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1数控技术主讲教师：仇晓黎东南大学远程教育第二十七讲2（2）逐点比较法的圆弧插补1）加工偏差公式如图，设要加工第一象限逆时针走向的圆弧AE，其圆心为坐标原点O，半径为R，起点坐标为A(x0,y0)。加工圆弧时，考虑用加工点到圆心的距离和圆弧半

径相比较来反映加工偏差，取加工点M(xi,yj)到圆心的距离为RM。3若RM>R，表示加工点M在圆外，为了缩小偏差，应控制拖板向圆内进给一步；在-x和-y轴向都能向圆内进给的情况下，-x轴向与规定的圆弧加工方向相符。若RM<R，表示加工点M在圆内，应控制拖板沿+y轴向往圆外进给一步；

对于RM=R，加工点正好在圆上，为了继续加工，并入RM>R的情况，控制拖板沿-x轴向往圆内进给一步。4由勾股定理可知：RM2=xi2+yj2比较RM与R的大小只要比较RM2与R2的大小即可，故取PM2=RM2-R2=xi2+yj2-R2作为加工点M与

规定圆弧的加工偏差判别式，即加工偏差公式。当加工点M(xi,yj)在圆弧外或圆弧上，满足条件Pi,j≥0时，向x轴发出一负向移动的进给脉冲-Δx；当加工点M(xi,yj)在圆弧内侧，满足条件Pi,j<0

时，向y轴发出一正向移动的进给脉冲+Δy；52）偏差计算仍用递推法推算下一步新的加工偏差值。设加工点M(xi,yj)在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差为Pi,j=xi2+yj2-R2≥0，需沿x轴负向进给一步-Δx，移

到新的加工点M(xi+1,yj)，得：xi+1=xi-1,yj=yj,所以M点的加工偏差为：Pi+1,j=(xi-1)2+yj2-R2=xi2-2xi+1+yj2-R2=Pi,j-2xi+1实现上述第一象限逆时针走向

的圆弧插补，至少要四个寄存器参加运算，分别为：Jp、Jx、Jy、JE其中JE中，终点判别值E=|(x0-xe)|+|(y0-ye)|63）圆弧插补的计算程序如图所示为第一象限逆时针圆弧插补计算程序。74）不同象限的圆弧插补公式归纳

起来有8种线型：SR1、SR2、SR3、SR4、NR1、NR2、NR3、NR48种线型的进给脉冲分配方向及偏差计算如下表所示：82、数字积分法（又称微分分析器DDA）不仅能够实现一次、二次甚至高次曲线的插补，而且易于实现多坐标联动控制，只要输入不多的数据，就能加工出较为复杂的轮廓曲线。（1）基本

原理如图，函数x=f(t)的积分运算就是求此函数曲线所包围的面积S。=txdtS09如果从t=0开始，取自变量t的一系列等间隔值为Δt，当Δt足够小时，可得近似公式：如果取Δt=1即一个脉冲当量δ，则txxdtSniit===00若取的脉冲当量δ足够小，则用求和运算

代替积分运算所引起的误差可以不超过容许的数值。==niixS0如图，取JR寄存器的容量作为一个单位面积值，则在累加过程中JR溢出一个脉冲表示获得一个单位面积值，JR的总溢出脉冲数ΔS即为求得的积分值。10（2）数字积分法的直线插补如图设加工直线OA终点为xe,yex和y方向上的移

动距离微小增量Δx,Δy为：Δx=vx·Δt,Δy=vy·Δt对于直线，vx和vx是参数且有：vx/vx=xe/ye从而有：Δx=xe·Δt,Δy=ye·Δt设累加器的容量为N，n表示累加的次数，将xe经n次累加后的x值应为：取Δt=1（一个脉冲当量），则：Nnxxe===ni

ietNxx111式中的整数部分表示溢出脉冲数，而分数部分存放在累加器中，若n=N,则x=xe说明当累加次数与寄存器容量相等时，溢出脉冲数等于以脉冲当量为最小单位的终点坐标。如图，Jvx为x的被积函数寄存器，寄存数xe；JRx为Δx的累加器，累加结果

大于1时（超过寄存器容量），整数部分丢失，同时分配出一个进给脉冲Δx，移动一步，小数部分保留在JRx中，待下次累加。12如图，作直线插补时，可用两个积分器同时各自进行累加运算，其溢出脉冲分别控制两轴方向上的进给，从而获得直线运动轨迹。在数字积分直线插补中，如果选取终点坐标值为

最大的一轴，在每次累加时均输出一脉冲当量位移的进给脉冲，那么，就可节省一个积分器，这称为比值积分插补。13例：如图，欲从O点进行直线插补到点A(5,2)，试用DDA方式实现之。解：将xe=5及ye=2化成二进制数xe=101B及ye=010B存放

在Jvx及Jvy中，选寄存器容量为三位，则累加次数n=23=8。插补轨迹见图带箭头实线轨迹；插补过程如下表所示。1415（3）数字积分法的圆弧插补如图设刀具沿圆弧AB移动，半径为r，刀具切向速度为v,P(x,y)为动点，圆心为坐标原点O。xe,ye圆的方程为：x2+y2=r2，引入时间参数后可得

：经微分求x,y方向上的速度分量为：==trytrxsincos==−==trdtdyvtrdtdxvyxcossin由此可得：==−==xdtdyvydtdxvyx16这表明速度分量vx和vy是变化的且与坐

标瞬时值y和x值相等。与直线积分插补相同，在Δt时间内，x和y位移增量方程为：Δx=－yΔt,Δy=xΔt由此可得：==−==nenexyyyxx11)(17与直线积分插补公式比较：第一，

直线插补时为常值累加，而圆弧插补时为变量（动点坐标）的累加。第二，直线插补时，被积函数寄存器存放常值xe(ye)，在圆弧插补时则存放变量y(x)；由于变量y(x)是加工点P的瞬时坐标值，所以它们相应由y(x)坐标的余数寄存器的溢出脉冲Δ

y(Δx)来修改。如图。18对于第一象限逆圆弧，经过若干次迭代，当溢出到x轴去的脉冲数为(x0-xe)、溢出到y轴去的脉冲数为(ye-y0)，就停止积分。对于顺、逆圆以及其他象限的插补运算过程和积分器结构基本上与第一象限逆圆弧是一致的。不同点在于控制各坐标轴Δx、Δy进给方向不同,以及修改

被积函数时是+还是-,要由x、y坐标增减而定。19数字积分法圆弧插补的终点判断不能像直线插补那样取决于累加次数。一般采用两条终点判别计数器分别累计两个坐标方向上的进给脉冲数，在运算前，把两坐标应走的步数（起点与终点坐标增量）各置入相应的计数器，在运算中，每发出一个进给脉

冲，便在相应的终点判别计数器中减1，当两计数器均减为0时到达终点，发出插补结束信号。在DDA方式中，为了编程方便，所有坐标值统一以程序段起点为坐标原点。圆弧插补时还要给出以起点为原点的圆心坐标。20本节

介绍了CNC轨迹控制原理的相关知识，重点在逐点比较法和数字积分法。作业：21第四章计算机数控系统第一节概述第二节CNC的轨迹控制原理第三节刀具位置补偿和半径补偿第四节进给速度和加减速控制第五节CNC的输入输出与通信功能