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5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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【文档说明】5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册).pptx,共(50)页,1.348 MB,由飞向未来上传

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以下为本文档部分文字说明:

5.5.2简单的三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换1.能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.4.通过半角的正弦、余弦

、正切公式的推导,提升学生逻辑推理的核心素养.借助公式的应用,培养学生数学运算的核心素养.(一)教材梳理填空1.半角公式半角公式正弦sinα2=±__________余弦cosα2=±_________正切t

anα2=±1-cosα1+cosαtanα2=sinα1+cosα=______1-cosα21+cosα21-cosαsinα2.常见的三角恒等变换(1)asinx+bcosx=________________(ab≠0),其中tanφ=ba,φ所在象限由a和b的符号确定.(

2)sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=12sin2x.a2+b2sin(x+φ)3.积化和差公式(1)sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)];(2)cos

αsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)];(3)cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)];(4)sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)].4.和差化积公式(1)sinθ+si

nφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2;(2)sinθ-sinφ=2cosθ+φ2sinθ-φ2;(3)cosθ+cosφ=2cosθ+φ2cosθ-φ2;(4)cosθ-cosφ=-2sinθ+φ2sinθ-φ2.(二)基本知能

小试1.判断正误(1)存在α∈R,使得cosα2=12cosα.()(2)对于任意α∈R,sinα2=12sinα都不成立.()(3)若α是第一象限角,则tanα2=1-cosα1+cosα.()答案:(1)√(2)

×(3)√2.已知180°<α<360°,则cosα2的值等于()A.-1-cosα2B.1-cosα2C.-1+cosα2D.1+cosα2解析:∵180°<α<360°,∴90°<α2<180°,又cos2α2=1+cosα2,∴cosα

2=-1+cosα2.答案:C3.已知cosα=45,α∈3π2,2π,则sinα2等于()A.-1010B.1010C.3103D.-35解析:因为α∈3π2,2π,所以α2∈

3π4,π,所以sinα2=1-cosα2=1-452=1010.答案:B4.sin15°sin105°=________.解析:sin15°sin105°=-12[cos120°-cos(-90°)]=-12

×-12-0=14.答案:14题型一化简、求值问题[学透用活]对半角公式的理解(1)半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的.(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道cosα的值及相应α的

条件,sinα2,cosα2,tanα2便可求出.[典例1](1)已知sinα=-817,且π<α<3π2,求sinα2,cosα2,tanα2的值.(2)化简(1-sinα-cosα)sinα2+cosα22-2cosα

(-π<α<0).[解](1)∵sinα=-817,π<α<3π2,∴cosα=-1517.∵cos2α=1-2sin2α2=2cos2α2-1,又π2<α2<3π4,∴sinα2=1-cosα2=1+15172=41717,cosα2=-

1+cosα2=-1-15172=-1717,tanα2=sinα2cosα2=-4.(2)原式=2sin2α2-2sinα2cosα2sinα2+cosα22×2sin2α2=2sinα2sinα2-cosα2sinα2+cosα22|sinα2|=sinα2

sin2α2-cos2α2|sinα2|=-sinα2cosα|sinα2|.因为-π<α<0,所以-π2<α2<0,所以sinα2<0,所以原式=-sinα2cosα-sinα2=cosα.[方法技巧]1.利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求

解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.[方法技巧]1.利用半角公式求值的思路(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tanα2=s

inα1+cosα=1-cosαsinα,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2α2=1-cosα2,cos2α2=1+cosα2计算.(4)下结论:结合(2)

求值.2.化简三角函数式的基本思路三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面,其基本方法是统一角,统一三角函数的名称.常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化等.在具体实施过程中,应着重抓住“角”的统一.通过

观察角、函数名、项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.最后结果应满足以下几点:(1)能求值尽量求值;(2)三角函数名称尽量少;(3)项数尽量少;(4)次数尽量低;(5)分母、根号下尽量

不含三角函数.[变式训练]1.化简:sin4x1+cos4x·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=________.解析:原式=2sin2xcos2x2cos22x·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=sin2x1+cos2x·cosx1+cosx=2sinx

cosx2cos2x·cosx1+cosx=sinx1+cosx=tanx2.答案:tanx22.已知α为钝角,β为锐角,且sinα=45,sinβ=1213,求cosα-β2的值.解析:因为α为钝角,β为锐角,且sinα=45,sinβ=1213,所以cosα=-35,c

osβ=513,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-35×513+45×1213=3365.又因为π2<α<π,0<β<π2,所以0<α-β<π,所以0<α-β2<π2,所以cosα-β2=1+cos(α-β)2=1+33652=76

565.题型二三角恒等式的证明[学透用活][典例2](1)求证:1+2cos2θ-cos2θ=2;(2)求证:2sinxcosx(sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1)=1+cosxsinx.[证明](1)左边=1+2cos2θ-cos2θ=1+2×1+

cos2θ2-cos2θ=2=右边,所以原等式成立.(2)左边=2sinxcosx2sinx2cosx2-2sin2x22sinx2cosx2+2sin2x2=2sinxcosx4sin2x2cos2

x2-sin2x2=sinx2sin2x2=cosx2sinx2=2cos2x22sinx2cosx2=1+cosxsinx=右边.[方法技巧]三角恒等式证明的5种常用方法执因索果法证明的形式一般化繁为简左右归一法证明左右

两边都等于同一个式子拼凑法针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同比较法设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”分析法从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可

以断定原等式成立[变式训练]求证:cos2α1tanα2-tanα2=14sin2α.[证明]法一:用正弦、余弦公式.左边=cos2αcosα2sinα2-sinα2cosα2=cos2αcos2α2-sin2α2sinα2cosα2=cos

2αsinα2cosα2cos2α2-sin2α2=cos2αsinα2cosα2cosα=sinα2cosα2cosα=12sinαcosα=14sin2α=右边,∴原等式成立.法二:用正切公式.左边=cos2αtanα21-tan2α2=12cos2α·2tanα

21-tan2α2=12cos2α·tanα=12cosαsinα=14sin2α=右边,∴原等式成立.题型三三角恒等变换的综合应用[探究发现](1)能否将函数y=sinx+cosx(x∈R)化为y=Asin(x+φ)的形

式|φ|∈0,π2?提示:能.y=sinx+cosx=2sinx+π4.(2)如何推导asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)tanφ=ba公式.提示:asinx+bcosx=a2+b2aa2+b2sinx+b

a2+b2cosx,令cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2,则asinx+bcosx=a2+b2(sinxcosφ+cosxsinφ)=a2+b2sin(x+φ)其中φ角所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tanφ=ba确定,或由sinφ=ba2+b2和cosφ=aa2+b2共

同确定.[学透用活][典例3]已知函数f(x)=(cosx-sinx)2-2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)若f(x0)=-1,且x0∈-π,-π2,求x0的值.[解](1)函数f(x)=(cosx-sinx)2-2sin2x=1-2sin

xcosx-2·1-cos2x2=cos2x-sin2x=2cos2x+π4,所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π,又函数y=cosx的单调递减区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z,令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π,k∈Z,解得kπ-

π8≤x≤kπ+3π8,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为kπ-π8,kπ+3π8,k∈Z.(2)由f(x0)=-1,得2cos2x0+π4=-1,即cos2x0+π4=-22,由x0∈-π,-π2,可得2x0+π4∈-7π4,-3π4,所以2x0+π4=-5π4,解得x0

=-3π4.[方法技巧]应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f(x)=asinωx+bcosωx+k的形式↓利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质[变式训练]已知函数f(x)=2sinxcosx-23cos

2x+3.(1)求f(x)的最小正周期和对称中心;(2)求f(x)的单调递减区间;(3)当x∈π2,π时,求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值.解:(1)f(x)=2sinxcosx-23cos

2x+3=sin2x-3cos2x=2sin2x-π3,∴f(x)的最小正周期为2π2=π.由2x-π3=kπ(k∈Z),可得x=kπ2+π6(k∈Z),∴函数f(x)的对称中心为kπ2+π6,0(k∈Z).(2)由2x-π3∈2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z

),可得x∈kπ+5π12,kπ+11π12(k∈Z),∴f(x)的单调递减区间为kπ+5π12,kπ+11π12(k∈Z).(3)当x∈π2,π时,2x-π3∈2π3,5π3,

∴2x-π3=2π3,即x=π2时,函数f(x)取得最大值,最大值为3.题型四三角函数的实际应用[探究发现](1)用三角函数解决实际问题时,通常选什么作为自变量?求定义域时应注意什么?提示:通常选角作为自变量,求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响

.(2)建立三角函数模型后,通常要将函数解析式化为何种形式?提示:化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.[学透用活][典例4]如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最大?[解]设∠AOB=α,△OAB的周长为

l,则AB=Rsinα,OA=Rcosα,∴l=OA+AB+OB=Rcosα+Rsinα+R=R(sinα+cosα)+R=2Rsinα+π4+R.∵0<α<π2,∴π4<α+π4<3π4,∴l的最大值为2R+R=(2+1)R,此时,α+π4=π2,即α=π4,即当∠

AOB=π4时,△OAB的周长最大.[方法技巧]应用三角函数解实际问题的方法及注意点方法解答此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解①充分借助平面几何性质,寻找数量关系②

注意实际问题中变量的范围注意点③重视三角函数有界性的影响[提醒]在利用三角变换解决实际问题时,常因忽视角的范围而致误.[变式训练]1.[变设问]在典例4条件下,求长方形面积的最大值.解:如图所示,设∠AOB=αα∈0,π2

,则AB=Rsinα,OA=Rcosα.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB=2Rcosα·Rsinα=R2·2sinαcosα=R2sin2α.∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).因此,当2α=π2,即α=π4时,Sma

x=R2.2.如图,某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD,现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草,其中P,Q分别为边BC,CD上的动点,∠PAQ=π4,其他区域安装健身器材,设∠BAP为θ弧度.(1)求△PAQ面积S关于θ的函数解析式

S(θ);(2)求面积S的最小值.解:(1)因为∠BAP=θ,正方形边长为1(百米),所以AP=1cosθ,AQ=1cosπ4-θ.过点P作AQ的垂线,垂足为E,则PE=22AP=22·1cosθ.所以S(θ)=24·1cosθ

·1cosπ4-θ=11+cos2θ+sin2θ,其中θ∈0,π4.(2)因为S(θ)=11+cos2θ+sin2θ,所以S(θ)=12sin2θ+π4+1,因此当sin2θ+π4=1时,即θ=π8时,取得最小

值为2-1.故当θ=π8时,面积S的最小值为2-1.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.已知sinα=-45,求tanα2的值.下面的解题过程是否正确,如果错误.错在何处,并给出正确的解题过程.解:因为sinα=-45,所以co

sα=±35.若cosα=35,则tanα2=±1-cosα1+cosα=±1-351+35=±12.若cosα=-35,则tanα2=±1-cosα1+cosα=±1+351-35=±2.所以tanα2的值为±2或±12.提示:此解法错误,原因

是没有讨论三角函数值的符号,即对利用公式求出的结果未做出正确的取舍导致增解.正解:因为sinα=-45,所以cosα=±35.若cosα=35,则tanα2=1-cosαsinα=1-35-45=-12;若cosα=-35,则tanα2=1-cosαsinα

=1--35-45=-2.所以tanα2的值为-2或-12.二、应用性——强调学以致用2.某农场有一块扇形农田,如图所示.已知扇形OAB的圆心角为π4,半径为80米,点P在AB上,PC⊥OA于C,PD⊥

OB于D.现要在△OPC和△OPD区域中分别种植甲、乙两种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为1∶3.设∠AOP=θ,0<θ<π4.(1)用θ分别表示△OPC和△OPD的面积;(2)当θ为何值时,该农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大?[析题建模](1)在Rt△OP

C中,由OP=80,∠AOP=θ可求出PC,OC的值,即可得△OPC的面积;同理:在Rt△OPD,可求得PD,OD的值,即可得△OPD的面积.(2)由甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为1∶3,结合(1)中所求三角形面积的解析式可得

年总产值的函数解析式,再利用三角函数的图象和性质求解即可.解:(1)在Rt△OPC中,PC=OPsinθ=80sinθ,OC=OPcosθ=80cosθ,所以△OPC的面积为12×PC×OC=3200sinθcosθ=1600sin2θ,同理:△OPD的面积为1600sin2π4-θ=160

0cos2θ.(2)设农场种植甲,乙两种蔬菜的年总产值为y,甲,乙两种蔬菜每平方米年产值分别为t,3t(t>0),则y=1600sin2θ·t+1600cos2θ·3t=3200tsin2θ+π3,∵0<θ<π4.∴π3<2θ+π3<5π6.∴当2θ+π3=π2,即θ=π12时,y取得最大

值.答:(1)△OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米,1600cos2θ平方米;(2)当θ=π12时,该农场种植甲,乙两种蔬菜的年总产值最大.三、创新性——强调创新意识和创新思维3.在①tanα=43,②7si

n2α=2sinα,③cosα2=277这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题.已知α∈0,π2,β∈0,π2,cos(α+β)=-13,______,求cosβ.解:若选①,因为tanα=43,所以sinαcosα=43.由平方关系sin2α+cos2α=1,解得

sinα=437,cosα=17或sinα=-437,cosα=-17.因为α∈0,π2,所以sinα=437,cosα=17.因为α∈0,π2,β∈0,π2,所以0<α+β<π,因为cos(α+β)=-13,所以sin(α

+β)=223,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-13×17+223×437=86-121.若选②,由7sin2α=2sinα,得7×2sinαcosα=

2sinα,所以cosα=17.因为α∈0,π2,所以sinα=1-cos2α=1-172=437,由cos(α+β)=-13,0<α+β<π,得sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β

)cosα+sin(α+β)sinα=-13×17+223×437=86-121.若选③,因为cosα2=277,所以cosα=2cos2α2-1=2×2772-1=17.因为α∈0,π2,所以sinα=1-cos2α=1-172=437,由cos(α+β

)=-13,0<α+β<π,得sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-13×17+223×437=86-121.谢谢

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