【文档说明】5.7 三角函数的应用（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(31)页，1.266 MB，由飞向未来上传

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5.7三角函数的应用5．7三角函数的应用1．了解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．2．通过观察、分析已知数据，能建立三角函数模型来刻画并解决实际问题．3．体会三角函数模型在实际生活中的应用，建立三角函数模型是处理周期性问题的重要方法之一．4．通过建立

三角函数模型解决实际问题，培养学生数学建模的核心素养．借助实际问题求解，提升学生数学运算的核心素养．(一)教材梳理填空1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义2．三角函数模型的作用三

角函数作为描述现实世界中_________的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画_________规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．周期现象周期变化3．三角函数模型解决实际问题的步骤

我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“______”、观察______，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个________来解决相应的实际问题．散点图散点图函数模型(二)基本知能小试1．判断正误(1)函数y＝sinx＋12的周期为π.()(2)

一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s，振幅为5cm，则该振子在2s内通过的路程为50cm.()(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin100πt＋π3，则当t＝1200s时，电流强度I为52A．()答案：(1)×(2)×(3)√2．函数y

＝3sin13x＋π6的周期、振幅、初相分别是()A．3π，13，π6B．6π，13，π6C．3π，3，－π6D．6π，3，π6解析：y＝3sin13x＋π6的周期为T＝2π13＝6π，振幅为3，初相为π6.答案：D3．做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为y＝2s

in50πt＋π6cm，则它的周期为________s.解析：T＝2π50π＝0.04.答案：0.044．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间(单位：分钟)，则此人每分钟心跳的次数为________．解析

：因为T＝2π160π＝180，所以f＝1T＝80.答案：80题型一三角函数模型简单的实际应用[典例1]如图所示，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关

于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量．[解](1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则－A＋b＝700，A＋b

＝900，解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT＝π6，∴y＝100sinπ6t＋φ＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sinπ6×6＋φ＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y＝100sinπ6t－π2＋

800.(2)当t＝2时，y＝100sinπ6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约为750.[方法技巧](1)在审题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”的这个过程就是数学建模过程．(2)能够迅速地建立数学模型是解决实际问题的一项重要的基本技能．这个过

程并不神秘，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．[变式训练]已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－5π4＋20，x∈[4,16]．(1)求该地这一段

时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？解：(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以最大温差为30℃－10℃＝20℃.(2)令10sinπ8x－5π4＋20

＝15，得sinπ8x－5π4＝－12，而x∈[4,16]，所以x＝263.令10sinπ8x－5π4＋20＝25，得sinπ8x－5π4＝12，而x∈[4,16]，所以x＝343.故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83小时．题型二三角函数模型在物理学中的应用[典例2]已知如

图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)的图象．(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)中t在任意一段1100秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，

那么正整数ω的最小值是多少？[解](1)由图知，A＝300.T＝160－－1300＝150，所以ω＝2πT＝100π.因为－1300，0是该函数图象的第一个点(五点作图法)，所以－φω＝－1300，所以φ＝ω300＝π3，所以I＝300sin100πt＋π3(t≥0)．(2)问题等价于T≤1100

，即2πω≤1100，所以ω≥200π，所以最小的正整数ω为629.[方法技巧]处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解

题．[变式训练]已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)

小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？解：列表如下，t－π6π12π37π125π62t＋π30π2π3π22πsin2t＋π3010－10s040－40(

1)将t＝0代入s＝4sin2t＋π3，得s＝4sinπ3＝23，所以小球开始振动时的位移是23cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.描点、连线，图象如图所示．题型三数

据拟合模型的应用[典例3]某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期

观测，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝Asinωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，

则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?[解](1)从拟合曲线可知：函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h，因此2π

ω＝12，ω＝π6.又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函数的表达式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．(2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，

水深y应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sinπ6t＋10≥11.5，可得sinπ6t≥12，∴2kπ＋π6≤π6t≤2kπ＋5π6(k∈Z)，∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17；而取k＝2时，

25≤t≤29(不合题意，舍去)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最多不能超过16h.[方法技巧]处理数据拟合和

预测问题的4步骤(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据

．[变式训练]下表所示的是某地2000～2019年的月平均气温(°F).月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角

坐标系．(1)描出散点图．(2)用正弦曲线去拟合这些数据．(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A.(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①yA＝cosπx6；②y－46A＝cosπx6；③y－46－A＝cosπx6；④y－26A＝sinπx6.解：(

1)(2)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．(3)1月份的平均气温最低，为21.4°F,7月份的平均气温最高，为73.0°F，根据散点图知T2＝7－1＝6，∴T＝12.(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.(5)∵x＝月份－1

，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得yA＝26.025.8＞1≠cosπ6，∴①不适合．代入②，得y－46A＝26.0－4625.8＜0≠cosπ6，∴②不适合，同理，④不适合，∴③最适合．[思维训练]一、综合性——

强调融会贯通1.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m,60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离是h.(1)求h与θ之间的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过ts后到达OB，求h与t之间

的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间．请根据题设条件把下面的解析补充完整．解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－π2，故点B的坐标为__________________________.∴h＝

________________.(2)点A在圆上转动的角速度是π30，故ts转过的弧度数为πt30.4.8cosθ－π2，4.8sinθ－π25.6＋4.8sinθ－π2∴h＝_______________

_______________．到达最高点时，h＝______m.由sinπ30t－π2＝1，得π30t－π2＝_____________，当k＝0时，缆车到达最高点时用的时间最少，此时t＝___s.∴缆车到达最高点时，用的最少时间是___s.5.6＋4.8sin

π30t－π2，t∈[0，＋∞)10.42kπ＋π2(k∈Z)3030二、创新性——强调创新意识和创新思维2．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成的角为θ，矩形周边上最高点离

地面的距离为f(θ)．求：(1)θ的取值范围；(2)f(θ)的解析式；(3)f(θ)的值域．解：(1)观察可知BC与地面所成的角θ的取值范围为0，π2.(2)如图，连接BD，在Rt△BCD中，CD＝1，BC＝3，则∠DBC＝π6，过D作地面的垂线，垂足为E，在Rt△BED中，∠DBE＝

θ＋π6，DB＝2，∴f(θ)＝2sinθ＋π60≤θ≤π2.(3)由(2)知，当0≤θ≤π2时，π6≤θ＋π6≤2π3，∴12≤sinθ＋π6≤1，即f(θ)的值域为[1,2]．谢谢观看