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&Engineering第六章化工最优化方法——规划求解6.1规划求解方法及其常用算法6.1.1规划求解方法概述6.1.2单变量最优化问题6.1.3线性规划6.1.4无约束多变量问题最优化6.1.5二次规划6.

1.6非线性规划6.1.7多目标最优化6.2化工过程的设计优化6.3化工过程的操作优化6.4其它化工优化问题6.5全局最优化问题Whichisthebest?Xi’anUniversityofScience&Techno

logyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering本章要求教学目的讲解：线性与非线性规划的一般方法教学要求掌握线性与非线性规划

的原理方法、步骤；精通EXCEL的规划求解工具应用；探索自学用MATLAB进行求解；延伸结合化工其它课程对反应器、塔板设计进行优化教学重点迭代法对线性规划的求解EXCEL的规划求解工具在多目标规划中的应用教学难点线性与非线性优化问题的

单纯形法Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTER

Dept.ofChemicalScience&Engineering6.1规划求解及其常用算法为了完成一项任务或达到一定的目的，怎样用最少的人力、物力去完成或者用最少的资源去完成较多的任务或达到一定的目的，这个过程就是规划。它是运筹学的一个重要分支。通过在一组约束条件的限制下

，求目标函数极值的问题，故又称为最优化方法最优化方法已成为化学工程设计、项目论证、工艺变革及集成、经营管理等方面的一个重要手段。具体内容有：化学化工过程设计；工艺操作参数的优化；过程优化控制；最优生产调度；最佳资源配置等。Xi’anUniversit

yofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.1规划求解方法概述基本概念目标函数最优化问题均涉

及到一个具体的最优目标，如产品收率最终大、能耗最小、纯度要求、成本最终低等。把目标写成数学形式的表达式称为目标函数。约束条件与状态方程变量取范围通常都有一定的限制，这种限制称为约束条件：不等式约束条件限制条件写成不等式形式等式约束条件以等式形式进行限定在化工过程的最优化问题

中，物料衡算式、热平衡方程、动量守衡式均属等式约束，又称为系统或系统的状态方程。Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTE

RDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.1规划求解方法概述决策变量和状态变化、系统自由度、状态变量能描述系统的特征、行为的一组变量，其值应根据实际情况选取；决策变量由决策者根据目标或约束条件而确定操作变量或控制变量，在化工系统中通常将能控制的变

量如温度、压力、流量等做为决策变量。自由度在最优化问题中决策变量的个数称为自由度在确定系统的状态变量与决策变量时必须遵循的原则：状态变量数＝状态方程数决策变量数＝变量总数－状态变量数Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:J

answeili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.1最优化方法概述规划求解问题的一般形式：X={x1,x2,….,xn}1.

.()0,1,2,3,...()0,,...,min()nieieluxRstGximGximmxxxJFx+====目标函数:约束条件参数边界若未知变量数等于独立等式约束方程数me+独立不等式约束方程数mi,则不管优化准则如何，至少存在一个解

。当约束条件中模型为非线性关系时，则存在多个解。决策变量Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583

997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.2规划求解问题的分类根据变量、目标函数和约束条件的不同，最优化问题可分为：根据目标函数与状态方程的线性与非线性关系可分：线性优化非线性优化有无约束条件无约束条件优化有约束条

件优化目标函数的个数：单一目标函数优多目标优化是否与时间有关？静态规划动态规划Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTER

Dept.ofChemicalScience&Engineering6.1.2规划求解问题的分类例1、有一正方形铁皮，如何截取x使容积为最大？xa()22xxav−=此为无约束极值问题02222=−+−−)()()(xaxxa6ax=0=dxdvXi’anUniversityofScienc

e&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.2规划求解问题的分类例2某机床厂生产甲、乙两种机床，每

台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为机器10小时、机器8小时和机器7小时，问该厂

应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产台甲机床和乙机床时总利润最大，则应满足目标函数约束条件s.t.12max40003000zxx=+++0,781022122121xxxxxxxXi’anUniversityofScience

&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.2规划求解问题的分类例3、某厂计划在下一个生产周期内

生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。试建立此问题的数学模型。12070单件利润3000103设备台时2

00054煤炭360049钢材资源限制乙甲单位产品消耗资源maxZ=70x1+120x29x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1，x2≥0maxZ1=70x1+120x2maxZ2=x1maxZ3=x29

x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1，x2≥0（1）（2）Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@

xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.2单变量优化问题数学模型：求解单变量函数最优化方法有时又称一维搜索法，可根据情况采用：1、选择初始点，尽量靠近最优解

2、产生方向，使得f(x)从x(k)出发,沿着方向d(k)，可以找到xk+1)，有所下降。3、方向d(k)确定后，求λ使得f(x)下降最多，即求f(x(k)+λd(k))对λ的极值。4、检验新得到的迭代点是否满足要求。12min()xJfxx

xx=Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineer

ing6.1.2单变量优化问题直接法目标函数是不需要求导，收敛速度较慢黄金分割法算法简单、稳定二次多项式近似法三次多项式似近法间接法需要用到目标函数的导数，收敛速率较快牛顿切线法割线法三次插值法收敛速度

快，若目标函数易求导，可优先考虑Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Eng

ineering6.1.2单变量优化问题对分法在区间[a,b]上，f’(a)<0,f’(b)>0,则在a，b之间必有f(x)的极小点，为了找到极小点，取试探点X(k)=(a+b)/2,若f’(X(k))>0,则取[a,X(k)]为新区间，若f’(X(k))<0,则取[X(k)

,b]为新区间.直到，f’(X(k))充分小或区间充分小时停止取当前区间的中点为极值点。abf(x)xzXi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—

85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.2单变量优化问题黄金分割法(0.618法）GoldenSection0.618法适用于单峰函数，即在所讨论的区间[a,b]上,函数有一个极小

点0.618的意义：x2+x－1=0的解（正根）在当前区间内选择两个试探点，x1，x2X1<x2若f(x1)>f(x2),则新区间取为[x1,b]若f(x1)<=f(x2),则新区间取为[a,x2]abf(x)xzx1x2试探点的取法按照：X1=a+0.382(b-a

)X2=a+0.618(b-a)直到区间长度小于预设值，区间内任意点均可作为所求极小点的近似。Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Janswei

li@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.2单变量优化问题牛顿迭代法思想：用二阶泰勒多项式近似目

标函数，极值点处导数为0用近似多项式的极值点代替目标函数的极值点，得到一个点列。f(x(k+1))=f(x(k))+f’(x(k))(x-x(k))+0.5f’’(x(k))(x-x(k))2f’(x(k+1))=f’(x(k))+f’’(x(k))(x-x(k))=0x(k+1

)=x(k)-f’(x(k))/f’’(x(k))直到f’(x(k))充分小。Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.e

du.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering例：建立直角坐标，图中阴影部分及边界上的点均为其解，是由约束条件来反映的。)0,(21x

x+++=0,012416482122232max2121212121xxxxxxxxxxZ⑴⑵⑶⑷6.1.3线性规划求解图解法012345678123456⑴⑵⑶⑷作图∴最优解：x1=4x2=2有唯一最优解，Z=14x2x1(42)EXCEL规

划求解Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemical

Science&Engineering2、解的基本定理⑴线性规划问题的可行域是凸集（凸多边形）。凸集凸集不是凸集顶点⑵最优解一定是在凸集的某一顶点实现（顶点数目不超过个）Cmn⑶先找一个基本可行解，与周围顶点比较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为止。(4)解的情况唯一解无穷解无界解无可行

解有最优解无最优解Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDe

pt.ofChemicalScience&Engineering例二、+++=0,021223622max212212121xxxxxxxxxZ⑴⑵⑶无穷多最优解x1x26.1.3线性规划求解图解法Xi’anUniversityofScience&Techn

ologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&Engineering6.1.3线性规划求解图解法例三、−−++=0,122min21212

121xxxxxxxxZ⑴⑵无界解x1x2Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScie

nce&Engineering6.1.3线性规划求解图解法++−=0,632123min2121211xxxxxxxxZ⑴⑵x1x2无可行解++++=0,15051003217025

1810max2121212121xxxxxxxxxxZ−+−+=0,4322232max212212121xxxxxxxxxZ例四、作业Xi’anUniversityofScience&TechnologyPART2Email:Jansweili@xust.edu

.cnPhone:029—85583997CHEMCOMPUTERDept.ofChemicalScience&EngineeringExcel在规划求解中的应用例如某选煤厂自建电厂可选择五种原煤进行配比（各煤质参数如表1所示），其中煤样三和煤样五由于产

量较低，仅能满足发电用煤的30%和50%。试根据锅炉对燃煤的设计要求进行配煤优化：各煤样煤质分析情况煤样名称水分%灰分%挥发分%硫分%发热量价格元/t最大配比配比量X%煤样一5.353.9534.10.5128.01280100%煤样二4.1638.7617.721.3615

.9180100%煤样三9.8112.9926.251.8224.4726530%煤样四15.17.7327.680.2524.85276100%煤样五8.423.6324.560.8621.3222150%设计下限2021.32参数上限1230280.825.09100.00%Xi’an

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e&EngineeringExcel在规划求解中的应用约束条件目标函数现要求分三种方案对电厂用煤配比进行优化，方案一追求发电吨煤成本最低，方案二考虑在满足锅炉燃烧性能基础上，最大限度地利用尾煤（煤样二）方案三考虑在优质煤（煤样一）供应不稳定时尽可能降低此煤配比。EXCEL规划求解