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5.3.1 诱导公式 诱导公式二、三、四(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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【文档说明】5.3.1 诱导公式 诱导公式二、三、四(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册).pptx,共(35)页,1.205 MB,由飞向未来上传

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以下为本文档部分文字说明:

5.3.1诱导公式诱导公式二、三、四5.3诱导公式第一课时诱导公式二、三、四1.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式二~四.2.能够准确记忆诱导公式二~四.掌握诱导公式二~四并能灵活应用.3.借助公式进行运算,培养学生数学运算的核心素养.通过公式的变形进行化简,提升学生逻辑推理的核心素养

.(一)教材梳理填空1.诱导公式二(1)角π+α与角α的终边关于_____对称,如图所示.(2)公式:sin(π+α)=________,cos(π+α)=________,tan(π+α)=______.原点-sinα-cosαtanα2.诱导公式三(1)角-α与角α的终边关于__

轴对称,如图所示.(2)公式:sin(-α)=_______,cos(-α)=______,tan(-α)=________.3.诱导公式四(1)角π-α与角α的终边关于__轴对称,如图所示.(2)公

式:sin(π-α)=_____,cos(π-α)=_______,tan(π-α)=_______.-sinαcosα-tanαsinα-cosα-tanαxy[思考]在△ABC中,你认为sinA与sin(B+C),cosA与cos(B+C)之间有什么关系?提示:由A+B+C=π,得A=π-(

B+C),故sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C),cosA=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C).(二)基本知能小试1.判断正误(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.()(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角.()(3)由公式三知cos

[-(α-β)]=-cos(α-β).()答案:(1)√(2)×(3)×2.若sin(π+α)=13,则sinα等于()A.13B.-13C.3D.-3解析:sin(π+α)=-sinα=13,所以s

inα=-13.答案:B3.(多选)如果α,β满足α+β=π,那么下列式子中正确的是()A.sinα=sinβB.sinα=-sinβC.cosα=-cosβD.tanα=-tanβ解析:因为α+β=π,所以sin

α=sin(π-β)=sinβ,故A正确,B错误;cosα=cos(π-β)=-cosβ,故C正确;tanα=tan(π-β)=-tanβ,故D正确.答案:ACD4.tan-4π3=________.解析:tan-4π3=tan

-2π+2π3=tan2π3=tanπ-π3=-tanπ3=-3.答案:-3题型一直接应用公式求值[学透用活]对诱导公式一~四的理解(1)在角度制和弧度制下,公式都成立.(2)公式中

的角α可以是任意角,其形式也不固定,可以是单角也可以是复角.如sin[π-(A+B)]=sin(A+B),应用时要注意整体把握.(3)公式中的角α可以是任意角,但对于正切函数而言,公式成立是以正切函数有

意义为前提条件的.(4)公式一~四的记忆口诀和说明:①口诀:函数名不变,符号看象限.②说明:如[典例1]求下列三角函数值:(1)sin(-1200°);(2)tan945°;(3)cos119π6.[解](1)sin(-1200°)=-sin1200°=-sin(3×360°+120°)=-

sin120°=-sin(180°-60°)=-sin60°=-32.(2)tan945°=tan(2×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1.(3)cos119π6=cos20π-π6=cos-π6=

cosπ6=32.[方法技巧]利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[变式训练]求下列各式的值:(1)tan3π4+cos-55π6+sin11π6;(2)cos(-120°)sin(-150°)+tan855°;(3)sin4π3·cos19π

6·tan21π4.解:(1)原式=tanπ-π4+cos55π6+sin2π-π6=-tanπ4+cos4×2π+7π6-sinπ6=-1+cos7π6-12=-1+cosπ+π6-12=-32-cosπ6=-3

2-32.(2)原式=cos120°(-sin150°)+tan855°=-cos(180°-60°)sin(180°-30°)+tan(135°+2×360°)=cos60°sin30°+tan135°=cos60°sin30°+tan(

180°-45°)=cos60°sin30°-tan45°=12×12-1=-34.(3)原式=sin4π3·cos2π+7π6·tan4π+5π4=sin4π3·cos7π6·tan5π4=sinπ+

π3·cosπ+π6·tanπ+π4=-sinπ3·-cosπ6·tanπ4=-32×-32×1=34.题型二条件求值[学透用活][典例2](1)已知sin(α-360°)-cos(180°-α)=m,则sin(180°+α)·

cos(180°-α)等于()A.m2-12B.m2+12C.1-m22D.-m2+12(2)已知cos(α-75°)=-13,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.[解析](1)选A∵sin(α-360°)-cos(180°-α)=sinα+cosα=m,∴sin(

180°+α)cos(180°-α)=sinαcosα=(sinα+cosα)2-12=m2-12.(2)∵cos(α-75°)=-13<0,且α为第四象限角,∴sin(α-75°)=-1-cos2(α-75°

)=-1--132=-223,∴sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]=-sin(α-75°)=223.[方法技巧]解决条件求值问题的两技巧[提醒]设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.[变式训练]1.[变设问]本例(2)条件不变,求cos(255°-

α)的值.解:cos(255°-α)=cos[180°-(α-75°)]=-cos(α-75°)=13.2.[变条件]将本例(2)的条件“cos(α-75°)=-13”改为“tan(α-75°)=-5”,其他条件不变,结果又如何?解:因为tan(α-75°)=-5<0,且α为第四象限角,所

以α-75°是第四象限角.由sin2(α-75°)+cos2(α-75°)=1,sin(α-75°)cos(α-75°)=-5,解得sin(α-75°)=-52626,cos(α-75°)=2626或sin(α-75°)=526

26,cos(α-75°)=-2626(舍).所以sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]=-sin(α-75°)=52626.题型三化简求值问题[探究发现](1)利用诱导公式化简sin(kπ+α)(其中k∈Z

)时,化简结果与k是否有关?提示:有关.因为k是奇数还是偶数不确定.当k是奇数时,即k=2n+1(n∈Z),sin(kπ+α)=sin(π+α)=-sinα;当k是偶数时,即k=2n(n∈Z),sin(kπ+α)=sinα.(2)利用诱导公式化简tan(kπ+α

)(其中k∈Z)时,化简结果与k是否有关?提示:无关.根据公式tan(π+α)=tanα可知tan(kπ+α)=tanα.(其中k∈Z)[学透用活][典例3]化简tan(2π-θ)sin(-2π-θ)cos(6π-θ)cos(θ-π)s

in(5π+θ).[解]原式=tan(-θ)sin(-θ)cos(-θ)cos(π-θ)·sin(π+θ)=(-tanθ)(-sinθ)cosθ-cosθ·(-sinθ)=tanθ.[方法技巧]三角函数式化简的常用方法(1)合理转化:①将角化成2kπ±α,kπ±α,k∈Z的形式.②依据所给式子合

理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.(3)注意“1”的应用:1=sin2α+cos2α=tanπ4.[变式训练]1.化简sin(1440°+α)·cos(α-1080°)cos(-180°-α)·sin(-α-180°).解

:原式=sin(4×360°+α)cos(α-3×360°)cos(180°+α)[-sin(180°+α)]=sinα·cosα-cosα·sinα=-1.2.化简sin(540°+α)·cos(-α)tan(α-180°).解:原式=sin(360°+180°+α)

·cosα-tan(180°-α)=sin(180°+α)·cosαtanα=-sinα·cosαsinαcosα=-cos2α.一、综合性——强调融会贯通1.考察下列化简过程,判断是否正确,若不正确,找出错误原因.化简cos4n+

14π+x+cos4n-14π-x(n∈Z).解:原式=cosnπ+π4+x+cosnπ-π4-x=cosπ4+x+cos-π4+x=2cosπ4

+x.提示:错误.原因是没有对n进行分类讨论,cos(kπ+α)(k∈Z)=cosα不一定成立,关键是对公式一理解不透彻.正解:原式=cosnπ+π4+x+cosnπ-π4-x.①当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时,原式=cos

(2k+1)π+π4+x+cos(2k+1)π-π4-x=-cosπ4+x-cos-π4-x=-2cosπ4+x;②当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,原式=cos2kπ+π4+x+cos2kπ-π4-x=cos

π4+x+cos-π4-x=2cosπ4+x.故原式=-2cosπ4+x,n为奇数,2cosπ4+x,n为偶数.二、应用性——强调学以致用2.在△ABC中,若sin(2

π-A)=-2sin(π-B),3cosA=-2cos(π-B),求△ABC的三个内角.[析题建模]解:由条件得sinA=2sinB,3cosA=2cosB,两式平方相加得2cos2A=1,cosA=±22,又A∈(0,π),∴A=π4或34π.当A=34π时,cosB=-

32<0,∴B∈π2,π,∴A,B均为钝角,不合题意,舍去.∴A=π4,cosB=32,∴B=π6,∴C=712π.综上所述,A=π4,B=π6,C=712π.三、创新性——强调创新意识和创新思维3.对于任意角α有sin

(nπ+α)=(-1)nsinα(n∈Z),具体推导过程如下:当n=2k(k∈Z)时,由诱导公式有sin(nπ+α)=sin(2kπ+α)=sinα=(-1)2ksinα(k∈Z);当n=2k+1(k∈Z)时,由诱导公式有si

n(nπ+α)=sin(2kπ+π+α)=-sinα=(-1)2k+1sinα(k∈Z).综上,对任意角α有sin(nπ+α)=(-1)nsinα(n∈Z).根据以上推导过程你能推导下列各式的结果吗?(1)cos(nπ+α

)=____________.(2)sin(nπ-α)=____________.(3)cos(nπ-α)=____________.解析:(1)cos(nπ+α)=(-1)ncosα(n∈Z).①当n=2k(k∈Z)时,由诱导公式有cos(

nπ+α)=cos(2kπ+α)=cosα=(-1)2kcosα(k∈Z);②当n=2k+1(k∈Z)时,由诱导公式有cos(nπ+α)=cos(2kπ+π+α)=-cosα=(-1)2k+1cosα(k∈Z).综上,对任意角

α有cos(nπ+α)=(-1)ncosα(n∈Z).(2)sin(nπ-α)=(-1)n-1sinα(n∈Z).①当n=2k(k∈Z)时,由诱导公式有sin(nπ-α)=sin(2kπ-α)=-sinα=(-1)2k-1sinα(k∈Z);②当n=2k+1(k∈Z)时,由诱导公式有sin(n

π-α)=sin(2kπ+π-α)=sinα=(-1)2ksinα(k∈Z).综上,对任意角α有sin(nπ-α)=(-1)n-1sinα(n∈Z).(3)cos(nπ-α)=(-1)ncosα(n∈Z).①当n=2k(k∈Z)时,由诱导公式有cos(nπ-α)

=cos(2kπ-α)=cosα=(-1)2kcosα(k∈Z);②当n=2k+1(k∈Z)时,由诱导公式有cos(nπ-α)=cos(2kπ+π-α)=-cosα=(-1)2k+1cosα(k∈Z).综上,对任意角α有cos(nπ-α)=(-1)ncosα(n∈Z).答案:

(1)(-1)ncosα(n∈Z)(2)(-1)n-1sinα(n∈Z)(3)(-1)ncosα(n∈Z)谢谢观看

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