【文档说明】5.3.2 诱导公式 诱导公式五、六（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(40)页，1.321 MB，由飞向未来上传

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5.3.2诱导公式诱导公式五、六第二课时诱导公式五、六1．借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式五、六．2．掌握六组诱导公式并能灵活运用，并能进行简单的三角函数式的化简、求值与证明．3．借助公式进行运

算，培养学生数学运算的核心素养．通过公式的变形进行化简和证明，提升学生逻辑推理的核心素养．(一)教材梳理填空1．诱导公式五和公式六2．诱导公式五、六的作用利用诱导公式五或六，可以实现________与_________的相互转化．正弦函数余弦函数3．诱导公式中角的关系(1)对任意角α，α

的终边与π2－α的终边关于直线y＝x对称．(2)在推导公式四的时候，我们知道角α与π－α的终边是关于y轴对称的，因而π－π2－α＝π2＋α与π2－α的终边关于y轴对称，如图所示．[思考]在△ABC中，角A2与角B＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？

提示：∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋C2，∴sinA2＝sinπ2－B＋C2＝cosB＋C2，cosA2＝cosπ2－B＋C2＝sinB＋C2.(二)基本知能小试1．判断正误(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．()(2)sin(90°＋α)＝－c

osα.()(3)cos(270＋30°)＝sin30°.()答案：(1)×(2)×(3)√2．(多选)下列与sinθ的值相等的是()A．sin(π＋θ)B．sinπ2－θC．cosπ2－θD．cos

3π2＋θ解析：sin(π＋θ)＝－sinθ；sinπ2－θ＝cosθ；cosπ2－θ＝sinθ；cos3π2＋θ＝sinθ.答案：CD3．sin95°＋cos175°的值为()A．sin5°B．cos5°C．0D．2sin5°解析：sin95°＋c

os175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.答案：C4．计算：sin211°＋sin279°＝________.解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1.答案：1题型一利用诱导公式化简求值[学

透用活]1．对诱导公式五、六的两点说明(1)诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．2．对诱导公式一

～六的两点说明(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．(2)公式一～六的记忆口诀和说明①口诀：奇变偶不变，符号看象限．②说明：[典例1](1)若cos(π＋A)＝13，那么sin3π2－A的值为()A.13B．－13C.233D．－233[解析](1)选A

因为cos(π＋A)＝－cosA＝13，所以sin3π2－A＝－cosA＝13.[解析](2)原式＝cosπ2－αsin2π＋π2＋α·(－sinα)·cos(－α)＝sinαsinπ2＋α·(－sinα)·cosα＝sin

αcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.[典例1](2)化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)．[深化探究]通过求下列式子的值，你能找到什么规律，还能列出多少个这种特殊的角？已知cosπ6－θ＝a(|a|≤

1)，求cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值．提示：由题意，知cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a，sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a.

∴cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.此题易知5π6＋θ＋π6－θ＝π，2π3－θ－π6－θ＝π2.在条件求值问题中，当已知中的角与结论中的角不同时，要注意这两个角的和或差与π2，π，3π2，2π之间的关

系，若存在关系，可利用诱导公式整体代换．与π2有关的特殊角为π3－α与π6＋α，π4－α与π4＋α，5π6－α与π3－α，3π4＋α与π4＋α等．与π有关的特殊角为3π4＋α与α－π4等．[方法技巧]1．求值问题中角的转化方法[方法技巧]

2．用诱导公式进行化简的要求三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单：(1)化简后项数尽可能的少．(2)函数的种类尽可能的少．(3)分母不含三角函数的符号．(4)能求值的一定要求值．(5)含

有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．[变式训练]1．已知角α是第四象限角，且满足sin3π2＋α－3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)＝()A.3B．－3C.33D．－33解析：由sin3

π2＋α－3cos(α－π)＝1，得－cosα＋3cosα＝1，即cosα＝12.因为角α是第四象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－32.所以tan(π－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝3.答案：A2．若cosα＋π6

＝45，则sinα－π3＝()A.45B．35C．－35D．－45解析：∵cosα＋π6＝45，∴sinα－π3＝sinα＋π6－π2＝－cosα＋π6＝－45.答案：D3．已知cos31°＝m，则sin239

°tan149°的值是()A.1－m2mB．1－m2C．－1－m2mD．－1－m2解析：sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°(－tan31°)＝sin31°＝1－m2.答案：B题型二利用诱导公式证明恒等式[典例2]

已知tan(3π＋α)＝2，求证：sin(α－3π)＋cos(π－α)＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－sin(－α)＋cos(π＋α)＝2.[证明]由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，则原式左边＝sin(α－π)－cosα＋cosα＋2sinαsinα－cosα＝－sin

α＋2sinαsinα－cosα＝sinαsinα－cosα＝tanαtanα－1＝22－1＝2＝右边，所以原等式成立．[方法技巧]证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开

始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．[变式训练]求证：cos(π－θ)cosθsin3π2－θ－1＋co

s(2π－θ)cos(π＋θ)sinπ2＋θ－sin3π2＋θ＝2sin2θ.证明：左边＝－cosθcosθ(－cosθ－1)＋cosθ－cosθcosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝1－cosθ＋

1＋cosθ(1＋cosθ)(1－cosθ)＝21－cos2θ＝2sin2θ＝右边．所以原等式成立．题型三诱导公式的综合应用[学透用活][典例3]在平面直角坐标系xOy中，角α，β0＜α＜π2＜β＜π的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两

点的纵坐标分别为45，513.(1)求tanβ的值；(2)求sin(α＋π)＋cos(π－β)sinπ2－α＋cosπ2＋β的值．[解](1)因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为

513，所以sinβ＝513.因为π2＜β＜π，所以cosβ＝－1213.所以tanβ＝sinβcosβ＝－512.(2)因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为45，所以sinα＝45.因为0＜α＜π2，所以cosα＝35，故sin(α＋π)＋cos(π－β)sinπ2－α＋cosπ

2＋β＝－sinα－cosβcosα－sinβ＝－45＋121335－513＝47.[方法技巧]诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分

析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形．[变式训练]已知角α的终边经过点P(m,22)，sinα＝223且α为第二象限角．(1)求m，cosα，tanα的值；(2)若tanβ＝2，求sinαcosβ＋3sinπ2＋αsinβcos(π＋α)cos

(－β)－3sinαsinβ的值．解：(1)由题意，m＜0，则由sinα＝22m2＋8＝223，解得m＝－1.∴cosα＝－1(－1)2＋(22)2＝－13，tanα＝－22.(2)由(1)知，tanα＝－22，又tan

β＝2，∴sinαcosβ＋3sinπ2＋αsinβcos(π＋α)cos(－β)－3sinαsinβ＝sinαcosβ＋3cosαsinβ－cosαcosβ－3sinαsinβ＝tanα＋3tanβ－1－3tanαtanβ＝－22＋32－

1－3×(－22)×2＝211.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．小明在解“已知角α终边上一点P(－4,3)，求cosπ2＋αsin(－π－α)cos11π2－αsin9π2＋α的值”的过程如下：解：∵tanα＝yx＝－34，∴原式＝－s

inα·[－sin(π＋α)]cos5π＋π2－αsin4π＋π2＋α＝－sinα·sinαcosπ2－α·sinπ2＋α＝－sinα·sinαsinα·cos

α＝－tanα＝34.你认为小明的解题过程正确吗？若不正确，请分析错在哪里，并给出正确的解题过程．提示：不正确．在化简cos11π2－α时出错，容易化简成cos11π2－α＝cos5π＋π2－α＝cosπ2

－α＝sinα从而得出错解．正解：∵tanα＝yx＝－34，∴原式＝－sinα·[－sin(π＋α)]cos6π－π2－αsin4π＋π2＋α＝－sinα·sinαcos－π2－α·sinπ2＋α＝－sinα·sinαcosπ2＋α·cosα＝－sin

α·sinα－sinα·cosα＝tanα＝－34.二、应用性——强调学以致用2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，求

P的坐标．[析题建模]解：如图所示，由题意知弧PB的长度＝OB＝2.因为圆的半径为1，所以∠PAB＝2，∠DAP＝2－π2.所以在三角形PAD中，DA＝APcos∠DAP＝cos2－π2＝sin2，DP＝APsin∠DAP＝sin2

－π2＝－cos2，所以OC＝OB－CB＝OB－DA＝2－sin2，PC＝PD＋DC＝1－cos2，所以点P的坐标为(2－sin2,1－cos2)．三、创新性——强调创新意识和创新思维3．(1)已知f(sinx)＝cosx，求f(cosx)；(2)已知f(sinx)＝cos17x，求f(co

sx)；(3)请同学们试探究以下式子成立的条件．①对于怎样的整数k，能由f(sinx)＝coskx推出f(cosx)＝sinkx成立？说明理由．②对于怎样的整数k，能由f(cosx)＝coskx推出f

(sinx)＝sinkx成立？说明理由．③对于怎样的整数k，能由f(sinx)＝sinkx推出f(cosx)＝coskx成立？说明理由．解：(1)∵f(sinx)＝cosx，∴f(cosx)＝fsinπ2－x＝cosπ2－x＝sinx.(2)∵f(sin

x)＝cos17x，∴f(cosx)＝fsinπ2－x＝cos17π2－x＝cos17π2－17x＝sin17x.(3)①由f(cosx)＝fsinπ2－x＝coskπ2－x＝coskπ2－kx＝sinπ2－kπ2＋kx＝sinkx，k∈Z.得π2－kπ2＋kx＝kx＋2n

π，n∈Z，解得k＝1－4n，n∈Z.②f(cosx)＝coskx(k∈Z)，则f(sinx)＝fcosπ2－x＝coskπ2－x＝coskπ2－kx＝cos(k－

1)π2＋π2－kx＝cosπ2－kx＝sinkx成立，则(k－1)π2＝2nπ，n∈Z，即为k＝4n＋1，n∈Z.③f(cosx)＝fsinπ2－x＝sinkπ2－x＝sinkπ2－kx＝－s

inkx，k＝4n，n∈Z，coskx，k＝4n＋1，n∈Z，sinkx，k＝4n＋2，n∈Z，－coskx，k＝4n＋3，n∈Z.故f(cosx)＝coskx成立的条件是k＝4n＋1，n∈Z.谢谢观看