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5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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【文档说明】5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册).pptx,共(37)页,1.151 MB,由飞向未来上传

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以下为本文档部分文字说明:

5.5.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式第三课时二倍角的正弦、余弦、正切公式(一)教材梳理填空1.二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α=_____________C2αcos2α=_____________T2αtan2α=_________2sinαcosα

cos2α-sin2α2tanα1-tan2α2.余弦的二倍角公式的变形3.正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα=12sin2α,cosα=________.(2)1±sin2α=____________.sin2α2sin

α(sinα±cosα)2(二)基本知能小试1.判断正误(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角.()(2)存在角α,使得sin2α=2sinα成立.()(3)对于任意的角α,cos2α=2cosα都不成立.()(4)对于任意角α,总有

tan2α=2tanα1-tan2α.()答案:(1)√(2)√(3)×(4)×2.下列各式中,值为12的是()A.2sin15°cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°D.sin215°+cos215°解析:2sin15°cos15°=sin30°=12;c

os215°-sin215°=cos30°=32;2sin215°=1-cos30°=1-32;sin215°+cos215°=1.答案:A3.已知sinα=35,cosα=45,则sin2α等于()A.75B

.125C.1225D.2425答案:D4.设sinα=2cosα,则tan2α的值为________.解析:因为tanα=sinαcosα=2,所以tan2α=2tanα1-tan2α=-43.答案:-

43题型一给角求值[学透用活][典例1]化简求值.(1)cos4α2-sin4α2;(2)sinπ24·cosπ24·cosπ12;(3)1-2sin2750°;(4)tan150°+1-3tan2150°2tan150°.[解](1)cos4α2-sin4α2=co

s2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=cosα.(2)原式=122sinπ24cosπ24·cosπ12=12sinπ12·cosπ12=142sinπ12·cosπ12=14sinπ6=18.(3)

原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=12.(4)原式=2tan2150°+1-3tan2150°2tan150°=1-tan2150°2tan150°=1tan(2×150°)=1tan300°=1tan(360°-6

0°)=-1tan60°=-33.[方法技巧]对于给角求值问题的两种类型及解题策略(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,

则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[变式训练]求下列各式的值:(1)sinπ12cosπ12;(2)2tan120°1-tan2120°

;(3)1sin10°-3cos10°;(4)cos20°cos40°cos80°.解:(1)原式=2sinπ12cosπ122=sinπ62=14.(2)原式=tan(2×120°)=tan240°=tan(180°+60°)=tan60°=3.(3)原式=cos10°-3sin10°sin10

°cos10°=212cos10°-32sin10°sin10°cos10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)2sin10°cos10°=4sin20°sin20°=4.(4)原式=2sin20°·c

os20°·cos40°·cos80°2sin20°=2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°=2sin80°·cos80°8sin20°=sin160°8sin20°=18.题型二条件求值[典例2](1)已知sinα-π3=-3cosα-π6,则tan2α=__

______.(2)已知sinπ4-x=513,0<x<π4,求cos2xcosπ4+x的值.[解析](1)因为sinα-π3=-3cosα-π6,所以12sinα-32cosα=-332cosα-32sinα,整理得3cosα=-2sinα,所以tanα=-32,故tan

2α=2tanα1-tan2α=-43.(2)原式=sinπ2+2xcosπ4+x=2sinπ4+xcosπ4+xcosπ4+x=2sinπ4+x.∵sinπ4-x=cosπ4+x=513,且0<x<π4,∴π

4+x∈π4,π2,∴sinπ4+x=1-cos2π4+x=1213,∴原式=2×1213=2413.[方法技巧]解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角

之间的二倍关系.[方法技巧]解决条件求值问题的方法(2)当遇到π4±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通,巧妙地建立等量关系,从而求值.cos2x=sinπ2-2x=2sinπ4-xcosπ4-x.类似的变换还有:cos2x=si

nπ2+2x=2sinπ4+xcosπ4+x,sin2x=cosπ2-2x=2cos2π4-x-1,sin2x=-cosπ2+2x=1-2cos2π4+x等.[变式训练]1.[变结论]若本例1的条件不变,则sin2xsinπ4+x的值如何?解:因为sin2x=cosπ2-2x=1-2sin2π

4-x=1-2×5132=119169,因为x∈0,π4,所以π4-x∈0,π4,又因为sinπ4-x=513,所以cosπ4-x=1213,sinπ4+x=sinπ2-π4-x=cosπ4-x=1213,所以原式=119169

1213=119156.2.[变条件]若本例(2)条件变为tanπ4-x=34,其他条件不变,结果如何?解:因为0<x<π4,所以0<π4-x<π4,由tanπ4-x=34,得

1-cos2π4-xcosπ4-x=34,故cosπ4-x=45,cos2xcosπ4+x=2(cosx+sinx)=2cosπ4-x=85

.题型三利用倍角公式解化简与证明问题[探究发现](1)在解化简与证明问题时,如果遇到既有“切”,又有“弦”的情况,通常要如何处理?提示:通常要切化弦后再进行变形.(2)证明三角恒等式时,通常的证明方向是什么?提示:由复杂一侧向简单一侧推导.[学透用活][典例3](1)化简:1tanθ+1

+1tanθ-1=________.(2)证明:3tan12°-3sin12°(4cos212°-2)=-43.[解析](1)原式=tanθ-1+tanθ+1(tanθ+1)(tanθ-1)=2tanθtan2θ-1=-2tanθ1-tan2θ=-t

an2θ.答案:-tan2θ(2)证明:左边=3sin12°-3cos12°cos12°2sin12°(2cos212°-1)=2312sin12°-32cos12°2sin12°cos12°cos24°=23si

n(12°-60°)sin24°cos24°=-23sin48°12sin48°=-43=右边,所以原等式成立.[方法技巧]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思

想.(2)证明恒等式的一般步骤:①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.[变式训练]求证:(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B;(2)1+sinα-c

osα1+sinα+cosα+1+cosα+sinα1-cosα+sinα=2sinα.证明:(1)左边=1+cos(2A+2B)2-1-cos(2A-2B)2=cos(2A+2B)+cos(2A-2B)2=12(cos2Acos2B-sin2Asin2B+cos2Acos2B+si

n2Asin2B)=cos2Acos2B=右边,∴等式成立.(2)原式=2sinα2cosα2+sinα22cosα2cosα2+sinα2+2cosα2cosα2+sinα22sinα2sinα2+cos

α2=sinα2cosα2+cosα2sinα2=1sinα2cosα2=2sinα.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.下面是“化简2-2+2+2cosα(3π<α<4π)”的解题过程:解:原式=2-2+4cos2α2=2-2+2cos

α2=2-4cos2α4=2-2cosα4=4sin2α8.因为3π<α<4π,所以3π8<α8<π2,所以sinα8>0,故原式=2sinα8.试分析该解题过程是否正确,若不正确,错在何处,并写出正确的解题过程.提示:错误,原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时,没有顾及角的范围而选择正、负

号,导致错误.正解:因为3π<α<4π,所以3π2<α2<2π,3π4<α4<π,3π8<α8<π2,则cosα2>0,cosα4<0,cosα8>0.所以原式=2-2+4cos2α2=2-2+2cosα2=2-4cos2α4

=2+2cosα4=4cos2α8=2cosα8.二、应用性——强调学以致用2.点P在直径为AB=1的半圆上移动,过点P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?[析题建模]连接PB,由AB=1,∠PAB=α――→数学运算PA

,PB的值――→直观想象作BC⊥PT,结合条件表示出BC――→逻辑推理S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB―――→利用正弦函数求出四边形ABTP取最大值时α的值解:连接PB,∵AB为圆的直径,∴∠APB=90°,∵∠PAB=α,AB=1,∴PA

=cosα,PB=sinα,又PT切圆于P点,则∠TPB=∠PAB=α,过点B作BC⊥PT,垂足为C,∴BC=sinα·PB=sin2α,∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=12PA·PB+12PT·BC=12sinαcosα+12sin2α=14sin2α

+14(1-cos2α)=14(sin2α-cos2α)+14=24sin2α-π4+14,∵0<α<π2,-π4<2α-π4<3π4,∴当2α-π4=π2,即α=3π8时,S四边形ABTP最大.

三、创新性——强调创新意识和创新思维3.若cosπ4+x=35,17π12<x<7π4,求sin2x+2sin2x1-tanx的值.解:法一:根据已知条件分别求出sinx,cosx,tanx(角的变换)直接带入公式求解.由17π12<x<7π4,得5π3<x

+π4<2π,又cosπ4+x=35,∴sinπ4+x=-45,∴cosx=cosπ4+x-π4=cosπ4+xcosπ4+sinπ4+xsinπ4=-210,从而sinx=-7210,tanx=7,故原式=2sinxcosx+2

sin2x1-tanx=2×-7210×-210+2×-721021-7=-2875.法二:由分母中“1-tanx”,联想到1+tanx1-tanx=tanx+π4,而已知的角正是“π4+x”.∵cosπ4+x=35,17π12<

x<7π4,∴x+π4∈5π3,2π,∴sinx+π4=-1-cos2x+π4=-45,∴tanx+π4=-43.∴sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx(cosx+sinx)cosx-sin

x=sin2x·1+tanx1-tanx=-cos2x+π2·tanx+π4=-2cos2x+π4-1·tanx+π4=-2×925-1·-43=-2875.法三:利用平方关系分别求cosx-sinx,sinxcosx,cosx+s

inx,然后整体代入.∵cosπ4+x=35,∴22(cosx-sinx)=35,∴cosx-sinx=325,平方可得1-2sinxcosx=1825,∴sinxcosx=750,∴(cosx+sin

x)2=1+2sinxcosx=3225,又17π12<x<7π4,∴5π3<x+π4<2π,∴cosx+sinx=2sinx+π4<0,∴cosx+sinx=-425,∴sin2x+2sin2x1-tanx=2sinx(c

osx+sinx)1-sinxcosx=2sinxcosx(cosx+sinx)cosx-sinx=-2875.法四:利用平方关系求sinxcosx,然后整体代入.∵sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+2sin2x1-sinxcosx=2si

nxcosx(cosx+sinx)cosx-sinx=2sinxcosxsinx+π4cosx+π4,∵cosπ4+x=35,17π12<x<7π4,∴sinx+π4=-45,∴2sinxcosx=725.∴2sinxcosxsinx+π4cosx+π4=-2875,∴sin2x+2si

n2x1-tanx=-2875.法五:将x+π4视为整体,利用倍角公式.sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+2sin2x1-sinxcosx=2sinxcosx(cosx+sinx)cosx-sinx.其中cosx+sinx=2sinx+π

4,cosx-sinx=2cosx+π4,∵17π12<x<7π4,∴x+π4∈5π3,2π,再结合cosπ4+x=35>0,可得sinx+π4=-45,因为2sinxcosx=sin2x=-cosπ2+2x=-cos2π4+x=1-2cos2π4+x=725,∴原式=2

sinxcosx(cosx+sinx)cosx-sinx=-2875.谢谢观看

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