【文档说明】5.2.2 同角三角函数的基本关系（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(42)页，1.109 MB，由飞向未来上传

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5.2.2同角三角函数的基本关系5．2.2同角三角函数的基本关系1．能通过三角函数的定义，推导出同角三角函数的基本关系式．理解同角三角函数的基本关系．2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明．3．通过同角三角函数的基本关系进行运算，提升学生数学运算的核心

素养．借助同角三角函数的基本关系对数学式子进行证明，培养学生的逻辑推理的核心素养．(一)教材梳理填空同角三角函数的基本关系M语言描述平方关系sin2α＋cos2α＝____同一个角α的正弦、余弦的平方和等于商数关系sinαcosα＝___

__α≠kπ＋π2，k∈Z同一个角α的正弦、余弦的商等于角_________11tanαα的正切(二)基本知能小试1．判断正误(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．()(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．()答案：(1)√(2)×(二)基本知能小

试1．判断正误(3)因为sin294π＋cos2π4＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．()(4)对任意角α，sinα＝cosα·tanα都成立．()答案：(3)×(4)×2．已知α∈0，π2，sinα＝35，则cosα＝()A.45B．－45C．－1

7D．35解析：因为α∈0，π2，所以cosα>0，所以cosα＝1－sin2α＝1－352＝45.答案：A3．化简1－sin23π5的结果是()A．cos3π5B．sin3π5C．－cos3π5D

．－sin3π5解析：因为3π5是第二象限角，所以cos3π5＜0，所以1－sin23π5＝cos23π5＝|cos3π5|＝－cos3π5.答案：C4．已知3sinα＋cosα＝0，则tanα＝________.解析：由题意得：3sinα＝－cosα≠0，

∴tanα＝－13.答案：－13题型一利用同角三角函数的基本关系求值[学透用活]对同角三角函数的基本关系式的理解(1)同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，而sin2α＋cos2β＝1不一定成

立．“同角”与角的表示形式无关，如sin2α2＋cos2α2＝1成立，这里的同角是指α2.(2)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝

sinαcosα仅对α≠π2＋kπ(k∈Z)成立．[典例1](1)若sinα＝－45，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值.(2)若tanα＝－158，求sinα的值．[解](1)∵sinα＝－45，α是第三象限角，∴c

osα＝－1－sin2α＝－35，tanα＝sinαcosα＝－45×－53＝43.(2)∵tanα＝－158<0，∴α是第二、四象限角．由tanα＝sinαcosα＝－158，sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α

＝15172.当α是第二象限角时，sinα＝1517；当α是第四象限角时，sinα＝－1517.[方法技巧]求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限；(2)对角

所在象限进行分类讨论；(3)利用两个基本关系式求出其他三角函数值；(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值．[变式训练]1．已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________.解析：

由已知得sinαcosα＝2，①sin2α＋cos2α＝1，②由①得sinα＝2cosα，代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝15，又α∈π，3π2，所以cosα＜0，所以cosα＝－55.答案：－552．已知cosα＝－45，求sinα，tanα的值．解：∵cosα＝－45

＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝1－cos2α＝1－－452＝35，tanα＝sinαcosα＝－34；如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－1－cos2α＝－1－－452＝－35，tanα＝sinαcosα＝34.题型二同角三角函

数基本关系式的灵活运用[学透用活]sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－co

sθ)2＝2；(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ与sinθcosθ三个式子，可以由其中一个，求出另外两个的值．[典例2](1)已知sinα＋cosα＝713，α∈(0，π)，则tanα＝________.[解析](

1)法一：构建方程组因为sinα＋cosα＝713，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝49169，即2sinαcosα＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝(sinα－cosα)2＝1－2sinα

cosα＝1713.②由①②解得sinα＝1213，cosα＝－513，所以tanα＝sinαcosα＝－125.法二：弦化切同法一求出sinαcosα＝－60169，即sinαcosαsin2α＋cos2α＝－60169，分子、分母同除以cos2α，得tanαtan2α＋1＝－60169，

整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－512或tanα＝－125.由sinα＋cosα＝713＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－125.答案：－125[典例2](2)已知sinα＋co

sαsinα－cosα＝2，计算下列各式的值．①3sinα－cosα2sinα＋3cosα；②sin2α－2sinαcosα＋1.[解析](2)由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，化简得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一：换元原式＝3×

3cosα－cosα2×3cosα＋3cosα＝8cosα9cosα＝89.法二：弦化切原式＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.②原式＝sin2α－2sinαcosαsin2α＋cos2α＋1＝tan2α－2tanαtan2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋

1＝1310.[深化探究]sinθ＋cosθ或sinθ－cosθ的符号怎样判断？提示：(1)sinθ－cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0；当θ的终边落在直线y＝x的

上半平面区域内时，sinθ＞cosθ，即sinθ－cosθ＞0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sinθ＜cosθ，即sinθ－cosθ＜0.如图①所示．（转下页）(2)sinθ＋cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝－x上时

，sinθ＝－cosθ，即sinθ＋cosθ＝0；当θ的终边落在直线y＝－x的上半平面区域内时，sinθ＞－cosθ，即sinθ＋cosθ＞0；当θ的终边落在直线y＝－x的下半平面区域内时，sinθ＜－cosθ，即sinθ＋cosθ＜0.如图②所示．[方法

技巧]已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1

，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．[变式训练]1．已知0<α<π，sinα－cosα＝12，求tanα的值．解：法一：由题有sinα－cosα＝12，sin

2α＋cos2α＝1，解得cosα＝±7－14，故cosα＝7－14，sinα＝7＋14或cosα＝－7－14，sinα＝1－74.因为0<α<π，即sinα>0，所以第二组解舍去，于是tanα＝4＋73.法二：将sinα－co

sα＝12两边平方得，1－2sinαcosα＝14，即2sinαcosα＝34，则1＋2sinαcosα＝74＝(sinα＋cosα)2，由2sinαcosα＝34>0，可知0<α<π2，则sinα＋cos

α＝72，于是sinα＋cosα＝72，sinα－cosα＝12，得出sinα＝1＋74，cosα＝7－14，所以tanα＝4＋73.2．已知0<α<π，sinα·cosα＝－1225，求tanα的值．解：由0<α<π，sinα·cosα＜0知，sinα＞0，

cosα＜0.所以sinα－cosα＝(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝75.sinα＋cosα＝±(sinα＋cosα)2＝±1＋2sinαcosα＝±1－2425＝±15.所以sinα－cosα＝75，

sinα＋cosα＝15或sinα－cosα＝75，sinα＋cosα＝－15，解得sinα＝45，cosα＝－35或sinα＝35，cosα＝－45.所以tanα＝－43或tanα＝－34.3．已知tanθ＝3，求值：(1)sinθ－2cosθ3sinθ＋cosθ；(2)sin2θ＋

3sinθcosθ－2cos2θ.解：(1)∵tanθ＝3，∴sinθ－2cosθ3sinθ＋cosθ＝tanθ－23tanθ＋1＝3－23×3＋1＝110.(2)sin2θ＋3sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋3sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋

3tanθ－2tan2θ＋1＝9＋9－29＋1＝85.题型三应用同角三角函数关系式化简与证明[学透用活][典例3](1)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°.(2)求证：1－2sin2xcos2xcos2

2x－sin22x＝1－tan2x1＋tan2x.[解](1)∵sin130°＞0，cos130°＜0，∴原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos21

30°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.(2)证明：∵左边＝cos22x＋sin22x－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝(cos2x－sin2x)

2(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)＝cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝1－tan2x1＋tan2x＝右边，∴原等式成立．[方法技巧]1．三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为

简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．[方法技巧]2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循

的原则(1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等．(2)原则：由繁到简、变异为同．[变式训练]1．已知α是第一象限角，证明：1－cosα1＋cosα－1＋cosα1－cosα＝－2tanθ.证明：因为α是第一象限角，所以0＜sinα＜1,0＜cosα＜1，所以原式＝(1－cosα)21－c

os2α－(1＋cosα)21－cos2α＝(1－cosα)2sin2α－(1＋cosα)2sin2α＝|1－cosαsinα|－|1＋cosαsinα|＝1－cosαsinα－1＋cosαsinα＝－2cosαsinα＝－2tanα.2．化简sinα1－cosα

·tanα－sinαtanα＋sinα.解：原式＝sinα1－cosα·sinαcosα－sinαsinαcosα＋sinα＝sinα1－cosα·1－cosα1＋cosα＝sinα1－cosα·(1－cosα)21－cos2α＝sinα1－cosα·1－

cosα|sinα|＝±1.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．甲、乙两同学分别解“若sinA＝35，求10sinA＋45cosA＋2的值”的过程如下：甲同学：由题意知sinA＝35，由同角三角函数关系得cosA＝1－sin2A＝1－925＝45，所以10sin

A＋45cosA＋2＝10×35＋45×45＋2＝106＝53.乙同学：由题意知sinA＝35，由同角三角函数关系得cosA＝－1－sin2A＝－1－925＝－45，所以10sinA＋45cosA＋2＝10×35＋4－5×45＋2＝10－2＝－5.试判断谁错，错在何处？

请你写出正确的解题过程．提示：甲乙两同学解答都不对．解答本题时由同角三角函数的平方关系直接得到cosA＝45或－45，造成漏解．正解：由题意知sinA＝35>0，所以角A的终边在第一象限或第二象限，当角A的终边在第一象限时，cosA＝1－sin2A＝1－925＝45，

所以10sinA＋45cosA＋2＝10×35＋45×45＋2＝106＝53；当角A的终边在第二象限时，cosA＝－1－sin2A＝－1－925＝－45，所以10sinA＋45cosA＋2＝10×35＋4－5×45＋2＝10－2＝－5.故10sinA＋45cosA＋2的值为53或－5.二、创新

性——强调创新意识和创新思维2．[选自人教B版新教材]除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的其他三角函数．事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝x2＋y2，则r＞0，此时(1)称rx为α的正割，记作secα

，即secα＝rx；(2)称ry为α的余割，记作cscα，即cscα＝ry；(3)称xy为α的余切，记作cotα，即cotα＝xy.（转下页）由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，secα没有意义；当α的终边在x轴上时，cotα，cscα没有意义．正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定

义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即secα＝1cosα，cscα＝1sinα，cotα＝1tanα.另外，由于tan2α＋1＝sin2αcos2α＋1＝sin2

α＋cos2αcos2α＝1cos2α＝sec2α，因此tan2α＋1＝sec2α.类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α.习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之

积为1，即cosαsecα＝1，sinαcscα＝1，tanαcotα＝1.每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．你能从图中发现更多的关系吗，尝试一下吧！谢谢观看