【文档说明】5.4.2.1 正弦函数、余弦函数的性质 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(35)页，1.171 MB，由飞向未来上传

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5.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质正弦、余弦函数的周期性与奇偶性5.4.2正弦函数、余弦函数的性质1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．2．掌握函数y＝sin

x，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．3．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．4．掌握y＝sinx，y＝cosx最大值与最小值，会求简单三角函数的值域和最值．5．通过周期

性的研究，培养学生逻辑推理的核心素养．借助奇偶性及图象的关系，提升学生直观想象的核心素养．通过单调性与最值的计算，提升学生数学运算的核心素养．第一课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性(一)教材梳理填空1．

函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数．__________叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果

在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的____，那么这个最小____就叫做f(x)的___________．非零常数Tf(x＋T)＝f(x)非零常数T最小正周期正数正数2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy

＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期_______奇偶性______________[思考](1)所有的函数都具有周期性吗？提示：并不是每一个函数都是周期函数．(2)周期函数的周期是唯一的吗？提示：若函数具有周期性，则其周期

也不一定唯一．2π奇函数偶函数2π(二)基本知能小试1．判断正误(1)若sin2π3＋π6＝sinπ6，则2π3是函数y＝sinx的一个周期．()(2)所有的周期函数都有最小正周期．()(3)函数y＝sinx是奇函数．()答案：(1)×(2)×(3

)×2．函数y＝2cos2x＋π2是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析：y＝2cos2x＋π2＝－2sin2x，它是周期为π的奇函

数．答案：A3．函数y＝3sinx＋5的最小正周期是________．解析：设f(x)＝3sinx＋5，x∈R.因为f(x＋2π)＝3sin(x＋2π)＋5＝3sinx＋5＝f(x)，所以y＝3sinx＋5的最小正周期是2π.答案：2π4．若函数

f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝2021，则f(2)＝________.解析：因为函数f(x)是周期为3的周期函数，所以f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝2021.答案：2021题型一正、余弦函数的周期[学透

用活]1．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因为y＝sin2x＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而

言的，而非2x.(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．2．对正弦函数、余弦函数周期性的两点说明(1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是

它的周期，最小正周期为2π.(2)余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.[解](1)法一：定义法∵f(x)＝cos2x＋π3＝cos2x

＋π3＋2π＝cos2(x＋π)＋π3＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝cos2x＋π3的最小正周期T＝π.[典例1]求下列函数的周期．(1)f(x)＝cos2x＋π3；

(2)f(x)＝|sinx|.法二：公式法∵y＝cos2x＋π3，∴ω＝2.又T＝2π|ω|＝2π2＝π，∴函数f(x)＝cos2x＋π3的最小正周期T＝π.(2)法一：定义法∵f(x)＝|sinx|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin

x|＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为π.法二：图象法作出函数y＝|sinx|的图象如图所示．由图象可知T＝π.[方法技巧]求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法：将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝2π|ω|求得．(2)定义法：一般地

，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么非零常数T叫做这个函数的周期．(3)图象法：利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．[提醒]

y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝π|ω|.[变式训练]求下列函数的周期．(1)y＝sin16x－π4，x∈R；(2)y＝|cosx|，x∈R.解：(1)因为sin16(x

＋12π)－π4＝sin16x＋2π－π4＝sin16x－π4，所以由周期函数的定义知，y＝sin16x－π4的周期为12π.(2)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y

＝|cosx|的周期为π.题型二正、余弦函数的奇偶性[学透用活]正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．[典例2]判断下列

函数的奇偶性：(1)f(x)＝sinx＋tanx；(2)f(x)＝sin34x＋3π2；(3)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.[解](1)定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z，关于原点对称．因为f(－x)＝sin(－x

)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以函数y＝sinx＋tanx是奇函数．(2)f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，x∈R.又f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝s

in3x4＋3π2是偶函数．(3)由1＋sinx≠0解得x≠2kπ＋3π2，k∈Z，所以函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx的定义域为x∈Rx≠2kπ＋3π2，k∈Z，显然定义域不关于原点对称．故函数f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋si

nx是非奇非偶函数．[方法技巧]判断函数奇偶性的思路[提醒]判断函数奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．[变式训练]1．(多选)关于x

的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法，正确的是()A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数B．存在φ，使f(x)是奇函数C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数D．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数解

析：当φ＝π时，f(x)＝sin(x＋π)＝－sinx，是奇函数．当φ＝π2时，f(x)＝sinx＋π2＝cosx，是偶函数．所以A、C错误，B正确．无论φ为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函

数，故D正确．答案：BD2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝cos32π＋2x＋x2sinx；(2)f(x)＝1－2cosx＋2cosx－1.解：(1)f(x)＝sin2x＋x2sinx，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x

)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由1－2cosx≥0，2cosx－1≥0，得cosx＝12，∴f(x)＝0，x＝2kπ±π3，k∈Z，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．题型三三角函数的奇偶性与周期的综合应用[探究发现](1)你

能举例说明怎样的三角函数具有奇偶性吗？提示：奇函数有y＝2sinx，y＝sin2x，y＝5sin2x，y＝sinxcosx等．偶函数有y＝cos2x＋1，y＝3cos5x，y＝sinx·sin2x等．提示：f(8)＝f(0＋4×2)＝f(

0)＝0.(2)若函数y＝f(x)是周期T＝4的周期函数，也是奇函数，则f(8)的值是多少？[典例3](1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sin2x|C．y＝sinπ2＋2xD．y＝cos3π2－2x[解析](1)y＝cos|2x|是偶函数，

y＝|sin2x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos2x是偶函数，y＝cos3π2－2x＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.[答案](1)D[典例3](2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最

小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3等于()A．－12B．12C．－32D．32[解析](2)f5π3＝f5π3－π＝f2π3＝f2π3－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.[答案](2)D[方法技巧]与三角

函数奇偶性有关的结论(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)要使y＝Acos(ωx＋φ

)(A，ω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．[变式训练]1．[变条件]若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“13π12”，其

他条件不变，结果如何？解：f5π3＝f5π3－13π12×2＝f－π2＝－fπ2＝－sinπ2＝－1.2．[变条件]若本例(2)中条件变为：函数f(x)为偶函数且f

x＋π2＝－f(x)，fπ3＝1，则f5π3的值为________．解析：∵fx＋π2＝－f(x)，∴f(x＋π)＝f(x)，即T＝π，∴f5

π3＝f5π3－2π＝f－π3＝fπ3＝1.答案：1[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．王明解答“利用定义求f(x)＝sin2x－π6的最小正周期”的过程如下：解：令z＝2x－π6，∵x

∈R，∴z∈R.又∵y＝sinz的周期是2π，z＋2π＝2x－π6＋2π＝2(x＋π)－π6，∴f(x＋2π)＝sin2(x＋2π)－π6＝sin2x－π6＋4π＝sin2x－π6＝f(x)．∴T＝2π.分析以上解题过程是否正确？若

错误，请分析原因，并写出正确的解题过程．提示：错误，错解中求的是函数的周期而不是最小正周期，对于y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，其最小正周期为2πω.正解：令z＝2x－π6，∵x∈R，∴z∈R.又∵y＝sinz的周期是2π，z＋2π＝2x－π6＋2π＝2(x＋π)－π6，∴f(x＋π

)＝sin2(x＋π)－π6＝sin2x－π6＋2π＝sin2x－π6＝f(x)．∴T＝π.二、应用性——强调学以致用2．[好题共享——选自人教B版新教材]若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．(1)求该函数的周

期；(2)求t＝10.5s时该弹簧振子相对平衡位置的位移．[析题建模]解：(1)设函数的周期为T,利用周期的定义知T2＝3.5－1.5，所以函数的周期T＝4s.(2)由(1)知函数的周期为4s，可知f(10.5)＝f(2.5＋2×4)＝f(2.5)＝－8(cm)．故t＝10.5s时弹

簧振子相对平衡位置的位移为－8cm.谢谢观看