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描述统计•概率论是研究随机现象统计规律的学问，它为数理统计奠定了理论基础。所谓数理统计，是以概率论为基础，通过合理地获取随机现象的少量数据资料，估计和检验反映随机现象的某种数字特征，或分析和判断随机现象所具有的统计规律性的学问。•数理

统计的应用相当广泛，它已成为工业、农业、商业、医药卫生、教育、社会学、经济学、生物学、气象学等各领域必不可少的数学工具和分析方法，因此又被称为统计技术。•描述统计是通过图表或数学方法，对数据资料进行整理、分析，并对数据的分布状态、数字特

征和随机变量之间关系进行估计和描述的方法。它是统计技术的重要组成部分，并在以后各章的统计推断技术中被应用。1数据的收集2数字特征描述(估计)3分布状态描述——频数直方图4排列图、因果分析图、趋势图11数据的收集科学研究中，若无定量分析，就不会有明确的概念，

也就不易找出科学的规律。质量管理如果不进行定量分析，也就不会有明确的质量概念，就不会有科学的质量管理。因此质量管理是一种以数据为基础的活动。人们必须通过有目的的搜集数据，从中获取有关产品质量或生产状态的正确情报，从而做出正确的判断和决策，更有效地管理生产。一数据及其实

质二总体、个体、样本、样品三数据收集的原则四数据的分类2一数据及其实质●数据：在质量管理的各项活动中，记录有关科学试验、质量特征、生产状态及管理现状得到的数字资料统称为数据。●实质：收集的数据绝大多数都既具有随机性（偶然性）又具有统计规律性。也就是说它们具有随机现象的某些特征

，或者说是随机变量的一组取值。3二总体、个体、样本、样品1总体与个体定义：研究对象的全体，称为总体或母体；组成总体的每个单元称为个体●研究对象的全体，指的是研究对象某个数量指标的全部取值，由于一个数量指标通常就是一个随机变量，因此，

总体是指某随机变量的取值的全体。而其中的每个值都是一个个体。例如，工厂生产一批晶体管，共10000件。其直流放大系数是一个随机变量，10000件产品直流放大系数数据的全体称为总体，而其中的一个数据则是一个个体。●如果要研究的不是一个，而是几个

数量指标，如对一批晶体管不仅要研究其直流放大系数，还有研究集电极-发射电极反向电流时，则要分为几个总体来研究。●总体的有限和无限类型随研究的问题而定，对于上述的一批晶体管而言，总体是有限的；但有时根据研究的需要，我们常把相同条件下的生产

的所有晶体管看成一个总体，显然，此时，它是一个无限总体。2样本与样品3样本与总体42样本与样品定义：从总体中随机抽取的若干个个体的总和称为样本或子样；组成样本的每个个体称为样品；样本中所有的样品的数目称为样本

容量或子样大小，样本容量常用符号n代表例：从批量为10,000的一批晶体管中随机抽取20件进行检查,被抽查的20件产品称为样本，而其中每一件产品称为样品；样本大小为20。由于人们通常只获得样本数据，故简称为数据53样本与总体●人们从总体中抽取样本的目的是根据样本数据对总体的数字特征和分布

规律进行推断、估计和检验。●自然，由样本推断和估计总体很难做到完全精确和可靠。但是必须采取措施获得比较精确和具有一定可靠性的推断。其措施涉及两方面的问题：即抽取样本的方法和统计推断的方法。●当样本的抽取满足下列两个条件时，样本将能很

好地反映总体的统计规律性：（1）样本容量n足够大。样本容量越大，推断的结论越准确，可靠性越高；（2）采用随机抽样，即总体中每个个体被抽到的机会均等，即使一个个体被抽取后，总体的成分不变。换句话说，每个样品的抽取都是一次独立、重复

试验。●至于应采用的统计推断方法将在以后各章讨论6样本与总体的关系个体具有随机性总体具有统计规律性总体样本样本随机性样本具有统计规律性条件抽样方法正确：①n足够大②随机抽取统计推断方法正确结果：样本的统计规律性在一定程度上反映总体的统计规律性决定7三数

据收集的原则数据的收集是一项重要的基础工作，为了给质量管理工作提供可靠的准确的情报，搜集数据时，必须遵循以下原则1随机抽样2数据的分层3明确数据收集的目的和方法4作好数据记录，保证数据真实、可靠、准确81随机抽样定义：是指从总体抽

取样品时，使每个个体被抽到的机会均等以使所抽取的样本数据能够很好地代表总体的抽样方法。方法：鉴于实际情况产品的大小、形状、存取状态等方面的差异及条件限制，常用的随机抽样方法为：（1）简单随机抽样法：（单纯随机抽样）①抽签法（或掷骰子法）②随机数表法（2）分层随

机抽样（3）系统随机抽样（4）多级随机抽样9随机数表法（1）定义：用随机数表查出样本号码的方法（2）步骤：●随机决定所用数表页码（瞎子点点法或掷骰子法）●决定起点（瞎子点点法）●查样本号数：﹡N≤10，查一位数字即可，取到n个样品为止，重复

的数字取消﹡11≤n≤100，查两位数字，大于n的以n除之取余数，重复数字去掉﹡n＞100，向下取三位，大于n的以n除之取余数，重复数字去掉（3）例：从批量N=50的产品中抽n=4的样本采用掷骰子采用掷骰子法确定选随机数表“I”；用瞎子点点法确定起点为11

行第1列，随机号码为18、18、07、92、45、44…取18、7、42、4510分层随机抽样1560751600800150====CBAnnn●定义：将总体按产品的某些特征把整批产品划分为若干层（即小批），即分为层，同一层内的产品质量尽可能均匀一

致，在各层内分别用简单随机抽样法抽取一定数量的个体组成一个样本的方法●分层按比例随机抽样：若按各层在整批中所占比例分别在各层内抽取就称为分层按比例随机抽样●例：某批产品批量为N=1600，由A、B、C三条生产线加工而成，NA=800，NB=640，NC=160。取n=150的样本。解：11系统

随机抽样法（间隔随机抽样）●定义：当批中产品可以按某个次序排列时，给批中每个产品编号1～N，以整数部分为抽样间隔，用简单随机抽样法在1至之间随机抽取的一个整数作为第一个单位产品号码，每隔个产品抽取一个，直到抽出n个样本为止●

例：某工序每天生产200件产品，规定巡检员在一天中抽取n=10的样本进行检查，试用系统随机抽样确定抽取的样本号码解：，第一个样品号码用抽签法确定为13，则被抽取的样品号码为13、33、53、…、193nNnNnN1−nN20=nN12多级

随机抽样法●定义：整批产品由许多群组成，每群又分若干组组成…，以前三种方法任一种抽取一定数量的群，该群的单位产品组成样本，称为整群抽样法或一级随机抽样法，若在各群中按随机抽样法抽取若干组组成样本，称为二阶段或二级随机抽样…●例：某产品批N=20000，分为200

箱，每箱100个，分为4盒，每盒25个，抽取n=100的样本解：﹡从200箱中随机抽取1箱，作为样本为整群随机抽样﹡从200箱中随机抽取4箱，每箱中随机抽取1盒作为样本称为二级随机抽样﹡从200箱中随机抽取10箱，每箱中随机抽取2盒，每盒中随机抽取5个作为样本，称为三级随机抽样132数据的

分层●定义：所谓数据的分层就是将收集来的样本数据根据不同的使用目的和要求，按其性质、来源、影响因素等对其进行分类的方法，它是分析产品质量问题产生原因的有效方法。●注意事项：（1）数据的分层与数据收集目的紧密联系，目的不同，分层的方法与粗细也不同（2）分层的

粗细与对生产过程了解的程度有关（3）分层是一项细致的工作，分层不当，将会造成问题原因不清的后果●分层原则：①操作人员②工艺装备③加工方法④时间⑤材料⑥环境⑦其他●例1例214例1在磨床上加工某零件外圆，由甲乙

两工人操作各磨100个零件，其产生废品45件，试分析废品产生的原因。甲乙合计100100200光洁度不合格213椭圆度超标准123锥度不合格31821碰伤17118小计232245若只对工人，不对不合格原因进行分层：两工人的废品率相差无几，找不出重点。若

只对不合格原因，不对工人进行分层：则会得到主要因素为锥度不合格、碰伤两原因。对工人及不合格原因分层后：甲工人主要因素为碰伤；乙工人主要因素为锥度不合格15例2在某产品装配过程中，经常发现齿轮箱盖漏油的现象，为解决该问题，对该工艺进行了现场调查，收集数据n=50；漏油数f=

19；试用分层法找出影响产品质量的原因1通过分析：造成漏油的原因有两个（1）齿轮箱密封垫是由甲、乙两厂分别供给的（2）涂粘结剂的工人A、B、C操作方法不同2为分析问题原因，采用分层法分别对操作者和齿轮箱垫供货单位分层3措施：采用乙厂的齿轮

箱垫，工人B的操作方法4效果：漏油率不但未降低，反而增加了5再次分析原因：只是单纯地分别考虑不同工人，不同供应厂造成的漏油情况，而没有进一步考虑不同工人用不同供应厂提供的齿轮箱垫造成的漏油情况，即由于没进行更细致的综合分析造成的。作综合分层结论：使用甲厂齿轮箱垫时B的操作

方法好使用乙厂的齿轮箱垫时A的操作方法好采用措施后漏油率大大降低16操作者分层表工人漏油不漏油漏油率（%）A61332B3925C10953合计193138供货厂漏油不漏油漏油率（%）甲111444乙81732合计193138齿轮箱垫供货单位

分层表17综合分层表齿轮箱垫计甲乙A漏606不漏21113B漏033不漏549C漏5510不漏729计漏11819不漏141731合计252550供货厂操作者183明确数据收集的目的及方法●目的通常有下列几种：（

1）为掌握生产现状收集数据（2）为分析问题收集数据（3）为判定产品质量合格与否收集数据（4）为控制生产状态收集数据（5）为掌握与调节工艺状态收集数据●目的不同，收集的方法（数量、时间、地点、取样方式、测试方法、精

确度以及定性质量指标数量化的方法及标准等）不同194作好数据记录，保证数据真实、可信、准确（1）为避免数据遗漏，在收集的同时进行数据整理和简单的分层，应尽量使用预先设计的数据记录表格——调查表●调查表是为了掌握生产和试验

现场情况，根据分层的思想设计出的数据及不合格记录表格。是收集数据并对数据进行粗略整理的有效工具。●根据使用目的，使用场合，使用对象以及使用范围不同，调查表的形式，内容也多种多样，在实际中可以灵活设计和应

用（2）注意记录与数据有关的数据背景，如测试时间、地点、数量、测试者、零件号、批号、名称规格及必要的环境条件等。有利于分析问题，且可以避免不同条件的数据混淆（3）数据必须真实、可靠、准确20不良项目调查表铸件

缺陷原始记录表零件名称：盖子零件图号：日期：单位：××车间××工段操作者：填号人：检查记录小计ⅠⅡⅢⅣ欠铸正正正正正一29缩裂正一10气孔正正正正20夹渣一一5折叠T一3其他T2合计38981469部位缺陷项目21缺陷位置调查表机翼划伤位置记录表单位：×车间×工段日期：年月日操作者：××

×填号者：××××：严重划伤×：轻划伤0：压坑×××22四数据的分类不同的样本数据来源于不同的总体，即是不同的随机变量的一组（某些）取值，不同的随机变量有不同的统计规律。因此在进行数据分析前必须分清数据的类型1计量值数据：可以连续数值的数据如长度、温度、硬度、强度、化学

成分、时间它是连续型随机变量的一组取值具有连续型随机变量的分布特征2计数值数据：是对单位产品或产品上的缺陷进行检查时得到正整数数据如不合格品数、出勤人员、疵点数等注意：表示百分率的数据（如出勤率、不合格品率、退修率等）其类型取决于其分子数据的类型分类：（1）计件值数据：对产品按件

检查时得到的数据（如批产品中的不合格品数）（2）计点值数据：检查单件产品上质量缺陷时得到的数据如单位棉织品上的疵点数、铸件上的砂眼数、收音机底版焊点数等）3顺序值数据：为了把定性指标定量化，按某种标准进行评分以比较优势程序，确定评定等级或类别得到的数据232数字特征描述(估计)一统计量二样本

平均值三众数四中位数五极差六样本方差七样本均方差24一统计量⚫描述样本数据统计性质的度量值称为统计特征量，简称统计量。统计量是随机变量X数字特征的估计值⚫统计量的数值大小是由收集的样本数据决定的，统计量是样本数据的函数，但其中不包含未知的参数。如果说，在一个函数中，既包括样本数据，又有

未知参数，那么这个函数就不能称⚫鉴于样本抽取的随机性，作为样本的函数，统计量也是一个随机变量。统计量的分布是由X的分布决定的⚫常用统计量有样本平均值、中位数、众数、极差R、方差S2、均方差S等xx~25二样本平均

值1概念从总体中随机抽取大小为n的样本，其数据分别为x1、x2、…xn，则其样本平均值记为样本平均值是总体X数学期望μ的估计值若样本数据的种类数为k，第j种数据的数值为xj；xj出现的频数为fj；此时可用下式计算：例12性质

===kjjjxfnx11ˆ26例1从某工序加工的一批零件中随机抽取样本大小为12的数据。其尺寸分别为：25.5，25.8，25.9，25.7，25.8，25.6，25.9，25.8，25.8，25.6，25.9，25.8。试估计该批零件的均值。解：或76.25)39.25

26.2515.25(121ˆ=+++==x272性质●是一个随机变量，若总体的数学期望为μ，方差为σ2，则随机变量的数学期望和方差分别为：可以看出，n越大，●例2从一批产品中随机抽取5件测量其尺寸，得数据如下：14.5，14.0，13.2，13.5

，14.8。设母体的均方差σ=1，试求尺寸的均值及平均尺寸的方差。●样本平均值是描述随机变量集中位置特征的最常用的量，通常xxx28三众数⚫概念:在样本数据中，出现频数最多或频率最大的数据称为众数。它也是描述数据集中位置的统计量。⚫使用条件：只有当数据个数较多而且

有明显的集中趋势时，才能计算众数。⚫例3:试求例1中样本数据的众数解：由例1表，显然，样本数据的众数为25.8。29四中位数●概念:将样本数据按大小顺序排列，若样本大小n为奇数，排在正中央的数据为中位数；若样本大小为偶数，排在中央的两个数据的算术平均值为中

位数。中位数用表●例4试找出3、5、6、7、11五个样本数据和3、5、6、8、9、11六个样本数据的中解：3、5、6、7、11的中位数为63、5、6、8、9、11的中位数为●当总体为连续型随机变量且概率密度曲线

为对称时(如正态分布)，常用中位数估计总体均值μ据的影响。●正态总体的样本中位数渐进为，因此正态总体用估计μx~x~x~)2,(2nN),(2N30五极差⚫概念:将样本数据按大小顺序排列，数列中最大值max(xi)与最小数据min(xi)之差称为样本的极差。记为R。⚫例5如例

4中，两组数据的极差均为R=11-3=8。⚫作用：样本极差是描述总体离散程度的数量值。⚫在正态总体标准差估计场合当n>10时，将数据分组求极差均值。ndR=ˆ2111−nndn102n31六样本方差●概念:设

样本数据x1、x2、…、xn为来自总体X的样本数据。若总体的数学期望μ已知，则样本方差S2的计算公式为若总体的数学期望μ未知，则样本方差S2的计算公式为：样本方差是总体X方差D(X)，即σ2(X)的估计值●

常用计算公式●例32常用计算公式在实际问题中，经常碰到的是数学期望μ未知的情况。即：在现场中，为计算方便，在n较大时，有时使用下式代替进行在实际计算中，常用化简整理后的下式进行计算。若样本数据的种类数为k，第j种数

据的数值为xj，xj出现的频数为fj，此时，S233例6计算例1所给样本数据的方差或或017.0]76.251280.2580.2550.25[1121ˆ2222212=−+++−==−nS017.0)76.2512390.25260.25

150.25(1121ˆ2222212=−+++−==−nS])76.2580.25()76.2580.25()76.2550.25[(1121ˆ222212−++−+−−==−nS017.0=34七样本均方差●概念:总体X的均方差为方差D（X）

(σ2（X）)的正平方根，即因此有：)()(XDX===−−===−−===niiiniinxxnSSXxxnSSX1222122)(11)(ˆ)(11)(ˆ==−−=niniiinxxn1122])([11=

−−===kjjjxxfnSSX122)(11)(ˆ==−−=−−=kjkjjjjjjjnxfxfnxnxfn112222])([11)(11●例7试计算例6中样本数据的均方差●样本均方差是总体均方差的估计

值13.0017.0ˆ===S)(x353分布状态描述——频数直方图一概念：频数直方图是通过对随机收集的样本数据进行分组整理，并用图形描述总体分布状态的一种常用工具二绘制程序三频数直方图、频率直方图、频率密度直方图和频率密度曲线四频数直方图的应用36二绘制程

序⚫例8从一批螺栓中随机抽取100件测量其外径数据如下表所示。螺栓外径规格为。试绘出频数直方图。⚫绘制程序7.9387.9307.9387.9147.9247.9297.9287.9207.9187.9237.9307.9

257.9307.9307.9257.9187.9207.9187.9287.9287.9187.9137.9257.9267.9287.9247.9227.9237.9157.9197.9257.9257.9257.9257.9277.9207.9227.9277.9237.925

7.9237.9277.9277.9277.9237.9227.9237.9297.9317.9227.9307.9207.9247.9257.9297.9227.9257.9307.9267.9187.92

07.9257.9307.9267.9237.9207.9297.9307.9257.9227.9297.9287.9307.9357.9307.9397.9257.9247.9307.9357.9227.9187.9227.9257.9257.9207.9277.922

7.9307.9307.9257.9387.9227.9157.9187.9277.9357.9317.9197.92205.010.08−−单位：mm37绘制程序1xL和最小值xS数据个数应≥50，并将数据排成矩阵形式。本例数据个数n=100。最大值xL=7.938，最小

值xS=7.91323kk值的选择一般参考下表给出的经验数值确定本例选择k=104确定组距h5计算各组的上、下边界值6计算各组的组中值xi7统计落入各组的数据个数，整理成频数表8作直方图nK50-100

6-10100-2507-12250以上10-20025.0913.7938.7=−=−=SLxxR数据分组组数表384h⚫组距即每个小组的宽度，或组与组之间的间隔⚫本例中⚫为分组方便，常在h的计算值基础上将其修约为测量单位的整数倍，并作适当调整。

如本例测量单位为0.001，将h修约为0.003kRkxxhSL=−=003.00025.010025.0==h395⚫为了不使数据漏掉，应尽可能使边界值最末一位为测量单位的1/2。⚫当h为奇数时，第一组边界值应为⚫当h第一组

上边界值=xS–测量单位/2第一组下边界值=上边界值+h一直计算到最末一组将xL包括进去为止。⚫本例h为奇数，故第一组上下边界值为⚫其余各组的上下边界值为：某组上边界值=某组下边界值=该组上边界值+h本例第二组上下边界值为

7.9175～7.9145；第三组为7.9175～7.9205……依次类推，最后一组为7.9385，包括了最大值7.938(见频数表)2hxS9115.70015.0913.72==hxS～7.9145406

xi2组下边界值第组上边界值第iixi+=如本例9160.729175.79145.79130.729145.79115.721=+==+=xx417组号i组边界值组中值xi频数统计fi17.9115～7.91457.913227.9145～7.91757.916237.9175～7.92

057.919正正正一1647.9205～7.92357.922正正正1857.9235～7.92657.925正正正正2367.9265～7.92957.928正正正1777.9295～7.93257.931正正正1587.

9325～7.93557.934397.9355～7.93857.9374428以频数为纵坐标，质量特性为横坐标画出坐标系，以一系列直方形画出各组频数，并在图中标出规格界限和数据简历，组成频数直方图规

格要求频数7.9374315172318162252015105027.9347.9317.9287.9257.9227.9197.9167.97.9137.95n=10096.5.7～96.5.153#件S=0.005192号机床X=7.92524xf43三频数直方图、频

率直方图、频率密度直方图和频率密度曲线⚫频数直方图以样本数据表征的质量特性值为横坐标，以频数为纵坐标作出的⚫频率直方图将频数直方图的纵坐标改为频率做出的频率直方图，其形状与频数直方图应完全一样⚫频率直方图若将纵坐标改为频率密度，横坐标不变，直方图的形状也不变。⚫频率密度曲线当样本数据的大小n

→∞，组距h→0时，直方的数量将趋于∞；随机变量(即质量特征)在某区间h的频率密度将趋于概率密度；直方顶端联成的折线将形成一条光滑的曲线——概率密度曲线2区别与联系3正态分布及其频数直方图的特征1频数直方图、频率直方图、频率密度直

方图和频率密度曲线图形演变442区别与联系频数直方图、频率直方图、频率密度直方图与概率密度曲线，虽然它们的坐标不同，描述分布状态的方式有的是折线、有的是曲线，但其大致形状是相似的。概率密度曲线表明了总体的分布状态；而频数直方图等是对总体分布状态

的描述3正态分布及其频数直方图的特征⚫实践和理论证明：当一个连续型随机变量受到许多相互独立的随机因素的影响时，如果这许多因素的影响虽然有的大一些，有的小一些，但每一个因素在影响的总和中都不起主导作用时，这个随机变量将服从正⚫许多产品的计量质量指标，如强度、长度、寿命、测量误差等在生

产条件稳定、正常的前提下，均服从正态分布。因此，测量这些指标得到的数据，其频数直方图的形状应具有正态分布概率密度曲线的特征——为中间高、两边低、左右大致对称的山峰型。45四1观察工序状态（1）原理如上所述，大部分计量指标服从正

态分布，即在稳定正常生产状态下得到的数据，其频数直方图的形状是“中间高、两边低、左右对称的山峰型”，我们称这种形状的直方图为正常型直方图当影响产品质量特性的因素中，有的因素在影响的总和中占据了主导地位，成为“异常因素”时，质量特性的正态分布状态将被打破，频数直方图的形状将出现异常型

。此时，现场人员应根据直方图形状迅速分析判断异常原因，采取措施，使工序恢复正常状态（2）几种常见的异常型频数直方图2与规格比较，明确改进方向（1）原理：在直方图上标明规格上限及下限，可直观地将直方图的位置、分散范围与规格比较，从而分析质量状况，明确改进方向（2）与规格比较

的几种情况3不合格品率估计46a.正常型b.孤岛型c.偏向型d.双峰型e.平顶型g.陡壁型f.折齿型规格范围47(2)几种常见的异常型频数直方图●孤岛型在直方图旁边有孤立的小岛出现。其原因是在加工和测量过程中有异常情况出现。如原材料的突

然变化，刃具的严重磨损，测量仪器的系统偏差，不熟练工人的临时替班等。●偏向型偏向型也称偏峰型。即直方的高峰偏向一边。这常常是由于某些加工习惯造成的。如加工孔时，有意识地使孔的尺寸偏下限，其直方图的峰则偏左；当加工孔时，有意识地使轴的尺寸●双峰型直方图出

现了两个高峰。这往往是由于将不同加工者、不同机床、不同操作方法等加工的产品混在一起造成的。因此，●平顶型平顶型即直方图的峰顶过宽过平。这往往是由于生产过程中某种因素在缓慢的起作用造成的。如刃具的磨损、操

作者逐●折齿型测量误差太大或分组组数不当都会使直方图出现凸凹不平的折齿形状。●陡壁型直方图在某一侧出现了高山上陡壁的形状。这往往是在生产中通过检查，剔除了不合格品后的数据作出的直方图形状。48产品分布范围规格范围产品分布范围规格范围产品分布范围规格范围产品分

布范围规格范围产品分布范围规格范围最理想的直方图直方图的分布范围仍在规格范围内，但中心偏向一侧。此时，已存在出现不合格品的潜在危险，应立即采取措施，将分布中心调至规格中心直方图的分布范围已充满整个规格界限。此时，存在更多出现不合格品的潜在危险，必

须立即采取措施，减小分散。直方图的分布范围已超出现规格界限，并已出现一定数量的不合格品。应立即采取措施，减小分散；对产品实施全数检查；或适当放宽规格界限，以减小损失分布非常集中。在此情况下，应充分考虑经济效果，采取适当放宽工艺条件或加严规格要求等措施。493（1

）计算平均值与标准偏差●直接用样本数据进行计算以各组组中值代表各组数据进行计算本例中：●简易求法（2）不合格品率估计nxxnii===1ˆ=−−==niixxnS12)(11ˆ===kjjjxfnx11ˆ==−−==kjkj

jjjjxfnxfnS1122])(1[11ˆ0052.0)4937.72913.7(1001)4937.72916.72913.7(11001ˆ9252.7)4937.72916.72913.7(1001ˆ222=++

−+++−===+++==Sx50平均值及标准偏差简易求法●以各组组中值代表组中各数据进行计算；●将x坐标变换为u令近于中间、频数较多的一级组中值为x0，并令该组u坐标值uj=0；其它各组按下列变换式进行变换变换结果为：自uj=0向下的各组，u

值分别为1，2，3，…；向上的各组，u值为-1，-2，-3，…。作直方图计算表●计算●按下式计算hxxujj0−=;;;22jjjjjjjjfufufufu及0522.0)1008300(11001003.0ˆ

9252.7003.01008925.7ˆ])([11ˆˆ2220=−−===+==−−==+==SxnfufunhShnfuxxjjjjjj本例51直方图计算表组中值xjujfjujfjuj2fj17.913-42-8

3227.916-32-61837.919-216-326447.922-118-181857.925=x00230067.928117171777.931215306087.9343392797.937441664∑010

0830052（2）估计不合格品率⚫当以及规格界限均已知时，则可借助正态分布表估计不合格品率⚫如本例中，；规格界限为(7.90～7.95)。不良品率p的估计值05.010.08−−0)01(1)]85.4()77.4([1)]0052.09

252.790.7()0052.09252.795.7([1=−−−−−=−−−−=pˆpˆ0052.0ˆ;9252.7ˆ==ˆˆ、53§11.4排列图、因果分析图、趋势图⚫在质量管理中，人们将会收集大量的文字信息和数学信息。对信息的整理和对事物的描述方法不同，其效果

也不同。而采用图或表进行信息整理和事物的描述无疑是最好的方法。它具有主题明确、层次清楚、关联性易于表达、信息量大、善于启发思维，迅速分析问题作出决⚫频数直方图是一种常用的描述分布的图表法，除此之外，还有各种各样整理和描述信息的方法。本节将介绍常用的排列图、因果分析图、

趋势图。描述变量之间关系的相关图将在后面介绍。一排列图二因果分析图三趋势图54一排列图排列图又称巴雷特图或主次因素分析图1(Pareto)于20世纪初创立的。他发现运用排列图，可以找出“关键的少数和次

要的多数”的关系。后来，美国质量管理专家朱兰(J·M·Juran)把该原理应用于质量管理工作中。在质量分析时发现，尽管影响产品质量最关键的往往只是少数几项，而由它们造成的不合格产品却占总数的绝大部分。就是根据这个“关键少数，次要多数”的原理，使排列图

在质量管理中，成为查找影响产品质量关键因素的重要工具。2用途：因素影响的主次位置，可从排列图上一目了然。从而明确改进方向和改进措施。采取措施后的效果，还可用排列图进行对比确认。排列图不仅可用于质量管理，还广泛地应用于其它领域。3绘制程序4应用注意事

项55排列图的结构2040100806012014016000255075100（90）（80）BACDEFGHI频数累计频率×1003绘制程序（1）结构（2）绘制步骤例56（2）绘制步骤⚫⚫收集数据，对数据进行整理，列出分类统计表。⚫按一定的比例分别画出两个纵

坐标，表示频数和累积频率。⚫将横座标划分若干等分表示各影响因素。并按影响程度的大小，从左向右依次画出直方形。⚫找出每个影响因素所对应的累计百分数点，并连接起来成为一条由左向右逐渐上升的曲线，即巴雷特曲线。在排列图上，常将曲线的累计百分数分三级，并相应的将因素分为三

类。A类因素：累积频率为0—80%，该区间的因素是主要影响因素B类因素：累积频率为80%—90%，该区间的因素是次要影响因素。C类因素：累积频率为90%—100%，该区间的因素是一般因素注明数据收集的背景。57例某厂对活塞环槽侧壁不合格的275件产品进行缺陷分类统计，其结果是：精磨外圆

不合格229件，精镗销孔不合格56件，磨偏差不合格14件，精切环槽不合格136件，垂直摆差不合格42件，斜油孔不合格15件，其它不合格8⚫缺陷按其数量自大至小进行排列，并计算出累计频数和累计频率作出缺陷分类统计

表⚫作排列图⚫因素分类：精磨外圆和精切环槽是主要因素，解决了这两个主要问题，将显著降低不合格品率；精镗销孔为次要缺陷；其它缺陷为一般缺陷。解决问题应从主58活塞环槽侧壁加工缺陷分类统计表序号缺陷频率累计频数频率×100累击频率×1001234567精磨外圆精切环槽精镗销孔垂直摆差斜油孔磨

偏差其它22913656421514822936542146347849250045.827.211.28.43.02.81.645.873.084.292.695.698.4100.0总计50059活塞环槽缺陷排列图204010080600501030709050040030

0100200564215148229136N=50045.8频数精磨外圆精切环槽精镗销孔垂直摆差斜油孔磨偏差其它604应用注意事项(1)一般来说，主要因素应只是一、二个，至多不超过三个，否则就失去找主要因素的意义。当出现主要

因素过多时，要重新考虑因素的分类。(2)必要时，频数可用金额来表示，以找出真正重要的经济(3)在采取措施的后，还应作排列图，以进行效果检查对比。(4)收集数据的时间一般为1～3个月比较合适，时间太长，生产过程往往会有较大的变动，影响数据的可比性。时(5)不太重要的项

目很多时，横坐标会变得很长，通常把这些列入“其他”项，排在最后。61二因果分析图1概念：因果分析图又称特性要因图、鱼刺图、树图等。它是用来分析、整理影响产品质量的各种因素及其之间关系的图式。是寻找产生质量问题原因的简便而有效的方法。其结构如图2绘制程序(1)明确质量问题(2)调查研究

(3)例3应用注意事项(1)充分发扬民主，使所有参加人员充分发表意见、畅所欲言，防止技术权威“一言堂”；(2)(3)(4)对关键原因可再进一步进行因果分析，并进行重点考察，制定解决措(5)62因果分析图结

构质量问题材料环境测量方法人员设备主干线更小原因中原因63活塞销孔孔径尺寸为什么会超差未按中间尺寸对刀方法材料机床床温不够环境操作者量值传递标准不一致无温差修正标准责任心差室外气温影响自然时效不好停车时间长预热时间短刀头未压紧未按工艺执行未定时检测早晚温差大寒流暖气不正常室内

温差大两台量仪量值不一致未在标温下鉴定环规人工时效不好炉温低毛胚变形时间短活塞销孔孔径尺寸超差因果分析图64三趋势图1概念：趋势图又称波动图，工序能力图。它是观察质量特性值随时间的推移发生的变动趋势的图表。运用它，可以及早发现工序的异常状

态，预防不合格品的产生。2绘制程序(1)作以质量特性值为纵坐标、以时间顺序排列的样品号码为横坐标的坐标系，并将规格上限TU、规格下限TL和规格中心Tm(2)按横坐标给定的时刻或规定的时间间隔抽取样品，(3)将点连接成波动曲线，将曲线与规格界限进行

比较，判断工序是否稳定。例3分析与判断4评价65例某零件尺寸规格为，其尺寸趋势图如下：010.0002.031++质量特性值/mm+0.010+0.008+0.006+0.004+0.00251015T

UTLTm时间（或样品号）663分析与判断(1)所有点子均在规格界限内，且点子的排列无异常现象(见图1)。这说明工序处于稳定(2)曲线波动大，个别点超出规格界限(见图2)。这说明工序散布太大，并已产生不合格品，应立即停止生产，查找原因，采取措施，减小工序散差。(3)曲线波动不大，但靠

近一侧规格界限(图3)。说明质量特性均值与规格中心Tm不一致，须进行调整，使(4)曲线的排列出现明显的变化趋势。如若干点连续上升或下降(图4、图5)，或曲线发生明显的周期性波动(图6)等。说明工序分布正在

发生某种变化，应立即查找原因，采取措施使工序恢复稳定状态。67时间TUTLTm时间TUTLTm时间TUTLTm时间TUTLTm时间TUTLTm时间TUTLTm图1工序稳定状态趋势图图2工序散差过大趋势图图5工序呈下降趋势的趋势图图6工

序呈周期性变动趋势图图3工序分布中心偏离规格中心趋势图图4工序呈上升趋势的趋势图68