【文档说明】5.3.1 诱导公式 诱导公式二、三、四（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(35)页，1.205 MB，由飞向未来上传

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5.3.1诱导公式诱导公式二、三、四5.3诱导公式第一课时诱导公式二、三、四1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式二～四．2．能够准确记忆诱导公式二～四．掌握诱导公式二～四并能灵活应用．3．借助公式进行运算，培养学生数学运算的核心素养．通过公式的变形进行化简

，提升学生逻辑推理的核心素养．(一)教材梳理填空1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于_____对称，如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝______.原点－sinα－c

osαtanα2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于__轴对称，如图所示．(2)公式：sin(－α)＝_______，cos(－α)＝______，tan(－α)＝________.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于__轴对称，如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝____

_，cos(π－α)＝_______，tan(π－α)＝_______.－sinαcosα－tanαsinα－cosα－tanαxy[思考]在△ABC中，你认为sinA与sin(B＋C)，cosA与co

s(B＋C)之间有什么关系？提示：由A＋B＋C＝π，得A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．(二)基本知能小试1．判断正误(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三

角函数值．()(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．()(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()答案：(1)√(2)×(3)×2．若sin(π＋α)＝13，则sinα等于()A.13B．－13C．3D．－3解析：sin(π＋α)＝－sinα＝13，所以sinα＝－13.答案

：B3．(多选)如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的是()A．sinα＝sinβB．sinα＝－sinβC．cosα＝－cosβD．tanα＝－tanβ解析：因为α＋β＝π，所以sinα＝si

n(π－β)＝sinβ，故A正确，B错误；cosα＝cos(π－β)＝－cosβ，故C正确；tanα＝tan(π－β)＝－tanβ，故D正确．答案：ACD4．tan－4π3＝________.解析：tan－4π3＝tan－2π＋

2π3＝tan2π3＝tanπ－π3＝－tanπ3＝－3.答案：－3题型一直接应用公式求值[学透用活]对诱导公式一～四的理解(1)在角度制和弧度制下，公式都成立．(2)公式中的角α可以是任意角，其形式也不

固定，可以是单角也可以是复角．如sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，应用时要注意整体把握．(3)公式中的角α可以是任意角，但对于正切函数而言，公式成立是以正切函数有意义为前提条件的．(4)公式一～四的记忆口诀和说明：①口诀：函数名不变，符号看象

限．②说明：如[典例1]求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos119π6.[解](1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin

60°＝－32.(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.(3)cos119π6＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.[方法技巧]利用诱导公

式解决给角求值问题的步骤[变式训练]求下列各式的值：(1)tan3π4＋cos－55π6＋sin11π6；(2)cos(－120°)sin(－150°)＋tan855°；(3)sin4π3·cos19π6·

tan21π4.解：(1)原式＝tanπ－π4＋cos55π6＋sin2π－π6＝－tanπ4＋cos4×2π＋7π6－sinπ6＝－1＋cos7π6－12＝－1＋cosπ＋π6－12＝－32－cosπ6＝－32－32.(2)原式＝cos120°(－sin150°)＋tan855°

＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝cos60°sin30°＋tan135°＝cos60°sin30°＋tan(180°－45°)＝cos60°

sin30°－tan45°＝12×12－1＝－34.(3)原式＝sin4π3·cos2π＋7π6·tan4π＋5π4＝sin4π3·cos7π6·tan5π4＝sinπ＋π3·cosπ＋π6·tanπ＋π4＝－sinπ3·－cosπ6·tanπ4＝－32×－32×1＝34.题型二

条件求值[学透用活][典例2](1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A.m2－12B．m2＋12C.1－m22D．－m2＋12(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)

的值．[解析](1)选A∵sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，∴sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝(sinα＋cosα)2－12＝m2－12.(2)∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－

75°)＝－1－cos2(α－75°)＝－1－－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.[方法技巧]解决条件求值问题的两技巧[提醒]设法消除已知式

与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．[变式训练]1．[变设问]本例(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．解：cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝13.2．[变条件]将

本例(2)的条件“cos(α－75°)＝－13”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？解：因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，所以α－75°是第四象限角．由sin2(α－75°)＋cos2(α－75°)＝1，sin(α－75°)cos(α－75°)＝

－5，解得sin(α－75°)＝－52626，cos(α－75°)＝2626或sin(α－75°)＝52626，cos(α－75°)＝－2626(舍)．所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)

＝52626.题型三化简求值问题[探究发现](1)利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)

＝sin(π＋α)＝－sinα；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.(2)利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tanα可知tan(kπ＋α)

＝tanα.(其中k∈Z)[学透用活][典例3]化简tan(2π－θ)sin(－2π－θ)cos(6π－θ)cos(θ－π)sin(5π＋θ).[解]原式＝tan(－θ)sin(－θ)cos(－θ)cos(π－θ)·sin(π＋θ)＝(－ta

nθ)(－sinθ)cosθ－cosθ·(－sinθ)＝tanθ.[方法技巧]三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注

意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.[变式训练]1．化简sin(1440°＋α)·cos(α－1080°)cos(－180°－α)·sin(－α－180°).解：原式＝sin(4×360°＋α)cos(α－3×360°)cos(180°＋α)[

－sin(180°＋α)]＝sinα·cosα－cosα·sinα＝－1.2．化简sin(540°＋α)·cos(－α)tan(α－180°).解：原式＝sin(360°＋180°＋α)·cosα－tan(180°－α)＝sin(180°＋α)·cosαtanα＝－sinα·cosαsi

nαcosα＝－cos2α.一、综合性——强调融会贯通1．考察下列化简过程，判断是否正确，若不正确，找出错误原因．化简cos4n＋14π＋x＋cos4n－14π－x(n

∈Z)．解：原式＝cosnπ＋π4＋x＋cosnπ－π4－x＝cosπ4＋x＋cos－π4＋x＝2cosπ4＋x.提示：错误．原因是没有对n

进行分类讨论，cos(kπ＋α)(k∈Z)＝cosα不一定成立，关键是对公式一理解不透彻．正解：原式＝cosnπ＋π4＋x＋cosnπ－π4－x.①当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos(2k＋1)π＋π4＋x＋cos(2k＋1

)π－π4－x＝－cosπ4＋x－cos－π4－x＝－2cosπ4＋x；②当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，原式＝cos2kπ＋π4＋x＋cos2kπ－π4－x＝cosπ4＋x＋cos－π4－x＝2cosπ4＋x.故原式＝－

2cosπ4＋x，n为奇数，2cosπ4＋x，n为偶数.二、应用性——强调学以致用2．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求

△ABC的三个内角．[析题建模]解：由条件得sinA＝2sinB，3cosA＝2cosB，两式平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±22，又A∈(0，π)，∴A＝π4或34π.当A＝34π时，cosB＝－32＜0，∴B∈π2，π，∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．∴A＝π4，co

sB＝32，∴B＝π6，∴C＝712π.综上所述，A＝π4，B＝π6，C＝712π.三、创新性——强调创新意识和创新思维3．对于任意角α有sin(nπ＋α)＝(－1)nsinα(n∈Z)，具体推导过程如下：当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有sin(nπ＋α)＝sin(2kπ＋α)＝sin

α＝(－1)2ksinα(k∈Z)；当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有sin(nπ＋α)＝sin(2kπ＋π＋α)＝－sinα＝(－1)2k＋1sinα(k∈Z)．综上，对任意角α有sin(nπ＋α)＝(－1)nsinα(n∈Z)．根据以上推导过程你能推导下列各式的结果吗

？(1)cos(nπ＋α)＝____________.(2)sin(nπ－α)＝____________.(3)cos(nπ－α)＝____________.解析：(1)cos(nπ＋α)＝(－1)ncosα(n∈Z)．①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有cos(nπ＋α)＝cos(

2kπ＋α)＝cosα＝(－1)2kcosα(k∈Z)；②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有cos(nπ＋α)＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cosα＝(－1)2k＋1cosα(k∈Z)．综上，对任意角α有cos(nπ＋α)＝(－1)ncosα(n

∈Z)．(2)sin(nπ－α)＝(－1)n－1sinα(n∈Z)．①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有sin(nπ－α)＝sin(2kπ－α)＝－sinα＝(－1)2k－1sinα(k∈Z)；②当n＝2k＋1(

k∈Z)时，由诱导公式有sin(nπ－α)＝sin(2kπ＋π－α)＝sinα＝(－1)2ksinα(k∈Z)．综上，对任意角α有sin(nπ－α)＝(－1)n－1sinα(n∈Z)．(3)cos(nπ－α)＝(－1)ncosα(n∈Z)．①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有

cos(nπ－α)＝cos(2kπ－α)＝cosα＝(－1)2kcosα(k∈Z)；②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有cos(nπ－α)＝cos(2kπ＋π－α)＝－cosα＝(－1)2k＋1cosα(k∈Z)．综上，对任意角α有cos(nπ－α

)＝(－1)ncosα(n∈Z)．答案：(1)(－1)ncosα(n∈Z)(2)(－1)n－1sinα(n∈Z)(3)(－1)ncosα(n∈Z)谢谢观看