【文档说明】5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(37)页，1.151 MB，由飞向未来上传

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5.5.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式第三课时二倍角的正弦、余弦、正切公式(一)教材梳理填空1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝_____________C2αcos2α＝_____________T2αtan2α＝

_________2sinαcosαcos2α－sin2α2tanα1－tan2α2．余弦的二倍角公式的变形3．正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα＝12sin2α，cosα＝________

.(2)1±sin2α＝____________.sin2α2sinα(sinα±cosα)2(二)基本知能小试1．判断正误(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝

2sinα成立．()(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．()(4)对于任意角α，总有tan2α＝2tanα1－tan2α.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．下列各式中，值为12的是()A．2sin15°cos1

5°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°解析：2sin15°cos15°＝sin30°＝12；cos215°－sin215°＝cos30°＝32；2sin215°＝1－

cos30°＝1－32；sin215°＋cos215°＝1.答案：A3．已知sinα＝35，cosα＝45，则sin2α等于()A.75B．125C.1225D．2425答案：D4．设sinα＝2cosα，则ta

n2α的值为________．解析：因为tanα＝sinαcosα＝2，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43.答案：－43题型一给角求值[学透用活][典例1]化简求值．(1)cos4α2－sin4α2；(2)s

inπ24·cosπ24·cosπ12；(3)1－2sin2750°；(4)tan150°＋1－3tan2150°2tan150°.[解](1)cos4α2－sin4α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝cosα.(2)原式＝122sinπ24cosπ24·cosπ12＝

12sinπ12·cosπ12＝142sinπ12·cosπ12＝14sinπ6＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(4)原式＝2

tan2150°＋1－3tan2150°2tan150°＝1－tan2150°2tan150°＝1tan(2×150°)＝1tan300°＝1tan(360°－60°)＝－1tan60°＝－33.[方法技巧]对于给角求值问题的两种类型及解题策略(1)直接正用、

逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公

式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．[变式训练]求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)2tan120°1－tan2120°；(3)1sin10°－3cos10°；(4)cos20°cos40°cos80°.解：(1)原式＝2sinπ12cosπ1

22＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×120°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3.(3)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos3

0°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.(4)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2s

in80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.题型二条件求值[典例2](1)已知sinα－π3＝－3cosα－π6，则tan2α＝________.(2)已知sinπ4－x＝513，0＜x＜

π4，求cos2xcosπ4＋x的值．[解析](1)因为sinα－π3＝－3cosα－π6，所以12sinα－32cosα＝－332cosα－32sinα，整理得3cosα＝－2sinα，所以tanα＝－32，故tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43.(2)原式＝sinπ2＋2xcosπ

4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋xcosπ4＋x＝2sinπ4＋x.∵sinπ4－x＝cosπ4＋x＝513，且0＜x＜π4，∴π4＋x∈π4，π2，∴sinπ4＋x＝1－cos2π4＋x＝1213，∴原式＝2×12

13＝2413.[方法技巧]解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[方法技巧]解决条件求值问题的方法(

2)当遇到π4±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通，巧妙地建立等量关系，从而求值．cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x.类似的变换还有：cos2x＝sinπ2＋2x＝2sinπ4

＋xcosπ4＋x，sin2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1，sin2x＝－cosπ2＋2x＝1－2cos2π4＋x等．[变式训练]1．[变结论]若本例1的条件不变，则sin2xsinπ4＋x的值如

何？解：因为sin2x＝cosπ2－2x＝1－2sin2π4－x＝1－2×5132＝119169，因为x∈0，π4，所以π4－x∈0，π4，又因为sinπ4－x＝513，所以cosπ4－x＝1213，sinπ4＋x＝sinπ2－π4－x＝cosπ4－x＝1213，

所以原式＝1191691213＝119156.2．[变条件]若本例(2)条件变为tanπ4－x＝34，其他条件不变，结果如何？解：因为0<x<π4，所以0<π4－x<π4，由tanπ4－x＝34

，得1－cos2π4－xcosπ4－x＝34，故cosπ4－x＝45，cos2xcosπ4＋x＝2(cosx＋sinx)＝2cosπ4－x＝85.题型三利用倍角公式解

化简与证明问题[探究发现](1)在解化简与证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．(2)证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．[学透用活][典例3](1)化简：1tanθ＋1＋1tanθ－1

＝________.(2)证明：3tan12°－3sin12°(4cos212°－2)＝－43.[解析](1)原式＝tanθ－1＋tanθ＋1(tanθ＋1)(tanθ－1)＝2tanθtan2θ－1＝－2tanθ1－tan2θ＝－tan2θ.答案：－tan2θ(2)证明：左边＝3sin

12°－3cos12°cos12°2sin12°(2cos212°－1)＝2312sin12°－32cos12°2sin12°cos12°cos24°＝23sin(12°－60°)sin24°cos24°＝－23sin4

8°12sin48°＝－43＝右边，所以原等式成立．[方法技巧]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面

的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．[变式训练]求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；(2)1＋sinα－cosα1＋sinα＋cosα＋1＋cosα＋sinα1－cosα＋s

inα＝2sinα.证明：(1)左边＝1＋cos(2A＋2B)2－1－cos(2A－2B)2＝cos(2A＋2B)＋cos(2A－2B)2＝12(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin

2B)＝cos2Acos2B＝右边，∴等式成立．(2)原式＝2sinα2cosα2＋sinα22cosα2cosα2＋sinα2＋2cosα2cosα2＋sinα22s

inα2sinα2＋cosα2＝sinα2cosα2＋cosα2sinα2＝1sinα2cosα2＝2sinα.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．下面是“化简2－2＋2＋2cosα

(3π<α<4π)”的解题过程：解：原式＝2－2＋4cos2α2＝2－2＋2cosα2＝2－4cos2α4＝2－2cosα4＝4sin2α8.因为3π<α<4π，所以3π8<α8<π2，所以sinα8>0，故原式＝

2sinα8.试分析该解题过程是否正确，若不正确，错在何处，并写出正确的解题过程．提示：错误，原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，导致错误．正解：因为3π<α<4π，所以3π2<α2<2π，3π4<α4<π，3π8<α8<π2，则co

sα2>0，cosα4<0，cosα8>0.所以原式＝2－2＋4cos2α2＝2－2＋2cosα2＝2－4cos2α4＝2＋2cosα4＝4cos2α8＝2cosα8.二、应用性——强调学以致用2.点P在直

径为AB＝1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？[析题建模]连接PB，由AB＝1，∠PAB＝α――→数学运算PA，PB的值――→直观想象作BC⊥PT，

结合条件表示出BC――→逻辑推理S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB―――→利用正弦函数求出四边形ABTP取最大值时α的值解：连接PB，∵AB为圆的直径，∴∠APB＝90°，∵∠PAB＝α，AB＝1，∴PA＝cosα，PB＝sinα，又

PT切圆于P点，则∠TPB＝∠PAB＝α，过点B作BC⊥PT，垂足为C，∴BC＝sinα·PB＝sin2α，∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝12PA·PB＋12PT·BC＝12sinαcosα＋12s

in2α＝14sin2α＋14(1－cos2α)＝14(sin2α－cos2α)＋14＝24sin2α－π4＋14，∵0<α<π2，－π4<2α－π4<3π4，∴当2α－π4＝π2，即α＝3π8时，S四边形ABTP最大．三、创新性——强

调创新意识和创新思维3．若cosπ4＋x＝35，17π12<x<7π4，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．解：法一：根据已知条件分别求出sinx，cosx，tanx(角的变换)直接带入公式求解．由17π12<x<7π4，得5π3<x＋π4<2π，又cosπ4＋x＝35，∴s

inπ4＋x＝－45，∴cosx＝cosπ4＋x－π4＝cosπ4＋xcosπ4＋sinπ4＋xsinπ4＝－210，从而sinx＝－7210，tanx＝7，故原式＝2sinxcosx＋2sin2x1－t

anx＝2×－7210×－210＋2×－721021－7＝－2875.法二：由分母中“1－tanx”，联想到1＋tanx1－tanx＝tanx＋π4，而已知的角正是“π4＋x”．∵cosπ4＋x＝35，17π

12＜x＜7π4，∴x＋π4∈5π3，2π，∴sinx＋π4＝－1－cos2x＋π4＝－45，∴tanx＋π4＝－43.∴sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx(cosx＋sinx)cosx－sinx＝sin2x·1＋tanx1－ta

nx＝－cos2x＋π2·tanx＋π4＝－2cos2x＋π4－1·tanx＋π4＝－2×925－1·－43＝－2875.法三：利用平方关系分别求cosx－sinx，sinxcosx,cosx＋sinx，然后整体代入．∵cosπ4＋x＝35，∴22(cosx－sinx)＝

35，∴cosx－sinx＝325，平方可得1－2sinxcosx＝1825，∴sinxcosx＝750，∴(cosx＋sinx)2＝1＋2sinxcosx＝3225，又17π12＜x＜7π4，∴5π3＜x＋π4＜2π，∴cosx＋

sinx＝2sinx＋π4＜0，∴cosx＋sinx＝－425，∴sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinx(cosx＋sinx)1－sinxcosx＝2sinxcosx(cosx＋sinx)co

sx－sinx＝－2875.法四：利用平方关系求sinxcosx，然后整体代入．∵sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－sinxcosx＝2sinxcosx(cosx＋sinx)cosx－sinx＝2sinxc

osxsinx＋π4cosx＋π4，∵cosπ4＋x＝35，17π12<x<7π4，∴sinx＋π4＝－45，∴2sinxcosx＝725.∴2sinxcosxsinx＋π4cosx＋π4＝－2875，∴sin2x＋2sin2x1－tanx＝－

2875.法五：将x＋π4视为整体，利用倍角公式．sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－sinxcosx＝2sinxcosx(cosx＋sinx)cosx－sinx.其中cosx＋sinx＝2s

inx＋π4，cosx－sinx＝2cosx＋π4，∵17π12<x<7π4，∴x＋π4∈5π3，2π，再结合cosπ4＋x＝35>0，可得sinx＋π4＝－45，因为2sinxcosx＝sin2x＝－cosπ2＋2x＝－c

os2π4＋x＝1－2cos2π4＋x＝725，∴原式＝2sinxcosx(cosx＋sinx)cosx－sinx＝－2875.谢谢观看