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第4章优化设计总结与工程实例4.6优化设计中应注意的几个问题通常在选择优化方法时，首先应明确数学模型的特点。例如优化问题的规模(即维数、目标函数及约束函数的数目)，目标函数及约束函数的性质(非线性程度、连续性及计算时的复杂程度)以及计算精度

等。这些特点是选择优化方法的主要依据。选择优化方法时，还要考虑它本身及其计算程序的特点。例如，该方法是否已有现成的程序可用；编制程序所要花费的代价；程序的通用性或普遍性，即能否用它来解多种类型的问题；解题规模；使用该程序的简便性及计算机执行该程序需要花费的

时间和费用，程序的机动性，优化方法的收敛速度、计算精度、稳定性及可靠性等。4.6.1优化方法的选择在实际工程设计问题中，有时会遇到离散型设计变量的情况，这时可采用下述方法求解。1．凑整解法这种方法是将离散变量先假定为连续变量，在取得最优解后，再进

行必要的处理，将求得的非离散值调整到离其最近的可行的离散值，并计算该值相邻各点的函数值，找出其中可行的最小点。2．网格法网格法是一种最简单的直接求优法，是一种穷举法。它既可用于连续设计变量的约束优化问题，又可用于具有离散型设计变量问题的求优。3．随机试验法从规定离散数的集合中随机抽样，计算那些可行

点的目标函数值并保留函数值最小的点，也可以寻得离散最优解。除上述方法外，处理离散型设计变量的优化设计问题，还可采用离散复合形法和离散罚函数法等。4.6.2离散变量的处理在实际工程设计问题中，常常同时有几项

设计指标都希望达到最优值，即所谓的多目标函数优化问题。多目标函数优化问题的数学模型为4.6.3多目标函数优化问题的处理min()(1,2,,).()0,1,2,,;()0,1,2,ijjFiqgjmhjmmp====++XXXs.t（4-63）在上述目标函数的

最优化问题中，各个目标函数12(),(),,()qFFFXXX的优化往往是互相矛盾的，不能同时达到最优解；甚至有时还会产生完全对立的情况，即对一个目标函数是优点，对另一目标函数却是劣点。这就需要在各个目标的最优解之间进行协调，以便取得整体最优方案。由此，多目标函数的最优化问题要比单目标函数的最优化

问题复杂得多，求解难度也较大。特别应当指出的是多目标函数的最优化方法虽有不少，但有些方法的效果并不理想，需要进一步研究和完善。下面介绍几种多目标函数的最优化方法。1．主要目标法主要目标法的思想是抓住主要目标，同时兼顾次要目标。求解时将全部目标函数按其重要程度排列，选择最重要的

作为主要目标，而其他目标只需满足一定要求即可。为此，可将这些目标转化成约束条件。也就是用约束条件的形式来保证其他目标不致太差。这样处理后，就成为单目标优化问题。对于式（4-63）的多目标优化问题，求解时可在个目标函数中选择一个作为主要目标，则问题变为q

()kFXminmaxmin().()0,1,2,,;()0,1,2,,(),1,2,,,kjjiFgjmhjmmpFFFiqik===++=XXXXs.t（4-64）minFmaxFi式中、为第个目标函数的上、下限。2．统一目标法统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标

优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。3．分层序列法及宽容分层序列法分层序列法及宽容分层序列法是将多目标优化问题转化为一系列单目

标优化问题的求解方法。基本思想是将多目标优化问题式（4-63）中的目标函数分清主次，按其重要程度逐一排除，然后依次对各个目标函数求最优解，不过后一个目标函数应在前面各目标函数最优解的集合域内寻优。4．协调曲线法在多目标

优化设计问题中，当各个分目标的最优解出现矛盾时，为了使某个较差的分目标也达到较理想的值，需要以增大其他几个目标函数值为代价，这就是说，各分目标函数值之间需要进行协调，以便最终取得一个从工程实用观点上看对各分目

标都可以接受的最合理方案，这种方法称为协调曲线法。对于计算结果给出的设计变量值，需要核查它们的可行性与合理性。4.6.4优化结果的分析对于大多数实际工程设计问题，最优解往往位于一个或几个不等式约束条件的约束面上，这时，最优解所在的约束面的约束函数值应等于或接近于0。如果所有的约束函数值全不

接近于0，则应仔细检查原因，考虑数学模型或最优化过程是否有误。为此，可改变初始点或重选优化方法进行计算。4.7工程优化设计应用前面几节介绍了工程优化设计的有关理论及方法，本节以实例阐述如何运用这些理论及方法来解决工程优化设计问题。4.7.1工程优化设计的一般工作步骤工程优化设

计包含两方面的工作：一是根据具体设计要求，建立工程优化设计数学模型；二是选择合适的优化方法及程序进行求解。进行工程问题优化设计时，其一般工作步骤如下：1.建立工程优化设计数学模型解决工程优化设计问题的关键，是建立正确的优化数学模型。为此，要正确地选择设计变量、目标函数和约束条件

，并把它们组合在一起，成为一组能准确地反映工程优化设计问题实质的数学表达式，同时，要使建立的数学模型容易处理和求解。因而，建立优化数学模型的要求是：一要正确，二要易于求解。2.选择合适的优化方法和计算程序为求解工程优化设计的

数学模型，应优先选择可靠性好，收敛速度快，算法稳定性好及对参数敏感性小的优化方法和计算程序。为了便于对工程优化问题的求解，目前国内外均已开发出通用的优化程序库，使得优化方法和计算程序的选择不再是困难的问题。3.编写主程序和函数子程序，上机调试和计算，求得最优解一个完整的优化

运行程序应由如下三个部分组成：优化运行程序＝主程序＋优化模型函数子程序＋优化算法子程序因此，工程优化设计人员是在调用优化程序求解自己的实际问题时，应按要求编写主程序和优化问题数学模型的函数子程序，将它们与优化程序库联成一个完整的应用软件系统。然后上机调试和计算，

求得优化问题的最优结果。4.对优化结果进行分析，确定最优解求得优化结果后，应对其进行分析、比较，看其是否符合实际，是否满足设计要求，以决定是否采用。若发现它不符合实际或不满足设计要求，应考虑修改数学模型或选择不同的算

法求解。为了给工程设计人员提供一个求解优化数学模型的有力工具，目前国内、外许多CAD软件中均开发有优化软件包或优化算法库，如：我国“六五”期间研制的“常用优化方法程序库OPB-1”和“七五”期间开发的“优化方法及计算方法软件库OPB-2”等。这样，工程技术人员在掌握工程

问题优化设计的基础知识和熟悉工程优化软件有关功能的基础上，调用优化工具箱的函数，可简捷方便地处理工程优化设计问题。Pro/EngineerMATLAB4.7.2工程优化设计实例已知单级直齿圆柱齿轮减速器的输入扭矩T1=2674N·m，传动比i=5，现要求确定该减速器的结构参数，在

保证承载能力条件下，使减速器的重量最轻。小齿轮拟选用实心轮结构，大齿轮为四孔辐板式结构，其结构尺寸如图2-43所示，图中△1=280mm，△2=320mm。实例1单级直齿圆柱齿轮传动减速器的优化设计图2-43单级直齿圆柱齿轮减速器结构图(a)传动图；(b)小齿轮；(C)大齿轮解：1.建立数学模

型：(1)齿轮几何计算公式21122''2122'0122'21112'2222'222320'2'2412,,=5,10,1.6,0.25(101.6),0.2,()/4,()/4,()()/4(4)/4,()/42ggdmzdmzmDmzimdddmzi

mdcBVddBVddBVDdBcdcVldd===−==−−==−=−=−−+=++'2'21280/4320/4dd+，，于是该减速器的齿轮与轴的体积之和则为1234VVVVV=+−+从上述计算齿轮减速器体积（

简化为齿轮和轴的体积）的基本公式中可知，体积V取决于：齿轮宽度B、小齿轮齿数z1、模数m、轴的支承跨距、主动轴直径、从动轴直径和传动比等7个参数。其中传动比为常量，由已知条件给定。l'1d'2dii(2)确定设计变量所以，该优化设计问题可取设计变量为以齿轮减速器的重量

最轻为优化目标，而此减速器的重量可以一对齿轮和两根轴的重量之和近似求出。由此，减速器的重量，因钢的密度为常数，所以可取减速器的体积为目标函数。将设计变量代入减速器的体积公式，经整理后得目标函数为：1234()WVVVV=+−+123422221231231322161512361362

222454656()0.785398(4.7585850.920.81.6280320)fXVVVVVxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx==+−+=+−+−+−++++(3)建立目标函数1）为避免发生根切，小齿轮的齿数不应小于最小齿数

，即，于是得约束条件1zminz1min17zz=12()170gXx=−2）传递动力的齿轮，要求齿轮模数一般应大于2mm，故得23()20gXx=−本问题的约束条件，由强度条件、刚度条件、结构工艺条件和参数限制条件等

组成。(4)确定约束条件3）根据设计经验，主、从动轴的直径范围取：12150mm100mm,200mm130mmdd则轴直径约束为35455666()1000,()1500()1300,()2000gXxgXxgXxgXx=−=−=−=−4）

为了保证齿轮承载能力，且避免载荷沿齿宽分布严重不均，要求，由此得5）根据工艺装备条件，要求大齿轮直径不得超过1500mm，若i=5，则小齿轮直径不能超过300mm，即，写成约束条件为03001−d121(1)670HHiKTBdi+=6）按齿轮的齿面接触强度条件，有式中

，。将以上各参数代入上式，整理后可得接触应力约束条件212674000Nmm,1.3,855.5N/mmHTK==取FFmYBdKT=112122122674000Nmm,1.3,261.7N/mm,213.3N/m

mFFTK====21,YY7）按齿轮的齿根弯曲疲劳强度条件，有若取若大、小齿轮齿形系数分别按下面二式计算，即；222221220.28240.0003539()0.000001576()0.1690.0066660.0000854YixixYxx=+−=+−

则得小齿轮和大齿轮的弯曲疲劳强度条件为11121231112212322()10261.72()10213.3KTgXxxxyKTgXxxxy=−=−2413()10480.003nFxgXEJ=−

lEJlFn003.048311112352441522;coscoscos210N/mm;20;/64/64tnFTTFmZxxEJdx=======8）根据轴的刚度计算公式：得主动轴的刚度约束条件为式中：

。1212)(−+=WTMW9）主、从动轴的弯曲强度条件对主动轴：轴所受弯矩；coscos2324111xxxTmZlTlFMn===12674000Nmm;20;T==58.01=

33211510.10.1;[]55N/mmWdx−===扭矩校正系数；得主动轴弯曲强度约束为对实心轴：若取：。33222610.10.1;[]55N/mmWdx−===对从动轴：。10）轴的支承跨距按结构关系和设计经验取

++2min25.02dBl式中，为箱体内壁到轴承中心线的距离，现取，则有，写成约束条件为min20mm=04025.02++−dlBmin14616(0.25)()1040xxxgX−+=−可得从动轴弯曲强度约束：6min(),..()0(

1216)ufXXRstgXu=，，，即本优化问题是一个具有16个不等式约束条件的6维约束优化问题。综上所述，可得该优化问题的数学模型为16()()11(,)()()kkuuXrfXrgX==+2.选择优化方法及

优化结果对本优化问题，现选用内点罚函数法求解。可构造惩罚函数为(5)写出优化数学模型(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)123456[,,,,,][230,21,8,420,120,160]TTXxxxxxx==(0)3()87139235.1(mm)fX=

参考同类齿轮减速器的设计参数，现取原设计方案为初始点，即则该点的目标函数值为：。采用鲍威尔法求解惩罚函数的极小点，取惩罚因子递减系数C=0.5，其中一维搜索选用二次插值法，收敛精度；鲍威尔法及罚函数法的收敛精度都取；得最优解：*3

()35334358.3mmfX=该方案比原方案的体积(按目标函数简化计算的部分)下降了59.4%。**1*'*'*12130mm,19,8mm236mm,100mm,130mmBzmldd======*X上述最优解并

不能直接作为减速器的设计方案，根据几何参数的标准化，要进行圆整，最后得：可以验证，圆整后的设计方案满足所有约束条件，其最优方案较原设计方案的减速器体积下降了53.9％。实例2圆柱螺旋压缩弹簧的优化设计现设计一内燃机用的汽门弹簧，如图2-47所示。具体设计要求是：在工作

载荷P=700N作用下，弹簧生产10mm的变形量，要求:弹簧的压并高度≤50mm，弹簧内径D1≥16mm，在满足强度条件的前提下，使设计出的弹簧具有最轻的重量。图2-47圆柱螺旋压缩弹簧的几何参数解：1.建立数学模型1)确

定设计变量由机械零件弹簧设计可知，圆柱螺旋压缩弹簧的基本参数(见图2-47)主要有：弹簧中径D，弹簧丝直径d，弹簧总圈数n，旋绕比c(c=D/d)，许用剪应力[τ]等。由于在c，D和d中，只有两个是独立变量，另外考虑到材料供应的

限制，[τ]也不宜作为设计变量。由此，该优化问题的设计变量可取为2220.254dWnDDdn==22min()0.25fXWDdn==2)建立目标函数该问题的设计目标是要求弹簧的重量最轻，故应将弹簧重量W做为目标函数，W的计算公式为由此，极

小化目标函数为式中，弹簧材料的比重，取。537.810N/mm−=21314428700(1.75)()1008.110xxhXx−=−=弹簧的变形量要求11()100gXx=−21()500gXx=−32()10gXx=−42()200gXx=−53()10gXx=−

63()200gXx=−弹簧结构要求的边界约束规定设计变量的变化范围：10mm≤D≤50mm1mm≤d≤20mm1圈≤n≤20圈3)确定约束条件根据设计要求，该优化问题的约束条件主要有：192()40xgXx=−1102()100xgXx=−7

32()(0.5)500gXxx=−−812()160gXxx=−+弹簧的压并高度要求弹簧的内径要求弹簧的旋绕比范围410DCd=弹簧的强度要求其中取值：弹簧材料的剪切模量；弹簧丝的许用剪切应力；弹簧支承圈数

n2=1.75；弹簧终端类型系数。3min()..()0(1211)()0(1)uvfXXRstgXuhXv===，，，，4)该优化问题数学模型综上所述，得该优化问题的数学模型为2.选用的优化方法及计算结果本优化问题是一个具有11个不等式约束和1个等约束的三维优化问题，是

一个约束非线性优化设计问题。经采用复合形法对该问题进行优化求解，得最佳设计方案为此时，(弹簧重量)，它比常规设计方案减轻重量1.22N。上述结果，再按标准圆整后，可得或D=20mm，d=4.5mm，n=9.98D=20

mm，d=5mm，n=9.98本章作业：习题4-1、4-3、4-5、4-6、4-7、4-8、4-9、4-10、4-11、4-12本章结束ThankYou！