【文档说明】5.5.1.1 两角差的余弦公式（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(31)页，928.732 KB，由飞向未来上传

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5.5.1.1两角差的余弦公式5.5三角恒等变换5．5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．经历利用单位圆的对称性推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余

弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并能利用公式化简、计算求值．3．通过公式的推导，提升学生逻辑推理的核心素养．借助公式的变形、正用、逆用，培养学生数学运算的核心素养．第一课时两角差的余弦公式(一)教材梳理填空公

式cos(α－β)＝________________________简记符号C(α－β)适用条件公式中的角α，β都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反cosαcosβ＋sinαsinβ(二)基本知能小试1．判断正误(1)cos(45°

－30°)＝cos45°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)cos30°cos120°

－sin30°sin120°＝0.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．cos79°cos19°＋sin79°sin19°＝()A．1B．22C.32D．12答案：D3．cos(－15°)的值是()A.6－22B．6＋22C.6－24D．6＋24解析：cos(－15°)＝cos1

5°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.答案：D4．若sinαsinβ＝m，cosαcosβ＝n，则cos(α－β)＝________.答案：n＋m题型一给角求值[学透用活]对于公式C(α－β)

的三点说明(1)公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．(2)公式的适用条件公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cosα＋β2－α－

β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面．①公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)

－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．[典例1]求下列各式的值：(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；(2)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；(3)cos40°cos70°＋cos20°cos50°.[解]

(1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.(2)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12.(3)原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin4

0°＝cos(70°－40°)＝cos30°＝32.[方法技巧]运用两角差的余弦公式求值的关注点(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．(2)在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于进行角的变形，使之符合公式特征．(3

)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．[变式训练]1．cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6的值是()A．0B．12C.22D．32解析：cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6＝cos5π12cosπ6＋sin

5π12sinπ6＝cos5π12－π6＝cosπ4＝22.答案：C2．求下列各式的值：(1)cos13π12；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)；(3)cos(α－20°

)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)．解：(1)cos13π12＝cosπ＋π12＝－cosπ12＝－cos3π12－2π12＝－cosπ4－π6＝－cosπ4cosπ6＋sinπ4sinπ6＝－2

2×32＋22×12＝－6＋24.(2)原式＝－sin100°sin160°＋cos200°cos280°＝－sin100°sin20°－cos20°cos80°＝－(cos80°cos20°＋sin80

°sin20°)＝－cos60°＝－12.(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝12.题型二给值(式)求值问题[探究发现](1)若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos

α的值？提示：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.(2)利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？提示：cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

．[学透用活][典例2](1)已知sinα－sinβ＝1－32，cosα－cosβ＝12，则cos(α－β)＝()A．－32B．－12C.12D．32(2)已知sinπ3＋α＝1213，α∈

π6，2π3，求cosα的值．[解析](1)选D因为sinα－sinβ＝1－32，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝1－322，①因为cosα－cosβ＝12，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝122，②①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－3＋34＋

14，所以－2cos(α－β)＝－3，所以cos(α－β)＝32.(2)∵α∈π6，2π3，∴π3＋α∈π2，π，∴cosπ3＋α＝－1－sin2π3＋α＝－1－12132＝－513.∵α＝π3＋α－π3，∴cosα＝cosπ3＋α－π3＝cosπ3＋αcosπ3＋s

inπ3＋αsinπ3＝－513×12＋1213×32＝123－526.[方法技巧]给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(

2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α＋β)－β；②β＝α＋β2－α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[变式训练

]1．[变条件]将例2(2)的条件改为“sinα＋π4＝45，且π4<α<3π4”，如何解答？解：∵sinα＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，∴π2＜α＋π4＜π.∴cosα＋π4＝－1－452＝－35.∴cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝

－35×22＋45×22＝210.2．已知sinπ3－α＝－1213，α∈π6，5π6，求cosα－π12的值．解：∵π6＜α＜5π6，∴－π2＜π3－α＜π6，又sinπ3－α＝－1213＜0，∴－π2＜π3－α＜0，cosπ3－α

＝1－sin2π3－α＝513，∴cosα－π12＝cosπ12－α＝cosπ3－α－π4＝22cosπ3－α＋22sinπ3－α＝22×513＋2

2×－1213＝－7226.题型三给值(式)求角问题[学透用活][典例3]已知α，β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，求α－β的值．[解]∵α，β均为锐角，∴sinα＝55，sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋

55×31010＝22.又∵sinα<sinβ，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.[方法技巧]已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；(2)

求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角．[变式训练]已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈π2，π，α＋β∈3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈π2，π，且cos(α－β)＝－

1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.所以cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－1213×1213＋－513×513＝－

1.又因为α＋β∈32π，2π，α－β∈π2，π，所以2β∈π2，3π2.所以2β＝π，所以β＝π2.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．下面是某同学对“在△ABC中，sin(A＋B)＝23，

cosB＝－34，求cosA的值”的解题过程．解：由题意得：sinB＝1－cos2B＝1－－342＝74，cos(A＋B)＝1－sin2(A＋B)＝1－232＝53，所以cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)s

inB＝53×－34＋23×74＝27－3512.试分析这位同学的解题过程是否正确？若不正确，错在何处，并给出正确的解题过程．提示：这位同学解析错误，错误的原因是忽略了隐含条件，没有注意角的范围，导致求值错误．在解题中应挖掘出π2<A＋B<π这个隐含条件．正解：

在△ABC中，因为cosB＝－34<0，sin(A＋B)＝23，所以π2<B<π，π2<A＋B<π，所以sinB＝1－cos2B＝1－－342＝74，cos(A＋B)＝－1－sin2(A＋B)＝－1－232

＝－53.所以cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝－53×－34＋23×74＝27＋3512.二、创新性——强调创新意识和创新思维2．已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－11

14，且α，β∈0，π2可以得到以下结论：(1)______________________；(2)______________________；(3)______________________；(4)________

______________．请根据题设条件写出可以得到的结论，并写出具体的解题过程．解：结论：(1)cosβ＝12；(2)cos2β＝－12；(3)cos2α＝－4749；(4)tan(α＋β)＝－5311.因为α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin

α＝1－cos2α＝1－172＝437.sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1－－11142＝5314，又因为β＝(α＋β)－α，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos

α＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.①又因为β∈0，π2，所以β＝π3，sinβ＝32，②tanα＝43，tan(α＋β)＝sin(α＋β)cos(α＋β)＝－53

11，③cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝17×12＋437×32＝1314，sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝3314.④cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝co

s(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－12.⑤cos2α＝cos[(α＋β)－(β－α)]＝cos(α＋β)cos(β－α)＋sin(α＋β)sin(β－α)＝－4749.⑥另外还可以求cos(2α－2β)，cos(2α－β)，cos(2β－

α)等．谢谢观看