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5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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【文档说明】5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册).pptx,共(30)页,1.138 MB,由飞向未来上传

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以下为本文档部分文字说明:

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤,掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法.2.能利用正、余弦函数图象解简单问题.3.通过作正弦、余弦函数的

图象,培养学生直观想象的核心素养.通过图象的应用,提高学生数学运算、逻辑推理的核心素养.(一)教材梳理填空函数y=sinxy=cosx图象图象画法五点法五点法关键五点_____,π2,1,_____,3π2,-1,_

_______(0,1),_____,(π,-1),______,(2π,1)正(余)弦曲线正(余)弦函数的_____叫做正(余)弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线(0,0)(π,0)(2π,0)π2,03π

2,0图象[思考]余弦曲线与正弦曲线完全一样吗?能否通过平移余弦曲线得到正弦曲线?提示:余弦曲线与正弦曲线形状相同,但在同一坐标系下的位置不同.由sinx=cosπ2-x=cosx-π2可知,由y=cosx的图象向右平移π

2个单位可得y=sinx的图象.并且平移的方法不唯一,如也可向左平移3π2个单位,得到y=sinx的图象.(二)基本知能小试1.判断正误(1)余弦函数y=cosx的图象在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同.()(2)正弦函数y=sinx(x∈

R)的图象关于x轴对称.()(3)余弦函数y=cosx(x∈R)的图象关于原点成中心对称.()答案:(1)√(2)×(3)×2.函数y=cosx,x∈R图象的一条对称轴是()A.x轴B.y轴C.直线x=π2D.直线x=π3解析:观察y=cosx

,x∈R的图象可知,直线x=0即y轴是一条对称轴.答案:B3.函数y=sinx,x∈[0,π]的图象与直线y=0.8的交点有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:观察图象(略)易知:有两个交点.答案:B4.点Mπ2,

-m在函数y=sinx的图象上,则m等于________.解析:由题意知-m=sinπ2,∴-m=1,∴m=-1.答案:-15.请补充完整下面用“五点法”作出y=-sinx(0≤x≤2π)的图象时的列表.x0π2①3π22π-sinx②-10③0①________;②_

_______;③________.答案:①π②0③1题型一用“五点法”画正弦、余弦函数的简图[学透用活]画正弦函数、余弦函数的图象应注意的问题(1)无论采用什么方法作正弦、余弦函数的图象,函数自变量都要

用弧度制,这样自变量的值为实数,任意角与x轴上的实数产生了一一对应关系,从而可以在平面直角坐标系中作出图象.(2)正弦、余弦曲线形状相同,位置不同,均向左、向右无限延伸,与x轴有无数个交点,正弦曲线关于原点对称,而余弦曲线关于y轴对称.(3)画图时要注意图象的对称

性和凹凸方向.切忌把图象画成折线.[解](1)列表:x0π2π3π22πsinx010-10sinx-1-10-1-2-1描点连线,如图所示.[典例1]用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y=sinx-1,x∈[0,2π];[解](2)列表:x0π2π3π22πcosx10-1012

+cosx32123描点连线,如图所示.[典例1]用“五点法”作出下列函数的简图.(2)y=2+cosx,x∈[0,2π].[方法技巧]用“五点法”画函数y=Asinx+b(A≠0)或y=Acosx+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤(1)列表:x0π2π3π22πsinx(或c

osx)0(或1)1(或0)0(或-1)-1(或0)0(或1)yb(或A+b)A+b(或b)b(或-A+b)-A+b(或b)b(或A+b)(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y),π2,y,(π,y),

3π2,y,(2π,y),这里的y是通过函数式计算得到的.(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,不要用线段进行连接.[变式训练]用“五点法”画出y=sinx+2,x∈[0,2π]的简图.解:(1)列表:x0π2π3π22πsinx010-10si

nx+223212(2)描点:在坐标系内描出点(0,2),π2,3,(π,2),3π2,1,(2π,2).(3)作图:将上述五点用光滑的曲线顺次连接起来(实线).题型二正弦(余弦)函数图象的应用[探究发现](1)方程sinx=x的实根

个数有多少个?提示:在同一坐标系内分别作出y=sinx,y=x的图象(略),可知当x∈(-∞,0)时,sinx>x;当x∈(0,+∞)时,sinx<x,当x=0时,sinx=x,所以方程只有一个实根为0.(2)函数f(x)=x-cosx在[0,

+∞)内有多少个零点?提示:令f(x)=0,所以x=cosx,分别作出y=x,y=cosx的图象(略),可知两函数只有一个交点,所以f(x)在[0,+∞)内只有一个零点.[学透用活][典例2](1)函数y=2sinx-1的定义域为________.(2)在同一坐标系中,作函数y=sinx和y=l

gx的图象,根据图象判断出方程sinx=lgx的解的个数.可知sinx≥12的解集为x|π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ,k∈Z[解析](1)由2sinx-1≥0得sinx≥12,画出y=sinx的图象和直线y=12,如图.答案:x|π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ,k∈

Z(2)建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sinx,x∈R的图象.描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象,如图所示.由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.[方法技巧]解决三角函数图象应用问题的策略(1)用三角函数的图象解sinx>a(或cosx

>a)的方法①作出y=a,y=sinx(或y=cosx)的图象.②确定sinx=a(或cosx=a)的x值.③确定sinx>a(或cosx>a)的解集.(2)判断方程解的个数,或由方程解的个数确定参数的取值范围,可利用图象解题,当方程含有正、余弦函数时,可借助正、余弦曲线

探究问题的解法.[变式训练]1.[变条件]本例(1)中的“sinx”改为“cosx”,应如何解答?解:由2cosx-1≥0得cosx≥12,画出y=cosx的图象和直线y=12,如图.观察图象可知cosx≥12的解

集是x2kπ-π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z.2.[变条件]本例(1)中函数改为y=lgsinx-12+3-2sinx,应如何解答?解:要使原函数解析式有意义,必须满足12<sinx≤32.首先作出y=sinx在[0,2π]上的图象,如图所示,作直线y=

12,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sinx,x∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6;作直线y=32,该直线与y=sinx,x∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知,在[0,2π]上,当π6<x≤π3或2π3≤x<5π6时,不等式12<sin

x≤32成立,所以12<sinx≤32的解集为xπ6+2kπ<x≤π3+2kπ或2π3+2kπ≤x<5π6+2kπ,k∈Z.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.已知定义在区间-π,3π2上的函数y=f(x)图象关于直线x=π4对称,当x≥π4时

,f(x)=-sinx.(1)作出y=f(x)的图象;(2)求y=f(x)的解析式;(3)若关于x的方程f(x)=-910有解,将方程所有的解的和记为M,结合(1)中函数图象,求M的值.解:(1)y=f(x)的图象如图所示.(2)任取x∈-π,π4,则π2-x∈π4,3π2,由于函

数f(x)图象关于直线x=π4对称,则f(x)=fπ2-x.又当x≥π4时,f(x)=-sinx,则f(x)=fπ2-x=-sinπ2-x=-cosx,即f(x)=-cosx,x∈-π,π4,-sinx,x∈π4,3π2.(3)因为-910∈-

1,-22,所以f(x)=-910有4个根,满足x1<x2<π4<x3<x4,由对称性得,x1+x2=0,x3+x4=π,则M=x1+x2+x3+x4=π.二、创新性——强调创新意识和创新思维2.结合函数f(x)=sin|x|+|sinx|的图象,你能得到哪些结论?(答案不唯一)解

:作出函数f(x)的图象如图中粗实线所示.由图象可以得到:①奇偶性:f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),则函数f(x)是偶函数;②图象的对称性:函数图象关于y轴对称;③单调性:当x∈-π2,

0时,sin|x|=-sinx,|sinx|=-sinx,则f(x)=-sinx-sinx=-2sinx为减函数;当x∈0,π2时,sin|x|=sinx,|sinx|=sinx,则f(x)=sinx+sinx=2sinx为增函数;④当sin|

x|=1,|sinx|=1时,f(x)取得最大值2,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值0,⑤函数的值域为[0,2];⑥f(x)在[-π,π]有3个零点.当0≤x≤π时,f(x)=sin|x|+|si

nx|=sinx+sinx=2sinx,由f(x)=0得2sinx=0得x=0或x=π,由f(x)是偶函数,得在[-π,π)上还有一个零点x=-π,即函数f(x)在[-π,π]有3个零点;⑦若g(x)=a,则f(x)-g(x)=0有

根的条件为0≤a≤2等等.(任选几个写出即可)谢谢观看

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