5.6 函数y=Asin(ωx+φ)(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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【文档说明】5.6 函数y=Asin(ωx+φ)(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册).pptx,共(45)页,1.706 MB,由飞向未来上传

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以下为本文档部分文字说明:

5.6函数y=Asin(ωx+φ)5.6函数y=Asin(ωx+φ)1.结合具体实例,了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能够将y=sinx的图象进行变换得到y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象.2.借助函数图象,理解参数A

,ω,φ的意义,能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.3.通过函数图象的变换,培养学生直观想象的核心素养.借助函数的图象求解析式,提升学生数学运算的核心素养.(一)教材梳理填空(1)φ对y=si

n(x+φ),x∈R的图象的影响(2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响(3)A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(二)基本知能小试1.判断正误(1)由函数y=sinx-π3的图象得到y=sinx的图象,必须向左平移.()(2)把函数y=sinx的图象上

点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y=sin3x的图象.()(3)在进行函数y=Asin(ωx+φ)图象间变换的时候必须先左右平移,再进行伸缩变换.()答案:(1)×(2)×(3)×2.把函数y=sin

x的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为()A.y=sinx-π3B.y=sinx+π3C.y=sinx-π3D.y=sinx+π3解析:根据图象变换的方法,y=sinx的图象向左平移π3

个单位长度后得到y=sinx+π3的图象.答案:D3.函数y=Asin(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为5,则A=()A.5B.-5C.4D.-4解析:因为A>0,所以当sin(ωx+φ)=1时,ymax=A+1=5,所以A=4.答案:C4.函数y=sinx+1

的对称中心坐标为________.解析:函数y=sinx+1的对称中心坐标为(kπ,1),k∈Z.答案:(kπ,1),k∈Z题型一三角函数图象之间的变换[学透用活][典例1]已知函数y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2

倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移π2个单位,这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同,则函数y=f(x)的解析式为________.[答案]f(x)=-12cos2x[方法技巧]三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略(1)确定函数y=sin

x的图象经过平移变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,即按“左加右减”的原则进行.(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位.[变式训练]1.将函数y=2cos2x+π3的图象向左平移π3个单位长度,再向下平移3个单

位长度,则所得图象的解析式为________.解析:y=2cos2x+π3的图象向左平移π3个单位长度,得y=2cos2x+π3+π3=2cos(2x+π)=-2cos2x,再向下平移3个单位长度得

y=-2cos2x-3的图象.答案:y=-2cos2x-32.将y=sinx的图象怎样变换可得到函数y=2sin2x+π4+1的图象?解:法一:(先伸缩后平移)①把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sinx的图象;②将所得图象上所有点的横坐标

缩短到原来的12倍,得y=2sin2x的图象;③将所得图象沿x轴向左平移π8个单位,得y=2sin2x+π8的图象;④将所得图象沿y轴向上平移1个单位,得y=2sin2x+π4+1的图象.法二:(先平移后伸缩)①将y=sinx的图象沿x轴向左平

移π4个单位,得y=sinx+π4的图象;②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,得y=sin2x+π4的图象;③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍,得到y=2sin2x+π4的图象;④将所得图象沿y轴向上平移1个

单位,得y=2sin2x+π4+1的图象.题型二“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象[典例2]用五点法作出函数y=2sin2x+π3的图象,并指出函数的单调区间.[解](1)列表:x-π6π12π37π

125π62x+π30π2π3π22πy020-20(2)描点.(3)连线.用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示为该函数在一个周期内图象,然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象.可见在一个周期

内,函数在π12,7π12上递减,又因为函数的周期为π,所以函数的递减区间为kπ+π12,kπ+7π12(k∈Z).同理,递增区间为kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z).[方法技巧]1.“五点法”作

图的实质利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.[方法技巧]2.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的步骤第一步:列表ωx+φ

0π2π3π22πx-φωπ2ω-φωπω-φω3π2ω-φω2πω-φωf(x)0A0-A0第二步:在同一坐标系中描出各点.第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.[变式训练]已知f(x)=2sinx2+π3.(

1)在坐标系内,用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象;(2)写出f(x)的单调递增区间;(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值.解:(1)列表:x2+π30π2π3π22πx-2π3π34π37π310π3f(x)020-20描点连线:用平滑的曲线顺次连接各点所得图象为函数f(x)在

一个周期内的图象,如图所示.(2)由2kπ-π2≤x2+π3≤2kπ+π2,k∈Z,得4kπ-5π3≤x≤4kπ+π3,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为4kπ-5π3,4kπ+π3,k∈Z.(3)当x2+π3=π2+2kπ,k∈Z,即x=π3+4kπ,k∈Z时,f(x)max=2.题型

三已知函数图象求解析式[典例3](1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=2sin12x+π6B.f(x)=2sin12x

-π6C.f(x)=2sin2x-π6D.f(x)=2sin2x+π6(2)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为________.[解析]

(1)由图象可知,A=2,T=45π12-π6=π,所以2πω=π,ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).因为图象过点π6,2,所以2sinπ3+φ=2,所以sinπ3+φ=1,所以π3+φ=π2+2

kπ,k∈Z,所以φ=π6+2kπ,k∈Z,因为|φ|<π2,所以φ=π6,所以f(x)=2sin2x+π6.(2)由函数f(x)的最大值和最小值得A+B=6,-A+B=2,所以A=2,B=4,函数f(x)的周期为π2-

-π2×4=4π,又ω>0,所以ω=12,又因为点π2,6在函数f(x)的图象上,所以6=2cos12×π2+φ+4,所以cosπ4+φ=1,所以π4+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=2kπ-π4,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f(x)=2cos

12x-π4+4.[答案](1)D(2)f(x)=2cos12x-π4+4[方法技巧]确定函数y=Asin(ωx+φ)解析式的策略与步骤若设所求解析式为y=Asin(ωx+φ),则在观察函数图象的基础上,可按以下规律来确定A,ω,φ.(1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来

确定|A|.[方法技巧]确定函数y=Asin(ωx+φ)解析式的策略与步骤(2)因为T=2πω,所以往往通过求周期T来确定ω,可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个“零点”-φω

,0作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.[变式训练]1.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2x-π6B.y=2sin2x-π3C.y=2sin2x+π6D.y=2sin2x+

π3解析:由图知,A=2,周期T=2π3--π6=π,所以ω=2ππ=2,所以y=2sin(2x+φ).因为图象过点π3,2,所以2=2sin2×π3+φ,所以s

in2π3+φ=1,所以2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z).令k=0得φ=-π6,所以y=2sin2x-π6.答案:A2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象

如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)的值等于()A.2B.2+22C.2+2D.2-2解析:由图可知A=2,φ=2kπ,k∈Z,T=8,∴2πω=8,即ω=π4,∴f(x)=2sinπ4x.∵周期为8,且f(1)+f(2)+…f(8)=0,∴f(1)+f(2)+…+

f(2020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sinπ4+2sinπ2+2sin3π4+2sinπ=2+22.答案:B题型四三角函数图象与性质的综合应用[探究发现](1)什么样的两个三角函数的图象能够重合?提示:两个函数的解析式完全相同或在两个角φ1,φ2的

差为2kπ(k∈Z).(2)若f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)具有奇偶性,则φ应满足怎样的关系?提示:φ=kπ(k∈Z)或φ=kπ±π2(k∈Z).[典例4](1)将函数f(x)=2sinωx+π6的图

象向右平移2π3个单位后,所得图象与原图象重合,则正数ω的最小值为________.(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数,其图象关于点M3π4,0对称,且在区间0,π2上是单调函数,求φ和ω的值.[解析](1)将函数f(x)=2

sinωx+π6的图象向右平移2π3个单位后,可得y=2sinωx-2ωπ3+π6的图象,因为所得图象与原图象重合,所以-2ωπ3=2kπ,k∈Z,所以ω=-3k,k∈Z,故当正数ω最小时,ω=3,答案:3(2)由

f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即函数f(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)在x=0时取得最值,即sinφ=1或-1.结合0≤φ<π,可得φ=π2.由f(x)的图象关于点M对称,可知sin3π4ω+π

2=0,即3π4ω+π2=kπ,k∈Z,解得ω=4k3-23,k∈Z.又f(x)在0,π2上是单调函数,∴T≥π,即2πω≥π.∴ω≤2,又ω>0,∴k=1时,ω=23;k=2时,ω=2.故φ=π2,ω=2或23.[方法技巧]1.正、余弦型函数奇偶性的

判断方法正弦型函数y=Asin(ωx+φ)和余弦型函数y=Acos(ωx+φ)不一定具备奇偶性.对于函数y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,当φ=kπ±π2(k∈Z)时为偶函数;对于函数y=Acos(ωx+φ),当φ

=kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ=kπ±π2(k∈Z)时为奇函数.2.与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0

,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asinz的单调区间来求函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间.[变式训练]1.[变条件、变设问]若本例(

2)中增加条件“ω>1”,求函数y=f2(x)+sin2x,x∈-π8,π8的最大值.解:由条件知f(x)=sin2x+π2=cos2x,由x∈-π8,π8,得2x∈-π4,π4,所以sin2x∈-22,22,y=f2(x)+sin2x=cos22x+sin2x=1-sin22x+sin

2x=-sin2x-122+54,所以当sin2x=12时,ymax=54.2.[变条件]将本例(2)中“偶”改为“奇”,“其图象关于点M3π4,0对称,且在区间0,π2上是单调函数”改为“在区间-3π2,π2上为增函数”,试求ω的最大值.解:因为

f(x)是奇函数,所以f(0)=sinφ=0,又0≤φ<π,所以φ=0.因为f(x)=sinωx在-π2ω,π2ω上是增函数.所以-3π2,π2⊆-π2ω,π2ω,于是ω>0,-3π2≥-π2ωπ2≤π2ω,,解得0<ω≤13,所以ω的最大值为13.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会

贯通1.已知函数f(x)=sinx+π2cos3π2+x-3cos2x+32,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程;(2)若函数f(x)的定义域为[0,a],值域为-32,1,求实数a的取值范围.请根据题设条件把下面的解

析补充完整.解:(1)f(x)=sinx+π2cos3π2+x-3cos2x+32=______________________________=____________________=sin2x-π3,所以函数f(x)的最小正周期

T=___.令2x-π3=________________,sinxcosx-3(1+cos2x)2+3212sin2x-32cos2xπkπ+π2(k∈Z)解得x=kπ2+5π12(k∈Z),所以函数f(x

)的对称轴方程为x=kπ2+5π12(k∈Z).(2)由函数f(x)的定义域为[0,a],值域为-32,1,可得2a-π3∈_______,解得___________,故实数a的取值范围为_________.π2,4π35π12≤a≤5π6

5π12,5π6二、应用性——强调学以致用2.在①函数f(x)的图象中相邻的最高点与最低点的距离为5;②函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=-1;③函数f(x)的一个对称中心的横坐标为12.这三个条件中任选一个,补充在下面题目的横线处,并解决问题.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)

0<ω<π2,|φ|<π2,且________,点A(2,2)在该函数的图象上,求函数f(x)在区间(-3,3)上的单调递减区间.解:若选①,设函数f(x)的最小正周期为T,则42+T22=5,得T=6=2πω,则ω=π3,因为点A(2,2)在该函数的图象

上,所以2sin2π3+φ=2,得2π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,则φ=-π6+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=-π6,所以函数f(x)=2sinπ3x-π6.令π2+2kπ≤π3x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得2+6k≤x≤5+6k,k∈Z,

因为(-3,3)∩{x|2+6k≤x≤5+6k,k∈Z}=(-3,-1]∪[2,3),所以函数f(x)在区间(-3,3)上的单调递减区间为(-3,-1]和[2,3).若选②,则sin(-ω+φ)=±1,得-ω+φ=π2+k1

π,k1∈Z,因为点A(2,2)在该函数的图象上,所以2sin(2ω+φ)=2,得2ω+φ=π2+2k2π,k2∈Z,则φ=π2+2(k1+k2)π3,k1,k2∈Z.因为|φ|<π2,所以φ=-π6,ω=π3+k2π,k2∈Z,又0<ω<π2,所以

ω=π3,所以函数f(x)=2sinπ3x-π6.令π2+2kπ≤π3x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得2+6k≤x≤5+6k,k∈Z,因为(-3,3)∩{x|2+6k≤x≤5+6k,k∈Z}=(-3,-1]∪[2,3),所以函数f(x)在区间(-3,3)上的单调递减区间为

(-3,-1]和[2,3).若选③,则2sin12ω+φ=0,得12ω+φ=k1π,k1∈Z,因为点A(2,2)在该函数的图象上,所以2sin(2ω+φ)=2,得2ω+φ=π2+2k2π,k2∈Z,则φ=-π6+2(2k1-k2)π3,k1,k2∈Z,因为|φ|<π

2,所以φ=-π6,ω=π3+k2π,k2∈Z,又0<ω<π2,所以ω=π3,所以函数f(x)=2sinπ3x-π6.令π2+2kπ≤π3x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得2+6k≤x≤5+6k,k∈Z,因为(-3,3)∩{x|2+6k≤x≤5+6k,k∈Z}=

(-3,-1]∪[2,3),所以函数f(x)在区间(-3,3)上的单调递减区间为(-3,-1]和[2,3).谢谢观看

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