4.5.1 函数的零点与方程的解(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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【文档说明】4.5.1 函数的零点与方程的解(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册).pptx,共(35)页,1.089 MB,由飞向未来上传

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以下为本文档部分文字说明:

4.5.1函数的零点与方程的解4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体的连续函数及其图象特点,了解函数零点存在定理.3.通过函数零点与方程解的关系、零点

存在定理的学习,提升学生数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.(一)教材梳理填空1.函数的零点对于一般函数y=f(x),我们把使_______的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有_____⇔函数

y=f(x)的图象与x轴有_______.3.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条________的曲线,且有__________,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得___

_____,这个c也就是方程f(x)=0的解.f(x)=0零点公共点连续不断f(a)f(b)<0f(c)=0[思考](1)在零点存在定理中,若f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在(a,b)内存在零点.则满足什么条件时f(

x)在(a,b)上有唯一零点?(2)零点存在定理的逆命题是否成立?提示:(1)当f(x)在(a,b)内连续且单调,且f(a)·f(b)<0时,f(x)在(a,b)上有唯一零点.(2)零点存在定理是不可逆的.因为由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点

,但是,已知函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,不一定能推出f(a)·f(b)<0.如图,虽然在区间(a,b)内函数有零点,但f(a)·f(b)>0.(二)基本知能小试1.判断正误(1)函数的零点是一个点.()(2)任何

函数都有零点.()(3)函数y=x的零点是O(0,0).()(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)<0,则函数在区间[a,b]上至少有一个零点.()(5)函数的零点不是点,它是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,是方程f(x)=0的根

.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.函数f(x)=log2x的零点是()A.1B.2C.3D.4答案:A3.函数f(x)=2x-1x的零点所在的区间是()A.(1,+∞)B.12,1C.13,12D.14,13解析:由f(x)=2x-1x,

得f12=212-2<0,f(1)=2-1=1>0,∴f12·f(1)<0.∴零点所在区间为12,1.答案:B4.函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点有______个.解

析:∵f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),∴由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2.答案:3题型一求函数的零点或判断零点个数[学透用活][典例1]判断下列函数零点的个数.(1)f(x)=x2

-34x+58;(2)f(x)=lnx+x2-3.[解](1)由f(x)=0,即x2-34x+58=0,得Δ=-342-4×58=-3116<0,所以方程x2-34x+58=0没有实数根,即f(x)零点的个数为

0.(2)法一:函数对应的方程为lnx+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=lnx与y=3-x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下,作出两函数的图象(如图).由图象知,函数y=3-x2与y=lnx的图象只有一个交点.从而方程lnx+x2-3=0

有一个根,即函数f(x)=lnx+x2-3有一个零点.法二:由于f(1)=ln1+12-3=-2<0,f(2)=ln2+22-3=ln2+1>0,所以f(1)·f(2)<0,又f(x)=lnx+x2-3的图象在(1,2)上是连续的,所以f(

x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只有一个.[方法技巧](1)零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零.(2)根据函数零点的定义可知,函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,

就是判断方程f(x)=0是否有实根,有几个实根,即函数y=f(x)的零点⇔方程f(x)=0的实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.(3)求函数的零点就是求相应方程的解.[变式训练]1.[求函数的零点]已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1

+log2x,x>1,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2,0C.12D.0解析:当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=12,此时无解.综上所述,函数f(x)的零点

为0.故选D.答案:D2.[判断零点的个数]函数f(x)=lnx-1x-1的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:如图,画出y=lnx与y=1x-1的图象,由图知y=lnx与y=1x-1(x>0,且x≠1)的图象有两个交点.故函数f(x)

=lnx-1x-1的零点有2个.答案:C3.[根据零点的个数求参数]若函数f(x)=|12x-1|-2a有两个零点,则实数a的取值范围是()A.0,12B.(0,1)C.12,+∞D.(1,+∞)解析:由题意可得f(x)=|12x-1|-2a=0,即|12x-1

|=2a,函数f(x)=|12x-1|-2a有两个零点,即函数y=|12x-1|与y=2a的图象有两个交点,作出图象,如图所示:则0<2a<1,即0<a<12.故选A.答案:A题型二判断零点所在的区间[探究发现](1)什

么是函数的零点?(2)f(a)f(b)<0是连续函数f(x)在区间(a,b)上存在零点的什么条件?f(a)f(b)>0时函数在区间上一定没有零点吗?提示:(1)函数的零点是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标.(2

)f(a)f(b)<0是连续函数f(x)在(a,b)上存在零点的充分不必要条件.f(a)f(b)>0时函数在区间(a,b)上不一定没有零点.[典例2](1)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表:x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6不求a,b,c的值

,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在区间是()A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-∞,-3)和(4,+∞)[解析](1)易知f(x)=ax2+bx+c的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)f(-1)=6×

(-4)=-24<0,所以f(x)在(-3,-1)内有零点,即方程ax2+bx+c=0在(-3,-1)内有根,同理方程ax2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A.[典例2](2)f(x)=ex+x-2的零点所

在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)[解析](2)法一:∵f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,∴f(x)在(0,1)内有零点.法二:ex+x-2=0,即ex=2-x,∴

原函数的零点所在区间即为函数y=ex和y=2-x的图象交点的横坐标所在的区间.如图,由图象可得函数y=ex和y=2-x的图象交点所在的区间为(0,1).[答案](2)C[方法技巧]确定函数f(x)零点所在区间的常用方法解方程法当对应方程f(x)=0易

解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上零点存在定理首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点数形结合法通过画函数图象与x

轴在给定区间上是否有交点来判断[变式训练]1.[确定零点所在区间]函数f(x)=2x+log2x-3的零点所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:由题意,可得函数在定义域上为增函数,f(1)=2+log21-3=-1<0,f(2)=2

2+log22-3=5-3=2>0,所以f(1)f(2)<0,根据零点存在定理,f(x)的零点所在区间为(1,2).故选B.答案:B2.[已知零点所在区间求参数值]设x0是方程lnx+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=________.解析:令f(x)=lnx+

x-4,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,∵f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,∴f(x)仅在(2,3)内有零点,∴k=2.答案:23.[已知零点所在区间求参数范围]若函数f(x)=x-13x+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是____

____.解析:易知函数f(x)=x-13x+a在定义域上单调递增,又∵函数f(x)=x-13x+a的零点在区间(1,+∞)上,∴f(1)=23+a<0,∴a<-23.答案:-∞,-23题型三二次函数零

点分布问题二次函数零点的分布,一般有两种题型(1)二次函数在某一个区间内有两个零点,一般情况下需要从以下三个方面考虑:①对应一元二次方程根的判别式;②区间端点函数值的正负;③对应二次函数的图象——抛物线的对称轴x=-b2a在区间内.(2)二次函数在某一个区间内仅有一个零点,只需考虑区间端点函数

值的正负.[典例3]已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,分别求出下列条件成立的情况下,实数a的取值范围:(1)两个零点均大于1;(2)一个零点大于1,一个零点小于1;(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内.[解](1)由已知并结合二次函数的图象,得Δ

=(-2a)2-16≥0,f(1)=5-2a>0,--2a2>1.解得2≤a<52,故实数a的取值范围是2,52.(2)由已知并结合二次函数的图象得f(1)=5-2a<0,解得a>52,因此实数a的取值范围是52,+∞.(3)由已知并结合二次函数的图象与零点存在定

理,得f(0)=4>0,f(1)=5-2a<0,f(6)=40-12a<0,f(8)=68-16a>0,解得103<a<174,因此实数a的取值范围是103,174.[方法技巧]解决根的分布问题的注意事项及方法(1)解决有关根的分布问题应注意以下

几点:①首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.②结合草图考虑四个方面:a.Δ与0的大小;b.对称轴与所给端点值的关系;c.端点的函数值与零的关系;d.开口方向.③写出由题意得到的不等式(组)并检验条件

的完备性.(2)解决此类问题可设出方程对应的函数,根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号,建立不等式,使问题得解.当函数解析式中含有参数时,要注意分类讨论.[变式训练]1.方程x2+2(m-1)x+2m+6=0有两个实根x1,x2,且满足0<x1<1<x2<4,则m的

取值范围是()A.-75,-54B.(-∞,-1)∪(5,+∞)C.-3,-75D.-3,-54解析:设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,由题意可得,f(0)>0,f(1)<0,f(4)>0,即2m+6>0,1+2(m-1)+2m+6<0,16+8(m-1)

+2m+6>0,解得-75<m<-54,故选A.答案:A2.求证:方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.证明:由Δ=69>0,得方程共有两个不等实根,设f(x)=5x2-7x

-1,则f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.∵f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-1的

图象在R上是连续不断的,∴f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有零点,即方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.有一道题“若函数f(x)=24ax2+4

x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,求实数a的取值范围”.某同学给出了如下解答:解:由f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0,解得-18<a<524.所以实数a的取值范围是-

18,524.上述解答正确吗?若不正确,请说明理由,并给出正确的解答.提示:上述解法不正确.因为该同学只考虑了在区间(-1,1)内存在零点,而没有考虑只有一个零点.正解:函数f(x)在区间(-1,1)内恰有一个零点,则方程24ax2+4x-1=0在

区间(-1,1)内恰有一个根,当a=0时,方程24ax2+4x-1=0可化为4x-1=0,解为x=14,成立.当a≠0时,方程24ax2+4x-1=0是一元二次方程,对称轴为x=-112a,Δ=42-4×24a×(-1)=16+96

a,若a>0,对称轴x=-112a<0且Δ>0,由根与系数的关系可知,方程有两个不等的异号实数根,因为方程在区间(-1,1)内恰有一个根,所以f(-1)f(1)<0,解得-18<a<524,又因为a>0,所以0<a<524;若a<0,对称轴x=-112a>

0,因为方程在区间(-1,1)内恰有一个根,所以Δ>0,f(-1)f(1)<0或Δ=0,-1<-112a<1,解得-18<a<0或a=-16.另外,当f(-1)=0,即a=524时,f(x)=5x2+4x-1,令f(x)=0,可得x=15或x=-1,因为-1∉(-1,1),所以

函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个零点,即a=524符合题意.同理:当f(1)=0,即a=-18时也符合题意.综上,实数a的取值范围为-18,524∪-16.二、创新性——强调创新意识和创新思维2.[好题共享——选自苏教版新教材]已知

定义在R上的函数y=f(x)的图象是一条不间断的曲线,f(a)≠f(b),其中a<b,设F(x)=f(x)-f(a)+f(b)2,求证:函数F(x)在区间(a,b)上有零点.证明:∵f(x)在(a,b)上不间断,∴F(x)=f(x)-f(a)+f(b)2在(a,b)上

连续.又∵f(a)≠f(b),∴f(a)-f(b)≠0.F(a)=f(a)-f(a)+f(b)2=f(a)-f(b)2,F(b)=f(b)-f(a)+f(b)2=f(b)-f(a)2,∴F(a)F(b)=f(a)-f(b)2·f(b)-f(a)2=-[f(a)

-f(b)]24<0,即F(a)F(b)<0.∴函数F(x)在区间(a,b)上有零点.谢谢观看

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