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第三章多元线性回归模型第六节预测应变量的点预测▪将解释变量预测值代入估计的方程便可：0102030k0012300...kYXXXXYX=+++++或者＝一、的置信区间)XY(E0000YX＝对于模型给定样本以外的解释变量的观测值X

0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解释变量的预测值：它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括E(

Y0)和Y0的置信区间。00YX＝易知0000022000002100E(Y)E(X)XE(YX)Var(Y)Var(X)E[XE(X)]E[X()]X(X'X)X'−====

=−=−=容易证明)1(~ˆˆ−−−−knt)E(YY00010XX)X(X于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间：010000100)(ˆˆ)()(ˆˆ22XXXXXXXX+−−−tYYEtY其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值

。2100000Y~N[E(YX),X(X'X)X']−二、的置信区间如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：0Y000ˆYYe−=容易证明0)YY(E)e(E000=−=2210000Var(e)Var(Y)[1+X(X'X)X']−=+=e0服从正态分布，即)))(1

(,0(~01020XXXX+−Ne)))(1(ˆˆ010220XXXX+=−e构造t统计量)1(~ˆˆ000−−−=kntYYte可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间：010000100)(1ˆˆ)(1ˆˆ22XXXXXXXX+++−−

−tYYtYe0服从正态分布，即)))(1(,0(~01020XXXX+−Ne)))(1(ˆˆ010220XXXX+=−e构造t统计量)1(~ˆˆ000−−−=kntYYte可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间：010000100)(1

ˆˆ)(1ˆˆ22XXXXXXXX+++−−−tYYtY中国居民人均收入-消费支出二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元，于是人均居民消费的预测值为Ŷ2001=120.7+0.2213×4033.

1+0.4515×1690.8=1776.8（元）实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：-0.31%预测的置信区间：−−−−=−00004.000001.000828.000001.000001.000285.000828.

000285.088952.1)(1XX3938.0=−010XX)X(X于是E(Ŷ2001）的95%的置信区间为:3938.05.705093.28.1776或（1741.8，1811.7）3938.15.7

05093.28.1776或（1711.1,1842.4）同样，易得Ŷ2001的95%的置信区间为第四章非线性回归模型的线性化▪变量间的非线性关系▪线性化方法▪案例分析非线性回归模型▪非线性关系线性化的几种情况:▪①对于指数曲线，令,可以将其转化为直

线形式：，其中，；▪②对于对数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：；▪③对于幂函数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：其中，；bxdey=xbay+=xbayln+=xbay+=bdxy=xbay+=yyln=x

x=daln=yy=xxln=yyln=xxln=daln=④对于双曲线，令，转化为直线形式：；⑤对于S型曲线，可转化为直线形式：；⑥对于幂乘积：，只要令，就可以将其转化为线性形式：其中，；xbay+=1xbay+=xxe

xyybeay−−==+=,1,1令xbay+=kkxxdxy2121=kkxxxy++++=22110xxyy1,1==,ln,,ln,ln,ln2211kkxxxxxxyy====dln0=⑦对于对数函数

和只要令，就可以将其化为线性形式：➢例:下表给出了某地区林地景观斑块面积（Area）与周长（Perimeter）的数据。下面我们建立林地景观斑块面积A与周长P之间的非线性回归模型。kkxxxylnlnln22110++++=kkxxxy++++=22110kkx

xxxxxyyln,,ln,ln,2211====序号面积A周长P序号面积A周长P110447.370625.39242232844.3004282.043215974.730612.286434

054.660289.307330976.770775.7124430833.840895.98049442.902530.202451823.355205.131510858.9201906.1034626270.300968.060621532.

9101297.9624713573.9601045.07276891.680417.0584865590.0802250.43583695.195243.90749157270.4002407.54992260.180197.239502086.426266.54110334.

33299.729513109.070261.8181111749.080558.921522038.617320.396122372.105199.667533432.137253.335138390.633592.893541

600.391230.030146003.719459.467553867.586419.406表某地区各个林地景观斑块面积（m2）与周长（m）15527620.2006545.291561946.184198.66116179686.20

02960.4755777.30556.9021714196.460597.993587977.719715.7521822809.1801103.0705919271.8201011.127197119

5.9401154.118608263.480680.710203064.242245.049614697.1301234.1142469416.7008226.0091624519.867326.3171225738.953498.6566313157

.6601172.916238359.465415.151646617.270609.801246205.016414.790654064.137437.3552560619.0201549.871665645.820432.3552614517.7407

91.943676993.355503.7842731020.1001700.965684304.281267.9512826447.1601246.977696336.383347.136297985.926918.312702651.414292.235解：（1）作变量

替换，令：，，将上表中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如下表所示。Ayln=Pxln=序号y=lnAx=LnP序号y=lnAx=LnP19.2541066.4383794212.358138.36218629.6787636.4172438

.3076225.667487310.340996.6537824410.336376.79791849.1530196.273258457.5084335.3236559.2927427.5528164610.176196.87529469

.9773387.168551479.5159096.95184178.838076.0332264811.091187.71887988.2147895.4967894911.965727.78636497.

72325.284414507.6432085.585528105.8121354.602457518.0420795.567651119.371536.326008527.6200275.769558表经对数变

换后的数据127.7715335.296653538.1409385.534711139.0348716.385013547.3780035.438211148.7001346.130066558.2603866.0388391513.176

138.786501567.5736265.2915971612.098977.993105574.3477554.041328179.5607486.393579588.9844086.5733341810.034927.005

852599.8663996.9188211911.173197.051092609.0196016.523136208.0275565.501457619.5954087.1181092113.059259.015056

628.4162385.787871228.6550326.211917639.4847597.067248239.031156.028643648.7974386.413133248.7331136.027773658.3099576.080744

2511.012367.345927668.6386716.069247269.5831276.67449678.8527166.222147（2）以x为横坐标、y为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图。很明显，y与x呈线性关系。456789101112131445678910L

nPlnA图林地景观斑块面积（A）与周长（P）之间的双对数关系（3）根据所得表中的数据，运用建立线性回归模型的方法，建立y与x之间的线性回归模型，得到：x与y的相关系数高达=0.9665。（4）将还原成双对数

曲线，即5057.0505.1−=xy5057.0ln505.1ln−=PAxyr不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法▪直接搜索法▪直接优化法▪迭代线性化法▪设定一般的回归模型▪yi=f(xi;)+ui▪OLS估计不能得到其明确的解的形式▪例：2222220110110011101212(

;)()2[(;)]0()2[]0()2[]0()2[]0iiiiixniiiinxiinxxiinxxiiiyeufxSyfxSyeSyeeSyexe=====++=−−==−−−=

=−−−==−−−=βββββββ泰勒级数展开与迭代估计▪公式：将模型yt=f(x,)+u在参数(0，0,1，0,…)展开：00,01,0,00,0002,0,00000,00000:(,,)(,)(,)()1()()

2!(,)kktttiiiikkiijjijijkkttiitiiiiInitialestimatorsfyfffffyfu========+−+−−+=+−+

βxβxβxβ0,010,11,1,10000(,)(,,)kkttiitkiiiiffyfu==−+=+=xββ,1,,:ijijijStopRule+−几种对数

模型的比较▪对数模型比较模型形式含义经济解释yt=β0+β1xt+utdy=β1dxx变化一个单位，y变化β1个单位yt=β0+β1Ln(xt)+utdy=β1dx/xx变化1%，y变化β1/100个单位Ln(yt)=β0+β1xt+utdy/y=β1dxx变化一个单位，

y变化(100β1)%Ln(yt)=β0+β1Ln(xt)+utdy/y=β1dx/xx变化1%，y变化β1%取对数的基本原则▪以时间为测度单位的一般不取对数。比如，受教育的年数、年龄、工龄等。▪比率变量，一般倾向于不取对数。比如失业率、犯罪率、入学率等。如果对其取对

数形式，那么一定要注意其经济解释。比如，设解释变量为失业率，最初的失业率为8%。如果解释变量为失业率umem，那么其回归系数β解释为当失业率增加一个百分点（percentagepointchange）的时候，….。即：当失业率

由8%增加至9%的时候，…。如果解释变量为失业率的对数形式ln(unem)，那么其回归系数β应解释为当失业率变动1%的（percentagechange）的时候，….。即：当失业率由8%增加至8%(1+1%)=8.08%的时候，…。▪当变量y为非负数时，可以

采用ln(y+1)作为y的对数变量。除了0点以外，在其他点上，对系数的经济解释不变。