．函数f(x)＝x，x≤－2，x＋1，－2＜x＜4，3x，x≥4，若f(a)<－3，则a的取值范围是________

．解析：当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2<a<4时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解；当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解．故a的取值范围是(－∞，－3)．答案：(－∞，－3)综合考法(三)函数的性质及应用[题型技法][例3]已知

f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有f(a)＋f(b)a＋b＞0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式f(x2)＜f(2x)；(3)若f(x)≤m2－2am＋

1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)f(x)是[－1,1]上的增函数．证明：任取x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)．∵f(x1)＋f(－x2)x1＋(－x2)＞0，∴f(x1)－f(x2)

x1－x2＞0，∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x)是[－1,1]上的增函数．[解](2)由(1)可得f(x)在[－1,1]上递增，可得不等式f(x2)＜f(2x)等价于－1≤x2≤1，－1≤2x≤1，x2＜2x，解得0＜x≤12，即所求不等式的解集为0，12.(3)要使

f(x)≤m2－2am＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，只需f(x)max≤m2－2am＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，又f(x)max＝f(1)＝1，∴1≤m2－2am＋1对任意的a∈[－1,1]恒成立，即m2－2am≥0对

任意的a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝－2ma＋m2，只需g(－1)＝2m＋m2≥0，g(1)＝m2－2m≥0，解得m≤－2或m≥2或m＝0，故实数m的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．[方法技巧]函数单调

性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．[提醒]判断函数的奇偶性时要特别

注意定义域是否关于原点对称．[冲关训练]1．若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f(π)<f(a)的实数a的取值范围是________．解析：若a≥0，由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)<f(a)，得a<π，即0≤a<π.若a<0，则由f(

x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．因为f(π)＝f(－π)，则由f(－π)<f(a)，得a>－π，即－π<a<0.综上所述，a∈(－π，π)．答案：(－π，π)2．已知函数f(x)＝mx2＋23x＋n是

奇函数，且f(2)＝53.(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴mx2＋2－3x＋n＝－mx2＋23x＋n

＝mx2＋2－3x－n.比较得n＝－n，n＝0.又f(2)＝53，∴4m＋26＝53，解得m＝2.因此，实数m和n的值分别是2和0.(2)由(1)知f(x)＝2x2＋23x＝2x3＋23x.任取x1，x2∈[

－2，－1]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝23(x1－x2)1－1x1x2＝23(x1－x2)·x1x2－1x1x2.∵－2≤x1＜x2≤－1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，∴f(x1

)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，因此f(x)max＝f(－1)＝－43，f(x)min＝f(－2)＝－53.综合考法(四)函数的图象及应用[题型技法][例4]在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交

点，则a的值为________．[解析]函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－12.[答案]－12[方法技巧]作函数图象的方法(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．(2)变换法——熟知函数的图

象的平移、伸缩、对称、翻转．[提醒]要利用函数的单调性、奇偶性、对称性简化作图．[冲关训练]已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.(1)求f(－1)；(2)求f(x)的解析式；(3)画出f(x)的图象，并指

出f(x)的单调区间．解：(1)由于函数f(x)是R上的奇函数，所以对任意的x都有f(－x)＝－f(x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3.(2)设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.又因为f(x)

为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．因此f(x)＝x2＋2x－2.又因为f(0)＝0，所以f(x)＝x2＋2x－2，x＜0，0，x＝0，－x2＋2x＋2，x＞0.(3)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对

称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．综合考法(五)函数模型的建立[题型技法][例5]某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)

落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：第t天4101622Q/万股36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满

足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少．[解](1)P＝15t＋2，0＜t≤20，－110t＋8，20＜t≤30(t∈N*)．(

2)设Q＝at＋b(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入得4a＋b＝36，10a＋b＝30.所以a＝－1，b＝40，所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0<t≤30，t∈N

*.(3)由(1)(2)可得y＝15t＋2×(40－t)，0＜t≤20，－110t＋8×(40－t)，20＜t≤30.即y＝－15(t－15)2＋125，0＜t≤20，110(t－60)2－40，20＜t≤30(t∈N*)．当0<t≤

20时，y有最大值ymax＝125万元，此时t＝15；当20<t≤30时，y随t的增大而减少，ymax<110(20－60)2－40＝120(万元)．所以在30天中的第15天日交易额最大，最大值为125万元．[方法技

巧]1．建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主动、被动关系，并用x，y分别表示．(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．2．建模的三个原则

(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果．(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型

的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题．[冲关训练]1．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且

赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)．解析：当0<x<10时，f(x)＝40x；当10≤x<20时，f(x)＝35x－10；

当20≤x≤40时，f(x)＝30x－20.所以f(x)＝40x，0<x<10，35x－10，10≤x<20，(x∈N*).30x－20，20≤x≤40答案：f(x)＝40x，0<x<10，35x－10，10≤x<20，(x∈N*)30x－20，20≤x≤402．如图所示，A

,B两城相距100km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A，B两城供气．已知D地距A城xkm，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10km.已知建设费用y(万元)与A，B两地的供气距离(km)的平方和成正

比．当天然气站D距A城的距离为40km时，建设费用为1300万元(供气距离指天然气站到城市的距离)．(1)把建设费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？解：(1)由题意知D

地距B地(100－x)km，则10≤100－x，x≥10，所以10≤x≤90.设比例系数为k，则y＝k[x2＋(100－x)2](10≤x≤90)，又x＝40时，y＝1300，所以1300＝k(402＋602)，即k＝14，所以y＝14[x2＋(100－x)2]＝12(x2－10

0x＋5000)(10≤x≤90)．(2)因为y＝12(x2－100x＋5000)＝12(x－50)2＋1250，所以当x＝50时，y有最小值为1250万元．所以当供气站建在距A城50km处，能使建设费用最小，最小费用是1

250万元．谢谢观看