【文档说明】5.4.3 正切函数的性质与图象（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(37)页，1.152 MB，由飞向未来上传

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5.4.3正切函数的性质与图象5．4.3正切函数的性质与图象1．能画出正切函数y＝tanx的图象．2．借助图象理解正切函数y＝tanx在－π2，π2上的性质．3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的综合应用．4．结合正切函

数图象求解三角函数的综合问题，培养学生直观想象的核心素养．掌握正切函数的性质及应用，提升学生逻辑推理的核心素养．(一)教材梳理填空函数y＝tanx的图象和性质解析式y＝tanx图象定义域_______________________________xx∈R

且x≠kπ＋π2，k∈Z值域___周期__奇偶性______单调性在每一个区间______________________上都单调递增Rπ奇函数－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)提示：三点两线法：“三点”是指－π4，－1，(0,0)，π4，1，“两线”是

指x＝－π2和x＝π2，大致画出正切函数在－π2，π2上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线．[思考](1)正切函数在定义域上是单调函数吗？是周期函数吗？提示：正切函数在定义域上不具有单调性，是周期函数．(2)画正切曲线的关键点和关键线分别是什么？(二)基本知能小试1

．判断正误(1)正切函数的值域是R.()(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．()(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±π2，k∈Z.()答案：(1)√(2)√(3)×2．三角函数y＝tanx()A．在整个定义域上为

增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上为增函数D．在每一个闭区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上为增函数解析：因为正切函数的图象不连续，结合函数的定义域与图象知，增区间为－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)．答案：C

3．y＝tan2x－π4的定义域为________．解析：∵2x－π4≠kπ＋π2，k∈Z，∴x≠kπ2＋38π，k∈Z.答案：xx≠kπ2＋38π，k∈Z4．函数y＝tan(π－x)，x∈－π4，π3的值域为________．解析：y＝tan(π－x)＝

－tanx，在－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．答案：(－3，1)题型一正切函数的定义域、值域问题[学透用活][典例1]求下列函数的定义域和值域：(1)f(x)＝tanx＋π4；(2)f(x)＝3－t

anx.[解](1)依题意得x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，所以x≠π4＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域是xx≠kπ＋π4，k∈Z.由正切函数的值域可知该函数的值域是(－∞，＋∞)．(2)依题

意3－tanx≥0，所以tanx≤3.结合y＝tanx的图象可知，在－π2，π2上，满足tanx≤3的角x应满足－π2＜x≤π3，所以函数y＝3－tanx的定义域为xkπ－π2＜x≤kπ＋π3，k∈Z，其值域为[0，＋∞)．[方法技巧]1．求正切函数

定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠π2＋kπ，k∈Z.(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋π2，k∈Z，解得x.2

．解形如tanx＞a的不等式的步骤[变式训练]1．函数f(x)＝tan2x在－π6，π6上的最大值与最小值的差为()A．23B．233C．2D．23解析：由函数f(x)＝tan2x在－π6，π6上单调递增，可得f(x)max＝tan2×π6＝3，

f(x)min＝tan－2×π6＝－3.所以最大值与最小值的差为23.答案：A2．函数f(x)＝1tanx－1的定义域是________________．解析：若使函数f(x)有意义，需使tanx－1＞0，即tanx＞1.结合正切曲线，可

得kπ＋π4＜x＜kπ＋π2(k∈Z)，所以函数f(x)的定义域是kπ＋π4，kπ＋π2(k∈Z)．答案：kπ＋π4，kπ＋π2(k∈Z)题型二与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题[学透用活][典例2](1)若f(x)＝tan(ω

x)(ω＞0)的周期为1，则f13的值为()A．－3B．－33C.33D．3(2)判断下列函数的奇偶性：①y＝3xtan2x－2x4；②y＝cosπ2－x＋tanx.[解析](1)选D∵f(x)＝tan(ωx)(ω＞0)

的周期为πω＝1，∴ω＝π，即f(x)＝tanπx，则f13＝tanπ3＝3.(2)①定义域为xx≠kπ2＋π4，k∈Z，关于原点对称，又f(－x)＝3(－x)tan(－2x)－2(－x)4

＝3xtan2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．②定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z，关于原点对称，y＝cosπ2－x＋tanx＝sinx＋tanx，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)

＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以它是奇函数．[方法技巧]1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法(1)定义法．(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，它的最小正周期T＝π|ω|.(3)

观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少函数值重复出现．[方法技巧]2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函

数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．[提醒]y＝tanx，x≠kπ＋π2，k∈Z的对称中心坐标为kπ2，0，k∈Z.[变式训练]1．函数y＝tanx2是()A．最小正周期为4π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为4π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数

解析：函数的周期T＝π12＝2π，且tan－x2＝－tanx2，所以函数y＝tanx2为奇函数．答案：B2．(多选)下列各点中，能作为函数y＝tanx＋π5x∈R且x≠kπ＋3π10，k∈Z的对称中心的点是()A．(0,0)B．－π5，0C．(π，0)D．3π1

0，0解析：令x＋π5＝kπ2，k∈Z，解得x＝kπ2－π5，k∈Z，当k＝0时，x＝－π5；当k＝1时，x＝3π10.故选B、D.答案：BD3．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为π4，则fπ1

2的值是()A．0B．33C．1D．3解析：∵f(x)＝tanωx的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长度即为函数的周期，∴该函数的周期是π4，∴πω＝π4(ω＞0)，解得ω＝4，∴f(x)＝tan4x，∴fπ12＝tan4

×π12＝tanπ3＝3.答案：D题型三正切函数的单调性及应用[探究发现](1)正切函数y＝tanx在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义

域内是增函数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tanx1＝tanx2.(2)如果让你比较tan－4π3与tan－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调

区间内，再由正切函数的单调性进行比较．[典例3](1)求函数y＝tanπ4－x的单调递减区间．(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．①tan220°与tan200°；②tan65π与tan－137π.[解](1)因为y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，所以y＝tan

π4－x的单调递减区间是y＝tanx－π4的单调递增区间．由kπ－π2＜x－π4＜kπ＋π2，k∈Z得kπ－π4＜x＜kπ＋3π4，k∈Z，所以函数y＝tanπ4－x的单调递减区间是kπ－π4，kπ＋3π4，k∈Z.(2)①tan220°＝tan40°，tan200°＝tan2

0°，因为y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tan200°＜tan220°.②tan65π＝tanπ＋π5＝tanπ5，tan－137π＝tan－2π＋π7＝tanπ7，因为－π2＜π7＜π5＜π2，y＝tanx在－π2，π2上单调递增，所以tanπ7＜tanπ5，即tan65π＞t

an－137π.[方法技巧]1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．(2)若ω＜0，

可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．[提醒]y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0

，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．[变式

训练]1．函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间为________．解析：由kπ－π2＜2x－π3＜kπ＋π2(k∈Z)，得k×π2－π12＜x＜k×π2＋512π(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为kπ2－π

12，kπ2＋5π12(k∈Z)．答案：kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)2．比较tan－13π4与tan－12π5的大小．解：tan－13π4＝tan－3π－π4＝tan－π4＝－tanπ

4，tan－12π5＝tan－2π－2π5＝tan－2π5＝－tan2π5，∵0<π4<2π5<π2，且y＝tanx在0，π2内递增，∴tanπ4＜tan2π5，∴－tanπ4>－tan2π5，∴tan－13π4>t

an－12π5.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．试判断函数f(x)＝5tan－2x＋π2具有哪些性质？解：(1)f(x)的定义域，值域．函数f(x)＝5tan－2x＋π2＝－5tan

2x－π2，令2x－π2≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π2＋kπ2，k∈Z，∴f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ2，k∈Z，值域为R.(2)周期T＝π.(3)奇偶性：任取f(x)定义域内的x，则f(－x)

＝－5tan－2x－π2＝5tan2x＋π2＝5tanπ＋2x－π2＝5tan2x－π2＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(4)单调性：根据正切函数的单调性知，令－π2＋kπ＜2x－π2＜π2＋kπ，k∈Z，得kπ2＜x＜

π2＋kπ2，k∈Z，∴f(x)＝－5tan2x－π2在kπ2，π2＋kπ2，k∈Z内单调递减．(5)对称性：由2x－π2＝kπ2，得x＝π(k＋1)4，k∈Z，∴函数f(x)的对称中心为π(k＋1)4，0，k∈Z.二、创新性——强调创新意识和创新思维2．是否存在实数

a，且a∈Z，使得函数y＝tanπ4－ax在x∈π8，5π8上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．解：∵y＝tanθ在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上为增函数

，∴a＜0.又x∈π8，58π，∴－ax∈－a8π，－5a8π，∴π4－ax∈π4－a8π，π4－5a8π，∴kπ－π2≤π4－a8π(k∈Z)，kπ＋π2≥π4－58aπ(k∈Z).解得－25－8k5≤a≤6－8k(k∈Z)．令－25－8k5＝6－8k，解

得k＝1，此时－2≤a≤－2，∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．谢谢观看