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第2章工程设计方法◼自动控制系统的设计是以系统分析方法即控制系统稳定性理论为基础的。◼整个设计过程既包括根据要求进行综合的过程，也包括根据理论分析对设计进行验证的过程，还包括根据设计任务书要求对系统的评价过程。常用的系统分析方法包括时域分析和频域分析方法。控制系统的分析方法2.12.1.1

控制系统的时域分析方法劳斯判据赫尔维茨判据稳定性判据——赫尔维茨判据◼判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部为正。赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：0)(1110=++++=−−nnn

nasasasasD各阶赫尔维茨行列式为：00aD=11aD=20312aaaaD=3142053130aaaaaaaaD=nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaD000004220

32312242012531−−−−=（一般规定）00a举例：系统的特征方程为：010532234=++++ssss试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。解：第一步：由特征方程得到各项系数=0a=1a=2a=3a

=4a２１３５第二步：计算各阶赫尔维茨行列式200==aD111==aD20312aaaaD=3251=75231−=−=0结论：１０010532)(234=++++=sssssD系统不稳定稳定性判据◼判据之

二：林纳德－奇帕特（Lienard-Chipard)判据系统稳定的充分必要条件为：１．系统特征方程的各项系数大于零，即),,2,1,0(0niai=２．奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即0偶D0奇D

或必要条件举例：◼单位负反馈系统的开环传递函数为：)125.0)(11.0()(++=sssKsG试求开环增益Ｋ的稳定域。解：第一步：求系统的闭环特征方程0)125.0)(11.0()(=+++=KssssD035.002

5.023=+++Ksss第二步：列出特征方程的各项系数。025.00=a35.01=a12=aKa=3第三步：系统稳定的充分必要条件。,0)1(ia0K要求0)2(2D20312aaaaD=即：1025.035.0K=0025.035

.0−=K解得：Ｋ＜１４开环增益Ｋ的稳定域为：140K由此例可见，K越大，系统的稳定性越差。上述判据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。稳定性判据——劳斯判据◼判据之三：劳斯(Routh)判据系统稳定的充分必

要条件是：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零。若系统的特征方程为：01110=++++−−nnnnasasasa则劳思表中各项系数如下图：1302113aaaaac−=2−ns1504123aaaaac−=1706133aaaaac−=3−

ns1323131314ccaacc−=1313351324cacacc−=2s1,1−nc1,2−ncnc,10snnac=+1,1024611357nnsaaaasaaaa−s关于劳斯判据的几点说明◼如果第一列中出现一个小于零的值，系

统就不稳定；◼如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态；◼第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。例1设系统特征方程如下：05432234=++++ssss试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。解：将特征方程系数列成劳

斯表4s1353s2402s24132−1=20152−5=01s15241−6−=00s5+−−+结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。05432234=++++ssss劳斯表判据的特殊情况◼在劳斯表的某一行中，第一列项为零。◼在劳斯表的某

一行中，所有元素均为零。◼在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。例2设系统的特征方程为：0433=+−ss试用劳斯判据确定正实部根的个数。解：将特征方程系数列成劳斯表321104sss－3由表可见，第二行中的第一列项

为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数，这里取a=1。于是得到新的特征方程为：043)1)(43(2343=++−+=++−sssssss将特征方程系

数列成劳斯表：43210134114424sssss−−结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。例3设系统的特征方程为：试用劳思判据确定正实部根的个数。65432237440ssssss+−−−−−

=解：将特征方程系数列成劳斯表65432237440ssssss+−−−−−=劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。65431-2-7-4s1-3-4s

1-3-4s000s用行的系数构造系列辅助方程4s42F(s)=s34s−−求导得：用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到3()460dFsssds=−=65432101-2-7-4s1-3-4s1-3-4s4-6

0s-1.5-4s-16.70s-4s65432237440ssssss+−−−−−=65431-2-7-4s1-3-4s1-3-4s000s3()460dFsssds=−=表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为。再

可求出特征方程的其它两个根为。(-1j3)/22,j控制系统的频域分析方法-Nyquist2.1.22.1.2.12.1.2.22.1.2.3一、Nyquist稳定判据(一)第一种情况：G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时

：令P：S右半平面的开环极点数；Z：S右半平面的闭环极点数；R：乃氏曲线包围(-1,j0)点的圈数。Nyquist稳定判据为:反馈控制系统稳定的充要条件是：当ω由-∞→0→+∞变化过程中，Nyquist图线

逆时针包围临界稳定点(-1,j0)的圈数为R，当它等于该系统开环传函G(s)H(s)在S平面右半部极点的个数P时，则必稳定；否则，必不稳定，且不稳定闭环系统的闭环极点个数Z由下式计算：Z=P-R。注意：当R顺时针时，则Z=P+R，上面判据可为如下说法：即：(1)当P=0时,若ω从-

∞→∞的Nyquist曲线不包围(-1,j0)点,即R=0,则Z=0,闭环系统稳定,否则不稳定(2)当P≠0时,若ω从-∞→∞的Nyquist曲线包围(-1,j0)点R次,则Z=P+R=0系统稳定,否则不稳定(3)

Nyquist曲线通过(-1,j0)点时,临界稳定。例：一单位反馈系统，其开环传函G(s)=12−s，解：S右半平面的开环极点数P=1，而奈氏曲线如图，反时针包围(-1,j0)点一圈，R=1，即Z=P-R=0所以系统稳定.（二）第二种情况当G(s)H(

s)在s平面的虚轴或原点处有极点时，需修正Nyquist轨线无限小半圆上的动点s可表示为：s=εеjθ（ε→0，-90°<θ<90°）映射到G(s)H(s)平面上,则为G(s)H(s)=jjee−=)(1讨论:1型系统G(s)H(s

)=∞−90~902型系统G(s)H(s)=∞−180~180开环传递函数含有γ个积分环节具体画法：可先画出ω从0+→∞的G(s)H(s)的曲线，然后画出ω从0→0+的补充圆弧。圆弧画法为：从ω=0+的

对应点开始，逆时针方向补画一个半径为无穷大，圆心角为900γ的大圆弧，则可连续变化的轨迹。然后上下对称画出另一半。Nyquist稳定判据二:当系统的开环传递函数中有位于原点及虚轴上的极点时,系统G(jω)H(jω)的Nyquis

t曲线在ω从-∞→+∞变化时逆时针包围(-1,j0)点的次数R等于S右半平面开环极点数P,则闭环系统稳定,否则不稳定。例：一单位反馈系统，其开环传函G(s)=)1(2Tssk+,试用奈氏判据判断系统稳定性。解：系统开环幅相曲线如图所示。由图知：R=2。而P=0，所以系统不稳

定。闭环特征方程实部根个数Z=P+R=2稳定裕度稳定裕度实质上是描写系统Nyquist图线远离(-1,j0)点的科学度量，包括相角裕量γ和幅值裕量Kg。γ和Kg常作为频域法校正的指标。幅相曲线越接近临界点(-1,j0

)，系统的稳定性就越差一、相角裕量γ和幅值裕量Kg的定义1．相角裕量γ截止频率（剪切频率）ωC：当A(ω)=1或L(ω)=0时的频率，即称为截止频率ωC。在Nyquist图上，表现为幅相曲线与单位圆交点处的频率。2.1.2.4交界频率ωg：即φ(ωg)=-180o时的角频

率，亦即Nyquist曲线穿越负实轴时的频率。相角裕量γ：γ=180°+φ（ωc）γ的含义：如果系统对频率ωC的信号的相角滞后再增大γ度，则系统处于临界稳定状态。结论：开环稳定系统，若γ>0，系统稳定，表示G(jω)H(jω)曲线不包围（-1，j0）点；γ<0，系统不稳定。2.幅值裕量

KgKg=|))H(jG(j|1gg或Kg（db）=20lgKg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|Kg具有如下含义：如果系统的开环传递函数增大到原来的Kg倍，则系统就处于临界稳定状态。结论：Kg>1或Kg（db）>0,

系统稳定Kg<1或Kg（db）<0,系统不稳定工程上要求:γ=30°-60°,Kg>6db。也可只对γ提要求。例1：单位反馈控制系统开环传递函数21)(sassG+=，试确定使相位裕度=45的a值。解01)(lg20)(22=+=ccaLc

4=a2c2+1=−+=45180)arctan(180caac=1联立求解得42=c84.02/14==a二、系统的Nyquist图和Bode图的对应关系Nyquist图Bode图单位圆0db线实轴负方

向-180°线系统稳定的条件对于最小相角系统：当γ>0时，Kg>1或20lgKg>0系统稳定，γ和Kg越大，系统稳定程度越好。当γ<0时，Kg<1或20lgKg<0，系统不稳定。当γ=0，Kg=1或20lgKg=0时，系统临界稳定。