【文档说明】4.5.3 函数模型的应用（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(34)页，874.693 KB，由飞向未来上传

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4.5.3函数模型的应用4.5.3函数模型的应用1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．2．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．3．通过现实世界不同变化规律的数学

化研究，提升学生数学建模、数据分析的核心素养．(一)教材梳理填空名称解析式条件一次函数模型________________反比例函数模型_________________二次函数模型一般式：_____________顶点式：y＝ax＋b2a2＋4ac－b

24a______y＝kx＋bk≠0y＝kx＋bk≠0y＝ax2＋bx＋ca≠0名称解析式条件指数函数模型y＝b·ax＋ca＞0且a≠1，b≠0对数函数模型y＝mlogax＋na＞0且a≠1，m≠0幂函数模型y＝axn＋ba≠0，n≠1分段函数模型y

＝f(x)，x<m，g(x)，x≥m(二)基本知能小试1．判断正误(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．()(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．()(3)用函数模

型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．()答案：(1)√(2)√(3)×2．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.时间1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A．

y＝log2xB．y＝2xC．y＝x2D．y＝2x解析：逐个检验可得答案为B.答案：B3．某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的

起始年份是(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年解析：设从2018年起，再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件，根据题意，得2(1＋20%)n>6，即1.2n>3，两边

取对数，得nlg1.2>lg3，∴n>lg3lg1.2＝lg3lg3－1＋2lg2≈6.03，又n为整数，∴n的最小值为7，又2018＋7＝2025，∴从2025年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件．

故选D.答案：D题型一指数函数模型[学透用活][典例1]一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为a2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积

的14.已知到今年为止，森林面积为22a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？[解](1)由题意得a(1－p%)10＝a2，即(1－p%)10＝12，解得p%＝1－12110.(2)设经过m年森林面积

为22a，则a(1－p%)m＝22a，即1210m＝1212，得m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，n年后森林面积为22a·(1－p%)n，令22a(1－p%)n≥14a，即(1－p%)n≥24，1

210n≥1232，得n10≤32，解得n≤15，故今后最多还能砍伐15年．[方法技巧]在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用

指数函数模型表示．[变式训练]1．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为________．解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.

9，解得q%＝0.9150，即x年后的湖水量为0.950x·m.答案：y＝0.950x·m2．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自

然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了15.(1)求函数关系式p(t)；(2)要使污染物的含量不超过初始值的11000，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg2≈0.3)解：(1)根据题

意，得45p0＝p0e－k，∴e－k＝45，∴p(t)＝p045t.(2)由p(t)＝p045t≤11000p0，得45t≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg2)≥3，∴t≥30.因此，至少

还需过滤30个小时．题型二对数函数模型[学透用活][典例2]2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质

量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(2m)]＋4ln2(其中k≠0)．当燃料质量为(e－1)m吨时，该火箭的最大速度为4km/s.(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式

；(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)[解](1)由题意得4＝k{ln[m＋(e－1)m]－ln(2m)}＋4ln2，解得k＝8，所以y＝8[ln(m＋x)－ln(2m)]＋4ln2＝

8lnm＋xm.(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x，又y＝8，则8＝8ln479.8479.8－x，解得x≈303.3.故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s.[方法技巧]对数函

数应用题的基本类型和求解策略基本类型有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解求解策略首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数

值回答其实际意义[变式训练]有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝12log3x100－lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量

偏差(参考数据：lg2≈0.30,31.2≈3.74,31.4＝4.66)．(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，同类雌鸟的飞

行速度为1.5km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？解：(1)由题意，x0＝2，x＝8100，得v＝12log38100100－lg2≈1.7，故此时候鸟的飞行速度为1.7km/min.(2)由题意得，当候鸟

停下休息时，它的速度是0，可得0＝12log3x100－lg5，即log3x100＝2lg5＝2(1－lg2)，解得x≈466，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位．(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，由题意得，2.5＝12log3x1100－l

gx0，1.5＝12log3x2100－lgx0，两式相减可得1＝12log3x1x2，解得x1x2＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．题型三建立拟合函数模型解决实际问题[典例3]某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万

元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.(1)若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lgx＋kx＋5(k为常数)是否为符合政

府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg2≈0.3，lg5≈0.7)．(2)若采用函数f(x)＝15x－ax＋8作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．[解](1)对于函数模型y＝lgx＋kx＋5(k为常数)，x＝10

0时，y＝9，代入解得k＝150，所以y＝lgx＋x50＋5.当x∈[50,500]时，y＝lgx＋x50＋5是增函数，但x＝50时，y＝lg50＋6>7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求．(2)对于函数模型f(x)＝15x－ax＋8＝15－120＋

ax＋8，a为正整数，函数在[50,500]上递增．由f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50,500]恒成立，所以a≥315.综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数

a的值为315.[方法技巧]函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数．(5)利用选取的拟合函数进行预测．(6)利

用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．[变式训练]某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.58

7.008.44(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图．（转下页）(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式．(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的

影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？解：(1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得a＋b＝4，3a＋b＝7，解得a＝1.5，b＝2.5，所以f(x)＝1.5x＋2.5.检验：f(2)＝5.5，

且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.所以一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5

)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．[好题共享——选自苏教版新教材]在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为M

f(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润是

收入与成本之差．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？请根据题设条件把下面的解析补充完整．解：由题意知，x∈[1,100]，且x∈N*.

(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝_____________________________＝______________________，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝_______________________________________

________________＝_____________.3000x－20x2－(500x＋4000)－20x2＋2500x－4000－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－400

0)2480－40x(2)P(x)＝－20x－12522＋74125，当_______________时，P(x)的最大值为______(元)．因为MP(x)＝2480－40x是减函数，所以，当x＝1时，MP(x)的最大值为______(元)．因此，利润函数P(x)与边际利润函

数MP(x)______相同的最大值．x＝62或x＝63741202440不具有二、创新性——强调创新意识和创新思维2．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过23的城市处于垃圾的包围

之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升．某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如表：年份x2016201720182019包装垃圾y(万吨)46913.5(1)有下列函数模型：①y＝a·bx－2016；②y＝a(x－2016)＋b；③y＝alg(x＋b)(a＞0，b＞1)．

试从以上函数模型中，选择模型________(填模型序号)，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系，并直接写出所选函数模型的解析式；(2)若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？(参考数据：lg2＝0.3010，lg

3＝0.4771)解：(1)选择模型①，所选函数模型的解析式为y＝4×32x－2016.(2)∵y＝4×32x－2016，∴令y＞40，得4×32x－2016＞40，∴32x－2016＞10，∴x－2016＞log3210＝1lg3－lg2

≈5.6786，∴x＞2021.6786，∴从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨．谢谢观看