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5.1.1 任意角(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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【文档说明】5.1.1 任意角(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册).pptx,共(51)页,1.555 MB,由飞向未来上传

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以下为本文档部分文字说明:

5.1.1任意角第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角1.了解角的概念的推广过程,理解任意角的概念.认识终边相同的角并会简单表示.2.通过终边相同角的计算,培养学生数学运算的核心素养.借助任意角的终边位置的确定,提升学生逻辑推理的核心素

养.知识点一任意角的概念(一)教材梳理填空1.角的概念角可以看成平面内_________绕着它的_____旋转所成的图形.2.角的表示如图,(1)始边:射线的______位置OA;(2)终边:射线的____位置OB

;(3)顶点:射线的端点O;(4)记法:图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“________”.“角α”或“∠α”可简记为“α”.一条射线端点起始终止∠AOB3.角的分类按旋转方向可分为三类:1.判断正误(1)大于90°的角都是钝角.()(2)零

角的终边与始边重合.()(3)从13:00到13:10,分针转过的角度为60°.()(4)一条射线绕端点旋转,旋转的圈数越多,则这个角越大.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)×(二)基本知能小试2.将

射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为()A.120°B.-120°C.240°D.-240°答案:A3.时钟经过1小时,时针转动的角的大小是________.解析:时钟是顺时针转,故形成的角是负角,又经过12个小时时针转动一个周角,故经过1个小时时针转动周角的112

,所以转动的角的大小是-112×360°=-30°.答案:-30°知识点二象限角与终边相同的角(一)教材梳理填空1.象限角(1)象限角的概念:当角的顶点与________重合,角的始边与_______________重合时,角的终边在第几象限,我们就说这个角是__________.如果角

的终边在_______上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.坐标原点x轴的非负半轴第几象限角坐标轴(2)象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角______________________________第二象限角________

____________________________第三象限角_______________________________________第四象限角_______________________________________{x|k·360°<x<90°+k·

360°,k∈Z}{x|90°+k·360°<x<180°+k·360°,k∈Z}{x|180°+k·360°<x<270°+k·360°,k∈Z}{x|270°+k·360°<x<360°+k·360°,k∈Z}2.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|___

_________________},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.β=α+k·360°,k∈Z3.轴线角的集合角α终边的位置角α的集合表示在x轴的非负半轴上{α|α=k·360°,k∈Z}在x轴的非

正半轴上{α|α=k·360°+180°,k∈Z}在y轴的非负半轴上{α|α=k·360°+90°,k∈Z}在y轴的非正半轴上{α|α=k·360°+270°,k∈Z}在x轴上{α|α=k·180°,k∈Z}在y轴上{α|α=k·180°+90°

,k∈Z}在坐标轴上{α|α=k·90°,k∈Z}[思考]定义象限角、终边相同的角的前提条件是什么?提示:求象限角、终边相同的角时,必须注意前提条件:角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合.(二)基本知能小试1.判断正误(1)第二象限角大于第一象限

角.()(2)第二象限角是钝角.()(3)相等的角终边一定相同.()(4)终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)√2.与45°角终边相同的角是()A.-45°B.225°C.395°D.-315°解析:因为45°=-315°+36

0°,所以与45°角终边相同的角是-315°.答案:D3.与610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)()A.k·360°+230°B.k·360°+250°C.k·360°+70°D.k·180°+270°解析:∵610°=360°+250°,∴61

0°与250°角的终边相同,故选B.答案:B4.已知0°≤α<360°,且α与800°角终边相同,则α=________,它是第________象限角.解析:因为800°=360°×2+80°,所以80°角与800°角的终边相同,且0°≤80°<360°,故α=80°,它是第一象

限角.答案:80°一题型一任意角的概念及应用[学透用活]1.角的概念的推广(1)角的概念是通过角的终边的运动来推广的,根据角的终边的旋转“方向”,得到正角、负角和零角.(2)表示角时,应注意箭头的方向不可丢掉,箭头方向代表角的正负.2.用旋转来描述角时需要注意的三个要素(1)旋转中心

:射线旋转时绕的端点.(2)旋转方向:旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种,这是一对意义相反的量,根据以往的经验,我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示,那么许多问题就可以解决了.(3)旋转量:当旋转超过一周时,旋转量即超过360°,角度的绝对值可

大于360°.于是就会出现720°,-540°等角度.[典例1](1)(多选)下列说法正确的是()A.锐角都是第一象限角B.第一象限角一定不是负角C.小于180°的角是钝角、直角或锐角D.在90°≤β<18

0°范围内的角β不一定是钝角[解析](1)选AD锐角是大于0°且小于90°的角,终边落在第一象限,是第一象限角,所以A正确;-350°角是第一象限角,但它是负角,所以B错误;0°角是小于180°的角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,所以C错误;由于在90°≤β<18

0°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,所以D正确.[典例1](2)已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,并指出它们是第几象限角.①420°;②855°;③-510°.[解析](2)作出各角的终边,如图所示:由图可知:①

420°是第一象限角.②855°是第二象限角.③-510°是第三象限角.[方法技巧]1.理解角的概念的关键与技巧(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧:判断命题为真需要证明,而判

断命题为假只要举出反例即可.[方法技巧]2.象限角的两种判定方法(1)在坐标系中画出相应的角,观察终边的位置,确定象限.(2)第一步,将α写成α=k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;第二步,判断β的终边所在的象限;第三步,根据β的终边所在的

象限,即可确定α的终边所在的象限.[提醒]理解任意角这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.[变式训练]1.给出下列说法:①终边在y轴非负半轴上的角是直角;②始边

相同而终边不同的角一定不相等;③三角形的内角必是第一、二象限角;④第四象限角一定是负角;⑤{α|α=k·180°,k∈Z}={0°,180°,360°}.其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:①错误.-270°是终边在y轴非负半轴上的角但不是直角.②正确.相等

的角始边相同则终边必相同,所以始边相同而终边不同的角一定不相等.③错误.三角形的内角可以是直角,它既不是第一象限角,也不是第二象限角.④错误.如271°是第四象限角,但不是负角.⑤错误.{0°,180°,α|α=k·180°,k∈Z}.答案:A2.射线OA绕端点O顺时针旋转8

0°到OB位置,接着逆时针旋转250°到OC位置,然后再顺时针旋转270°到OD位置,则∠AOD=________.解析:如图,∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(-80°)+250°+(-270°)=-10

0°.答案:-100°题型二终边相同的角的表示及应用[学透用活]对终边相同的角的说明所有与角α终边相同的角,连同角α在内(而且只有这样的角),可以用式子α+k·360°,k∈Z表示.在运用时,需注意以下几点:(1)k是整数,这个条件不能漏掉.(2)α是任意

角.(3)k·360°与α之间用“+”号连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)(k∈Z).(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.[典

例2]在与10030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最大的负角;(2)-360°~720°内的角.[解]与10030°角终边相同的角的一般形式为β=10030°+k·360°(k∈Z).(1)由10030°+k·360°<0°.得k·360°<-10030°,所

以k<-100336,又k∈Z,故所求的最大负角为β=-50°.(2)由-360°≤10030°+k·360°<720°,得-10390°≤k·360°<-9310°,又k∈Z,解得k=-28,-27,-26.当k=-28时,β=10030°-28×360°=-50

°;当k=-27时,β=10030°-27×360°=310°;当k=-26时,β=10030°-26×360°=670°.故所求的角β的值为-50°,310°,670°.[方法技巧]1.在某个范围内找与已知角终边相同的角的方法求在某个范围内与已知角α终边

相同的角时,首先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后由k·360°+α(k∈Z)在限制范围内,建立不等式,通过求解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.或者采用赋值法求解,看角是否在限制范围内,从而求出满足条件的角.[方法技巧

]2.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.[变式训练]1.与-463°终边相同的角

可以表示为()A.k·360°+463°(k∈Z)B.k·360°+103°(k∈Z)C.k·360°+257°(k∈Z)D.k·360°-257°(k∈Z)解析:因为-463°=257°-2×360°,所以与-463°终边相

同的角可以表示为k·360°+257°(k∈Z).答案:C2.已知α=-1910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限的角.(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-72

0°≤θ<0°.解:(1)法一:作除法运算,注意余数必须非负,得:-1910÷360=-6…250,所以α=250°-6×360°,它是第三象限的角.法二:设α=β+k·360°(k∈Z),则β=-1910°-k·360°(k∈Z),令-19

10°-k·360°≥0°,解得k≤-19136,k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限的角.(2)令θ=250°+k·360°(k∈Z),取k=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0

°的角.250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或-470°.题型三区间角的表示[探究发现](1)若射线OA的位置是k·360°+10°,k∈Z,射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D,则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示?提示:终边落

在区域D(包括边界)的角的集合可表示为{α|k·360°+10°≤α≤k·360°+100°,k∈Z}.(2)若角α与β的终边关于x轴,y轴,原点,直线y=x对称,则角α与β分别具有怎样的关系?提示:①关于x轴对称:若角α与β的终边关于x轴对称,则角α与β的关系

是β=-α+k·360°,k∈Z.②关于y轴对称:若角α与β的终边关于y轴对称,则角α与β的关系是β=180°-α+k·360°,k∈Z.③关于原点对称:若角α与β的终边关于原点对称,则角α与β的关系是β=180°+α+k·360°,k∈Z.④关于直线y=x对称

:若角α与β的终边关于直线y=x对称,则角α与β的关系是β=-α+90°+k·360°,k∈Z.[学透用活][典例3]已知如图所示的图形.(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.[解](1)终边落在OA位置上的角的

集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z};终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由题干图可知,阴影部分(包括边

界)的角的集合是由所有介于-30°~135°之间的与之终边相同的角组成的集合,故该区域可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.[方法技巧]1.象限角的判定方法(1)根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的思想,因为0°~360°

之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.(2)将角转化到0°~360°范围内.在直角坐标平面内,在0°~360°之间没有两个角终边是相同的.(转下页)[方法技巧]2.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针的方向找到区域的

起始和终止边界;(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β},其中β-α<360°;(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.[变式

训练]1.[变条件]若将本例改为如图所示的图形,那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示?解:在0°~360°范围内,阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为:150°≤β≤225°,则所有满足条件的角β为{β

|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.2.[变条件]若将本例改为如图所示的图形,那么终边落在阴影部分(实线包括边界)的角的集合如何表示?解:在0°~360°范围内,终边落在阴影部分的角为60°≤β<105°与240

°≤β<285°,所以所有满足题意的角β为{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|2k·180°+60°≤β<2k·180°+105°,

k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+60°≤β<(2k+1)·180°+105°,k∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.故角β的取值集合为{β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.[课堂思维激活

]一、综合性——强调融会贯通下面是已知α是第二象限角,求解角α2所在的象限的解法.解:(数形结合法)如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正向的上方起,逆时针依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二的区域即为α2的终边所在的区域,故α2为第一或第三象限角.问题1:你能用另一种方法验证上述解法的

正确性吗?提示:(分类讨论法)∵α是第二象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).∴k2·360°+45°<α2<k2·360°+90°(k∈Z).当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),得n·360°+45°

<α2<n·360°+90°,这表明α2是第一象限角;当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),得n·360°+225°<α2<n·360°+270°,这表明α2是第三象限角.∴α2为第一或第三象限角.这表明由数形结合法求得的解是正确的.问题2:若角α是第三象限角,请你快

速求出角α2所在的象限.提示:(数形结合法)如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正向的上方起,逆时针依次将各区域标上一、二、三、四,则标有三的区域即为α2的终边所在的区域,故α2为第二或第四象限角.问题3:若角α是第四象限角,请你快速求出角α3所

在的象限.提示:(数形结合法)如图,先将各象限分成3等份,再从x轴正向的上方起,逆时针依次将各区域标上一、二、三、四,则标有四的区域即为α3的终边所在的区域,故α3为第二、第三或第四象限角.问题4:通过以上问题的求解方法,你能得出什么结论?提示:等分象限角的方法如下:已知角α终边所在的象

限,确定αn终边所在的象限,可先把各象限分为n等份,再从x轴的正方向的上方起,逆时针依次将各区域标上一、二、三、四,一,二、三、四,…则α原来是第几象限角,标号为几的区域即为角αn终边所在的区域.二、应用性——强调学以致用一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A

(1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.[析题建模]蚂蚁爬行的方向与

角度――→数学抽象经14秒蚂蚁爬过的角度――→数据分析第二秒时,蚂蚁爬过的角度的范围――→数学建模建立关于α,β的不等式――→数学运算解不等式得答案解:根据题意可知:14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m

∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α=m7·180°,β=n7·180°,m,n∈Z.由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,则2α,2β在第二象限.又0°<α<β<180°,从而可得0°<2α<2β<360°,因此2α,2β均为钝角

,即90°<2α<2β<180°.于是45°<α<90°,45°<β<90°.∴45°<m7·180°<90°,45°<n7·180°<90°,即74<m<72,74<n<72.又∵α<β,∴m<n,从而可得m=2,n=3.即α=3607°,β=5407°.谢谢观看

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