【文档说明】习题课3 三角函数（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(31)页，984.109 KB，由飞向未来上传

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习题课3三角函数习题课综合贯通知识把握考点考法三角函数综合考法(一)三角函数式的化简与求值[例1](1)已知tanα＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4＝()A．－255B．－3510C．－31010D．

255[解析](1)因为tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，所以tanα＝－13，因为－π2＜α＜0，所以sinα＝－1010，所以2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinα(sinα＋cosα)22(cos

α＋sinα)＝22sinα＝22×－1010＝－255.[答案](1)A[例1](2)在△ABC中，若3cos2A－B2＋5sin2A＋B2＝4，则tanAtanB＝________.[解

析](2)因为3cos2A－B2＋5sin2A＋B2＝4，所以32cos(A－B)－52cos(A＋B)＝0，所以32cosAcosB＋32sinAsinB－52cosAcosB＋52sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4si

nAsinB，所以tanAtanB＝14.[答案](2)14[方法技巧]三角函数求值主要有三种类型(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．[方法技

巧]三角函数求值主要有三种类型(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往

往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．[冲关训练]1．若tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，则sin2α＋π4的值为()A．－210B．210C.3210D．7210解析：∵α∈π4，π2，∴tanα＞1，∴由tanα

＋1tanα＝103，解得tanα＝3.∴sin2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×2sinαcosα＋cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝22×2tanα＋1－tan2α1＋tan2α＝22×－21＋9＝－210.故选A.答案：A2.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾

经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为

36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC＝5－12.根据这些信息，可得sin234°＝()A.1－

254B．－3＋58C．－5＋14D．－4＋58解析：由图可知，∠ACB＝72°，且cos72°＝12BCAC＝5－14，∴cos144°＝2cos272°－1＝－5＋14.则sin234°＝sin(144°＋90°)＝cos144°＝－5＋14.答案：C3．已知A，B均为钝

角，sin2A2＋cosA＋π3＝5－1510，且sinB＝1010，则A＋B＝()A.3π4B．5π4C.7π4D．7π6解析：因为sin2A2＋cosA＋π3＝5－1510，所以1－cosA2＋12cosA－32sinA＝5－1510，即1

2－32sinA＝5－1510，解得sinA＝55.因为A为钝角，所以cosA＝－1－sin2A＝－1－552＝－255.由sinB＝1010，且B为钝角，可得cosB＝－1－sin2B＝－1－10102＝－31010.所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×－3

1010－55×1010＝22.又A，B都为钝角，即A，B∈π2，π，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝7π4，故选C.答案：C综合考法(二)三角函数的图象及其变换[题型技法][例2]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A，ω，φ为常数，A＞

0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．[解析]由题图可知，A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，ω＝2πT＝2.又函数图象经过点π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函

数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π3，所以f(0)＝2sinπ3＝62.[答案]62[方法技巧]由已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周

期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．[冲关训练]1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－π2≤φ≤π2的图象如

图所示，则f(1)＝()A.2B．1＋2C．2＋2D．22解析：由函数f(x)的图象可知函数最大值为2，最小值为－2，所以A＝2，由T2＝6－2＝4⇒T＝8＝2πω从而得ω＝π4，又图象过原点，所以φ＝0，f(x)＝2sinπ4x，得f(1)

＝2sinπ4＝2.答案：A2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的图象上的一个最低点为M2π3，－2，周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)将y＝f(x

)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式；(3)当x∈0，π12时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)∵T＝

2πω＝π，∴ω＝2.又f(x)min＝－2，∴A＝2.∵f(x)的最低点为M2π3，－2，∴sin4π3＋φ＝－1.∵0＜φ＜π2，∴4π3＜4π3＋φ＜11π6.∴4π3＋φ＝3π2.∴φ＝π6.∴f(x)

＝2sin2x＋π6.(2)y＝2sin2x＋π6―――――――→横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)y＝2sin12×2x＋π6＝2sinx＋π6―――――――→沿x轴向右平移π6个单位长度y＝2sinx－π6

＋π6＝2sinx，∴y＝g(x)＝2sinx.(3)∵0≤x≤π12，∴π6≤2x＋π6≤π3.∴当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)min＝2sinπ6＝1；当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)max

＝2sinπ3＝3.综合考法(三)三角函数性质与变换公式的综合应用[例3](1)当x＝π4时，函数y＝f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f3π4－x是()A．奇函数且当x＝π2时取得最大值B．偶函数且图象关于点(π，0)对称C．奇函数且

当x＝π2时取得最小值D．偶函数且图象关于点π2，0对称[解析](1)选C∵fπ4＝－A，∴sinπ4＋φ＝－1，∴φ＝5π4＋2kπ，k∈Z，∴y＝f3π4－x＝Asin(－x)＝－Asinx，∴y＝f

3π4－x是奇函数，且当x＝π2时取得最小值．(2)已知函数f(x)＝3sinωxcosωx－cos2ωx－12(ω＞0，x∈R)，且函数f(x)的最小正周期为π.①求函数f(x)的对称轴；②将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

函数g(x)的图象，求函数y＝4g2(x)－12g(x)－1在x∈－π12，π3上的最值．[解析](2)①f(x)＝3sinωxcosωx－cos2ωx－12＝32sin2ωx－12cos2ωx－1＝sin2ωx－

π6－1.因为f(x)的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.故f(x)＝sin2x－π6－1，其对称轴满足2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，故其对称轴为x＝kπ2＋π3(k∈Z)．②将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度得到函数y＝sin

2x＋π12－π6－1＝sin2x－1的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝sin2x的图象，因此y＝4g2(x)－12g(x)－1＝4sin22x－12sin2x－1.令t＝

sin2x，由于2x∈－π6，2π3，故t∈－12，1，所以y＝4t2－12t－1＝4t－322－10，因为当t∈－12，1时，函数y＝4t2－12t－

1递减，所以当t＝－12，即x＝－π12时，ymax＝6；当t＝1，即x＝π4时，ymin＝－9.[方法技巧](1)研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点对称，则当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋

π2(k∈Z)时，函数为偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时，函数为非奇非偶函数．(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0)的单调区间时(若ω＜0，可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值)．把ωx＋φ视为一个整体，由A的符号来确定单调性．[冲关训练]1

．(多选)已知函数f(x)＝sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y＝f(x)的图象向左平移π4个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是()A．函数y＝g(x)的图象的两条相邻对称轴之间距离为π2B．

函数y＝g(x)的图象关于x＝11π12对称C．函数y＝g(x)的图象关于点7π24，0对称D．函数y＝g(x)在0，5π12内为减函数解析：由T＝2πω＝π，得ω＝2，即f(x)＝sin2x＋π6，将函数y＝f(x)的图象向左平移π4个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(

x)＝sin2x＋π4＋π6＝sin2x＋π2＋π6＝cos2x＋π6，函数g(x)的周期T＝2π2＝π，则y＝g(x)的图象的两条相邻对称轴之间距离为T2＝π2，故A正确；g11π12＝cos2×11π12＋π6＝cos2π＝1，即函数y＝g(x)的图象关于x＝11π12对称，故B正确；

g7π24＝cos2×7π24＋π6＝cos3π4≠0，即函数y＝g(x)的图象不关于点7π24，0对称，故C错误；当0＜x＜5π12时，π6＜2x＋π6＜π，此时g(x)为减函数，故D正确．答案：ABD2．设函数f(x)＝32sin2ωx＋co

s2ωx，其中0＜ω＜2.(1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝π3，求ω的值．解：(1)f(x)＝32sin2ωx＋1＋cos2ωx2＝sin2ωx＋π6＋12.∵f(x)的最小正周期为

π，ω＞0，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.∴f(x)＝sin2x＋π6＋12.令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)∵f(x

)＝sin2ωx＋π6＋12的一条对称轴为x＝π3，∴2ω·π3＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)．∴ω＝32k＋12(k∈Z)．又0＜ω＜2，∴－13＜k＜1.∴k＝0.∴ω＝12.谢谢观看