【文档说明】5.4.2.2 正弦函数、余弦函数的性质 正弦、余弦函数的单调性与最值（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(32)页，1.129 MB，由飞向未来上传

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5.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质正弦、余弦函数的单调性与最值第二课时正弦、余弦函数的单调性与最值(一)教材梳理填空正弦函数余弦函数图象值域___________________单调性在_______________________上递增，

在________________________上递减在______________________________上递增，在_______________________________上递减[－1,1][－1,1]2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)2kπ＋π2，

2kπ＋3π2(k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)正弦函数余弦函数最值x＝_____________时，取得最大值1；x＝______________时，取得最小值－1x＝__________时，取得最大值1；_______________时，取得最小值－1提

示：不唯一．(2)对于x∈R，sinx和cosx的取值是否也是任意实数？提示：不是，－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1.π2＋2kπ(k∈Z)－π2＋2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)x＝2kπ＋π(k∈Z)[思考](1)正弦函数、余弦函数的单调递增(减)区间是唯一的吗？(二)基本知能小试1．判

断正误(1)正弦函数、余弦函数在R上都是单调函数．()(2)存在x∈R满足cosx＝1.2.()(3)函数y＝－12sinx，x∈0，π2的最大值为0.()答案：(1)×(2)×(3)√2．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是()A．[0，π]B．

π2，πC.0，π2D．[π，2π]解析：由正弦曲线知y＝sinx在0，π2上是增函数．答案：C3．函数y＝－2cosx的最大值为________，此时x＝________________.解析：因为－

1≤cosx≤1，所以当cosx＝－1时，ymax＝－2×(－1)＝2.此时x＝2kπ＋π，k∈Z.答案：22kπ＋π，k∈Z4．sinπ7________sinπ6(填“＞”或“＜”)．解析：0＜π7<π6＜π2，由于

函数y＝sinx在0，π2上为增函数，则sinπ7<sinπ6.答案：<题型一正弦函数、余弦函数的单调性[学透用活]解决有关正弦、余弦函数单调性的注意点(1)理解正弦函数、余弦函数的单调性，通常作函

数y＝sinx，x∈－π2，3π2，y＝cosx，x∈[－π，π]的简图．(2)单调区间要在定义域内求解．(3)确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．[典例1]求函数y＝2sin2x－π6的单调区间．[解]法一

：令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得函数的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)；令2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)．[典例1]求函数y＝2sin

2x－π6的单调区间．[解]法二：令2x－π6＝π2，可得函数的一个最大值点为x＝π3，而函数的最小正周期为T＝π，从而函数的单调递增区间为kπ＋π3－π2，kπ＋π3(k∈Z)，即kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)；函数的单调递减区间为kπ＋π3，kπ＋π3＋π2(k∈Z)，即

kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)．[方法技巧](1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数y＝sinx(或y＝cosx

)的相应单调区间；第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x的不等式．[方法技巧](2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－

ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．[变式训练]1．[变条件]本例中函数变为y＝2cos2x－π6，问题不变

．解：令2kπ－π≤2x－π6≤2kπ(k∈Z)，即2kπ－5π6≤2x≤2kπ＋π6(k∈Z)，∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)，∴递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．令2kπ≤2x－π6≤2kπ＋π(k∈Z)，即2kπ＋π6≤2x≤2kπ＋7π6(k∈Z)

，∴kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)，∴递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)．2．求函数y＝2sinπ4－x的单调增区间．解：y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，令z＝x－π4，则y＝－2sinz，求y＝－2sinz的增区间，即求y＝

sinz的减区间，所以令π2＋2kπ≤z≤3π2＋2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ≤x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得3π4＋2kπ≤x≤7π4＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sinπ4－x的单调增区间是3π

4＋2kπ，7π4＋2kπ(k∈Z)．题型二正弦函数、余弦函数单调性的应用[典例2]比较下列各组数的大小．(1)sin194°和cos160°；(2)sin74和cos53；(3)sinsin3π8和sincos3π8.[解](1)sin194°＝sin(18

0°＋14°)＝－sin14°.cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>co

s160°.(2)∵cos53＝sinπ2＋53，又π2<74<π<π2＋53<3π2，y＝sinx在π2，3π2上是减函数，∴sin74>sinπ2＋53，即sin74>cos53.(3)∵cos3

π8＝sinπ8，∴0<cos3π8<sin3π8<1<π2.而y＝sinx在0，π2内递增，∴sincos3π8<sinsin3π8.[方法技巧]比较两个三角函数值的大小的步骤(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同

名函数．(2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减)区间．(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论．[变式训练]1．[求参数]若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是()A.0，23B．0，32C.23，3D．3

2，3解析：令π2＋2kπ≤ωx≤3π2＋2kπ，k∈Z，则π2ω＋2kπω≤x≤3π2ω＋2kπω，k∈Z.∵函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间π3，π2上单调递减，∴π2ω≤π3且3π2ω≥π2，∴32≤ω≤3.答案：D2．[比

较大小]比较下列各组数的大小：(1)cos15π8与cos14π9；(2)cos3π14与sin－15π8.解：(1)cos15π8＝cos2π－π8＝cosπ8，cos14π9＝cos2π－4π9＝cos4π9.∵函数y＝cosx在[0

，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cosπ8>cos4π9，即cos15π8>cos14π9.(2)cos3π14＝cosπ2－2π7＝sin2π7，sin－15π8＝sin－2

π＋π8＝sinπ8，∵π2＞2π7＞π8＞0，且y＝sinx在0，π2上为增函数，∴sin2π7＞sinπ8，即cos3π14＞sin－15π8.题型三正弦函数、余弦函数的最值问题[探究发现](1)函数y＝sin

x＋π4在x∈[0，π]上最小值是多少？提示：因为x∈[0，π]，所以x＋π4∈π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.提示：不一定．因为A>0时最大值为A＋B，若A<0时最大值应为－A＋B.(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)

＋B，x∈R的最大值一定是A＋B吗？[典例3]求下列函数的值域：(1)y＝2sin2x＋π3，x∈－π6，π2；(2)y＝|sinx|＋sinx；(3)y＝cos2x－4cosx＋5.[解](1)∵x∈－π6，π2，∴2x＋π3∈0，4π3.令u＝2

x＋π3，又y＝sinu在0，π2上单调递增，在π2，4π3上单调递减，∴－32≤sin2x＋π3≤1，∴－3≤2sin2x＋π3≤2，∴函数的值域为[－3，2]．(2)∵y＝|sinx|＋sinx＝2sin

x，sinx≥0，0，sinx＜0，又sinx≥0时，0≤2sinx≤2，∴函数y＝|sinx|＋sinx的值域为[0,2]．(3)令t＝cosx，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，∴t＝－1时，y

取得最大值10，t＝1时，y取得最小值2.∴y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2,10]．[方法技巧]三角函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin

(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C(A≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝At

2＋Bt＋C求最值．t的范围需要根据定义域来确定．[变式训练]1．[求y＝asinx型最值]函数f(x)＝－2sinx＋1，x∈－π2，π的值域是()A．[1,3]B．[－1,3]C．[－3,1]D．[－1,1]解析：∵x∈－π2

，π，∴sinx∈[－1,1]，∴－2sinx＋1∈[－1,3]．答案：B2．[求y＝Asin2x＋Bsinx＋C型最值]求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈π6，5π6的最大值和最小值．解：y＝

－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2sinx＋122＋12.∵x∈π6，5π6，∴12≤sinx≤1.当sinx＝1时，ymax＝5；当sinx＝12时，ymin＝52.3．[求参数]已知

函数f(x)＝2asin2x＋π6＋a＋b的定义域是0，π2，值域是[－5,1]，求a，b的值．解：因为0≤x≤π2，所以π6≤2x＋π6≤7π6，所以－12≤sin2x＋π6≤1.当a＞0时，b＝－5，3a＋b＝1，解得b＝－5，a＝2.当

a＜0时，b＝1，3a＋b＝－5，解得b＝1，a＝－2.因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.[课堂思维激活]一、应用性——强调学以致用1．已知函数f(x)＝a－bcosx的最大值是32，最小值是－12，求函数y＝4sinax＋b的

最大值、最小值及周期．某同学的解题过程如下：解：由题意知b≠0，∵－1≤cosx≤1，∴－b≤bcosx≤b，∴a－b≤a－bcosx≤a＋b.∴a＋b＝32，a－b＝－12，解得a＝12，b＝1.∴y＝4sin12x＋1.此时y＝4sin12x＋1的最大值为5，最小值为－3，周期为

4π.分析以上解题过程是否正确？若不正确，请写出正确的解题过程．提示：错误，原因是只考虑了b＞0这一种情况而导致解答不完整，事实上b的符号未定，故－bcosx的最值不仅与cosx有关，还与b的正负有关，因此应按b

>0与b<0讨论．正解：由题意知b≠0，∵－1≤cosx≤1，当b>0时，－b≤bcosx≤b，∴a－b≤a－bcosx≤a＋b.∴a＋b＝32，a－b＝－12，解得a＝12，b＝1.∴y＝4sin12x＋1.

此时y＝4sin12x＋1的最大值为5，最小值为－3，周期为4π.同理，当b<0时，可得a－b＝32，a＋b＝－12，解得a＝12，b＝－1.∴y＝4sin12x－1.此时y＝4sin

12x－1的最大值为3，最小值为－5，周期为4π.二、创新性——强调创新意识和创新思维2．在①f(x)的图象关于直线x＝5π6对称，②f(x)的图象关于点5π18，0对称，③f(x)在－π4，π4上单调递增

这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．已知函数f(x)＝4sinωx＋π6(ω∈N*)的最小正周期不小于π3，且________，是否存在ω的值满足条件，若不存在，请说明理由．解：由于函数f(x)的

最小正周期不小于π3，所以2πω≥π3，所以1≤ω≤6，ω∈N*.若选择①，即f(x)的图象关于直线x＝5π6对称，则有5π6ω＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝65k＋25(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω

＝4.故存在ω＝4满足条件．若选择②，即f(x)的图象关于点5π18，0对称，则有5π18ω＋π6＝kπ(k∈Z)，解得ω＝185k－35(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3.故存在ω＝3满足条件．若选择③，即f(x)在－π4，π4上单调递增，则有

－ωπ4＋π6≥2kπ－π2，ωπ4＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得ω≤－8k＋83，ω≤8k＋43(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝0，ω＝1.故存在ω＝1满足条件．谢谢观看