【文档说明】5.1.2 弧度制（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(38)页，1.128 MB，由飞向未来上传

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5.1.2弧度制5．1.2弧度制1．了解弧度制的概念，掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．2．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．3．通过对弧度制概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养．借助弧度制与角度制的换算，提升学生数学运算的核心素养．知识点一角度制与弧度

制(一)教材梳理填空1．度量角的两种制度定义用___作为单位来度量角的单位制角度制1度的角1度的角等于周角的_____，记作1°定义以_____为单位来度量角的单位制弧度制1弧度的角长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．1弧度

记作1_____弧度度1360半径长rad2．弧度数[思考]比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．3．角度制与弧度制的换算[思考]“角度”与“弧度”有什么区别与联系？提示：(1)区别：①定义不同．②单位不同．弧度制

是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略．③弧度制是十进制，而角度制是六十进制．(2)联系：①不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所对应的弧长这两者的比值有关．②“弧度”与“角度”之

间可以相互转化．4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°___90°120°135°150°___270°360°弧度______π3π2_________π3π2___60°180°0π6π42π

33π45π62π(二)基本知能小试1．(多选)与120°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}B．{α|α＝2kπ＋120°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}D.α|α＝2k

π＋23π，k∈Z解析：与120°角终边相同的角：α＝120°＋k·360°，k∈Z或α＝23π＋2kπ，k∈Z.答案：AD2．下列转化结果错误的是()A．60°化成弧度是π3B．－103π化成度是－600°C．

－150°化成弧度是－76πD．π12化成度是15°解析：对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D，π12＝112×180°＝15°.故C项

错误．答案：C3.7π5rad化为角度是________．解析：7π5rad＝7π5×180π°＝252°.答案：252°知识点二扇形的弧长和面积公式(一)教材梳理填空设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心

角，则(1)弧长公式：l＝___.(2)扇形面积公式：S＝_____＝_____.αR12lR12αR2(二)基本知能小试1．判断正误(1)扇形的半径为1cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝

30(cm)．()(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍．()(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍．()答案：(1)×(2)√(3)×2．半径为4，圆心角为π4的扇形的弧长为()A.π4B．π2C．πD．3π4答案：C3．

半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．解析：由扇形的面积公式可得，此扇形的面积是12×π6×22＝π3.答案：π3题型一角度与弧度的换算[学透用活]角与实数的对应(1)角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立

一种一一对应的关系：即每一个角都有唯一的一个实数(如这个角的度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(如弧度数或角度数等于这个实数的角)与它对应．(2)由于弧度制的单位与实数单位一致，所以能给研究问题带来方便．[解](1)72°＝72×π18

0＝2π5.(2)－300°＝－300×π180＝－5π3.(3)2＝2×180π°＝360π°.(4)－2π9＝－2π9×180π°＝－40°.[典例1]把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[方法技巧

]角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键；(2)方法：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π°＝度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．[变式训练]1．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有_____

___．(用弧度表示)解析：因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，θ＝72°＝25πrad；当k＝1时，θ＝432°＝125πrad，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π，125π.答案：25π，125π2．设α1＝510°，α2＝

－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．解：(1)∵1°＝π180

rad，∴α1＝510°＝510×π180＝176π，α2＝－750°＝－750×π180＝－256π.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．(2)β1＝4π5＝4π5×180°π＝144°.设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360

°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.∴k＝－1或k＝0.∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－11π6＝－11π6×180°π＝－330°.设θ2＝k·360°－33

0°(k∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0或k＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.题型二用弧度制表示角的集合[学透用活][典例2]把下列角化

成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1485°.[解](1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为αα＝2kπ＋2π

3，k∈Z.(2)－1485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为αα＝2kπ＋7π4，k∈Z.[方法技巧]1．弧度制下与角α终边相同的角的表示在

弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形；(2)写出区域边界作为终边时角

的表示；(3)用不等式表示区域范围内的角．（转下页）[方法技巧]3．用弧度表示角的注意点(1)注意角度与弧度不能混用．(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z.(3)求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对k进行适当的赋值．[

变式训练]1．终边落在坐标轴上的角的集合是()A．{α|α＝2kπ，k∈Z}B．α|α＝12kπ，k∈ZC.α|α＝kπ＋π2，k∈ZD．α|α＝12kπ，k∈N解析：终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z}，化成弧度为

αα＝12kπ，k∈Z.答案：B2.如图，用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．解：330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为θ2

kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k∈Z.题型三扇形的弧长与面积公式[探究发现](1)用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？(2)在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注

意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．[学透用活][典例3]已知扇形的周长

为8cm.(1)若该扇形的圆心角为2rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，解得r＝2，l＝4，S＝12lr

＝4(cm2)．(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0,4)，则S＝12lr＝12(8－2r)r＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，当r＝2时，Smax＝4，此时l＝4，圆心角α＝lr＝2.[方法技巧]1．弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略涉及扇形的周长

、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．2．扇形弧长、面积公式的变形运用(1)l＝|α|·r⇒|α|＝lr，r＝l|α|；(2)S＝12|α|r2⇒|α|＝2Sr2.（转下页）[

方法技巧]3．谨记3个注意点(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．(2)看清角的度量制，选用相应的公式．(3)扇形的周长等于弧长加两个半径长．[变式训练]1．[变条件、变设问]典例条件下，若扇形面积为3cm2，求扇形的圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为

r，弧长为l，圆心角为α，面积为S.由题意得：2r＋l＝8，12lr＝3，解得l＝6，r＝1或l＝2，r＝3，所以α＝lr＝6或23.2．[变条件、变设问]典例条件中“周长为8cm”改为“面积为8cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长．解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，则由

S＝12·α·r2得8＝12×2×r2，解得r＝22，所以l＝αr＝2×22＝42(cm)．[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．在平面直角坐标系中，集合S＝αα＝2kπ3，k∈Z的元素所表示的角的终边在哪些位置？解：当k＝3n，n∈Z时，α＝2

π·3n3＝2nπ，n∈Z，此时角α的终边在x轴正半轴上；当k＝3n＋1，n∈Z时，α＝2π·(3n＋1)3＝2nπ＋2π3，n∈Z，此时角α的终边与角2π3的终边相同；当k＝3n＋2，n∈Z时，α＝2π·(3n＋2)3＝2nπ＋4π3，n∈Z，此时角α的终边与角4π3的终边相

同．二、应用性——强调学以致用2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面

积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3，弦长等于23米的弧田．(1)计算弧田的实际面积；(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？(取π近似值为3，3近似值为1.7)[析

题建模](1)明确弧田的含义――→数学运算计算扇形的面积――→计算三角形的面积――→数据分析求得弧田的面积(2)明确弧田中弦、矢的含义并求其值――→数学运算利用经验公式计算弧田面积――→结合(1)求得运算结果(

2)∵圆心到弦的距离等于1，∴矢长为1.按照上述弧田面积经验公式计算得12(弦×矢＋矢2)＝12×(23×1＋12)＝3＋12.∴两者差为4π3－3－3＋12≈0.1平方米，故按照弧田面积经验公式计算结果比实际少0.1平方米．解：(1)∵扇形半径r＝3sin60°＝2，∴扇形面

积S扇＝12×2π3×22＝4π3，又三角形面积S△＝12×23×1＝3，∴弧田面积S＝S扇－S△＝4π3－3(m2)．谢谢观看