【文档说明】5.2.1 三角函数的概念（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(37)页，1.729 MB，由飞向未来上传

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5.2.1三角函数的概念5.2三角函数的概念5．2.1三角函数的概念1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2．掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3．掌握诱导公式一并会应用．4．通过对三角函数的概念的

学习，培养学生数学抽象的核心素养．借助诱导公式一的应用，提升学生数学运算的核心素养．知识点一三角函数的定义(一)教材梳理填空1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)定义正弦函数把点P的纵坐标y叫做α的正

弦函数，记作sinα，即__＝____余弦函数把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即__＝_____正切函数把点P的纵坐标与横坐标的比值__叫做α的正切，记作tanα，即yx＝__________．以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数称为正切函数三角

函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数sinαcosαtanα(x≠0)yxyx[思考]对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？提示：根据相

似三角形的知识，只要P不与原点重合，三角函数的结果不会随点P在α终边上的位置的改变而改变．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：_____象限正，_____象限负；余弦：_____象限正，_____象限负；正切：_____象限正，_____象限负．简记口诀：

一全正、二正弦、三正切、四余弦．一二三四一四二三一三二四[思考]三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示：由α的终边所在的象限决定．(二)基本知能小试1．判断正误(1)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0

.()(2)若sinα＞0，则α是第一或第二象限角．()(3)对于任意角α，sinα，cosα，tanα都有意义．()答案：(1)√(2)×(3)×2．若sinα<0，tanα>0，则α在()A．第一象限B．第二象限C．第三象

限D．第四象限解析：由sinα<0可知α在第三或第四象限，由tanα>0可知α在第一或第三象限，综上，α在第三象限．答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P55，－255，则sinα＋cosα＝()A.55B．－55C.255D．－255解析：由三角函数的定义知sinα＝－

255，cosα＝55，所以sinα＋cosα＝－255＋55＝－55.答案：B知识点二诱导公式一(一)教材梳理填空(1)终边相同的角的同一三角函数的值_____．(2)公式相等1．判断正误(1)若α＝β＋720°，则cosα＝co

sβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()答案：(1)√(2)×（二）基本知能小试2．sin(－315°)的值是()A．－22B．－12C.22D．12解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22.答案：C3．tan253π

＝________.解析：tan253π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝3.答案：3题型一三角函数的定义与应用[探究发现](1)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距

离为r，则sinα，cosα，tanα为何值？提示：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．(2)对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否唯一？提示：角α的终边

在y轴上时，tanα的值无意义，除此之外，其他的角的三角函数值都是唯一确定的．(3)若已知α终边所在的直线方程为y＝kx，则如何求sinα，cosα，tanα的值．提示：可在直线y＝kx所过的两个象限中分别任取线上点(x0，y0)，x0≠0，然后利用sinα＝y

0x20＋y20，cosα＝x0x20＋y20，tanα＝y0x0求解．[学透用活][典例1](1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ＋tanθ的值．(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求si

nα，cosα，tanα的值．[解](1)因为r＝x2＋9，cosθ＝xr，所以1010x＝xx2＋9.又x≠0，所以x＝±1，所以r＝10.又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝3

10＋3010.当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3，则sinθ＋tanθ＝310－3010.(2)直线3x＋y＝0，即y＝－3x经过第二、四象限．在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sinα＝3

2，cosα＝－12，tanα＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r＝12＋(－3)2＝2，所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－3.[方法技巧]利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型(1)若已知角，则只需确定出

该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值；(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx；(3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则si

nα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(r＝x2＋y2)；(4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需对其所在象限进行分类讨论．[变式训练]1．[变条件]若本例(2)中的条件变为“已知角α的终边落在直线y＝2x上”，求sinα，cosα，tanα的值．解：当角α的终边在第

一象限时，在角α的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝12＋22＝5，得sinα＝25＝255，cosα＝15＝55，tanα＝21＝2.当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝(－1)2＋(－2)2＝5，得sinα＝－25＝－255

，cosα＝－15＝－55，tanα＝－2－1＝2.2．已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα.解：因为r＝(－3a)2＋(4a)2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－3

5，所以2sinα＋cosα＝85－35＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝4a－5a＝－45，cosα＝－3a－5a＝35，所以2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.题型二三角函数值符号的运用[学透用活]由三角函数的定义知sinα＝y

r，cosα＝xr，tanα＝yx(r＞0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．[典例2](1)已知点P(si

nθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析](1)选C由点P(sinθ，sinθcosθ)位于第二象限，可得sinθ＜0，sinθcosθ＞0，可得sinθ＜0，cosθ＜0，所以角

θ所在的象限是第三象限．(2)判断下列各式的符号．①sin2018°cos2019°tan2020°；②tan191°－cos191°；③sin2cos3tan4.[解析](2)①∵2018°＝1800°＋218

°＝5×360°＋218°，2019°＝5×360°＋219°，2020°＝5×360°＋220°，∴它们都是第三象限角，∴sin2018°<0，cos2019°<0，tan2020°>0，∴sin2018°cos2019°ta

n2020°>0.②∵191°角是第三象限角，∴tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2c

os3tan4<0.[方法技巧]有关三角函数值符号问题的解题策略(1)已知角α的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的公共部分即角α的终边位置．

注意终边在坐标轴上的特殊情况．(2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨论．[方法技巧](3)对于确定角α是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角α是第几象限角，

它们的公共部分即为所求；对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来解决．[变式训练]1．若三角形的两内角α，β满足sinα·cosβ＜0

，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能解析：三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sinα·cosβ＜0，所以sinα＞0，cos

β＜0，所以角β为钝角，此三角形为钝角三角形．答案：B2．设α是第三象限角，且cosα2＝－cosα2，则α2所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵α是第三象限角，∴2kπ＋π<α

<2kπ＋3π2，k∈Z，∴kπ＋π2<α2<kπ＋3π4，k∈Z，∴α2在第二、四象限．又∵|cosα2|＝－cosα2，∴cosα2<0.∴α2在第二象限．答案：B题型三诱导公式一的应用[学透用活]对诱导公式一的三点说明(1)公式一的实质

是终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏．(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值

转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．[典例3]求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sin7π3cos－23π6＋tan－15π4cos13π3.[解](

1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32.[解](2)原式＝sin2π＋π3cos－4π＋π6＋tan－4π＋π4cos4π＋π3＝sinπ3cosπ6＋tanπ4cosπ3＝

32×32＋1×12＝54.[方法技巧]利用诱导公式一进行化简求值的步骤[变式训练]求下列各式的值：(1)cos253π＋tan－154π；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.解：(1)原式＝cos8π＋π3

＋tan－4π＋π4＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．角α的终边经过点P(x

,4)，且cosα＝x5，求sinα的值．解：点P(x,4)到原点的距离为r＝x2＋16；由cosα＝x5得xx2＋16＝x5，所以x2＋16＝5，即r＝5，所以sinα＝yr＝45.分析以上解题过程，判断是否正确

，若错误，错在何处，并给出正确的解题过程.提示：错误．错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行分类讨论．实际上本题中要分x＝0和x≠0两种情况讨论．正解：点P(x,4)到原点的距离为r＝x2＋16.①当x＝0时，r＝4.由三角函数的定义，有sinα＝

yr＝44＝1；②当x≠0时，由cosα＝x5，得xx2＋16＝x5，所以x2＋16＝5，即r＝5.由三角函数的定义，有sinα＝yr＝45.综上可得，sinα＝45或sinα＝1.二、应用性——强调学以致用2．[好题共享——选自人教B版新教材]将如图(1)所

示的摩天轮抽象成如图(2)所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系．设O到地面的高OT为lm，点P为转轮上任意一点，转轮半径OP为rm．记以OP为终边的角为αrad，点P离地面的高度为hm，试用l，r与α表示h.[析题建模]

理解题意，把文字语言变成数学语言――→以α的终边所在位置分类讨论h的表达式――→数学建模利用三角函数的定义建立l，r，α和h的关系――→得结论解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，则：当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，h＝OT＋MP＝l＋rsinα；当α的终边在第三

、四象限或y轴负半轴上时，因为MP＝－rsinα，此时h＝OT－MP＝l＋rsinα；当α的终边在x轴上时，sinα＝0，此时h＝OT＝l＋rsinα.所以，不管α的终边在何处，都有h＝l＋rsinα.谢谢观看