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《电力系统稳态分析》第四章复杂电力系统潮流的计算机算法1第四章复杂电力系统潮流的计算机算法基本要求：本章着重介绍运用电子计算机计算电力系统潮流分布的方法。它是复杂电力系统稳态和暂态运行的基础。运用计算机计算的步骤，一般包括建立数学模型，确定解算方法，

制定框图和编制程序，本章着重前两步。2本章知识点：◼1、节点导纳矩阵，节点导纳矩阵各元素的物理意义，如何由节点导纳矩阵形成节点阻抗矩阵，节点阻抗矩阵各元素的物理意义，导纳矩阵与阻抗矩阵的对称性和稀疏性；◼2、网络节点分类，数学模型中已知条件和待求量；◼3、牛顿－拉夫逊迭代法原理，牛顿－拉夫逊迭代法

直角坐标形式的功率误差方程和电压误差方程，牛顿－拉夫逊迭代法极坐标形式的雅可比矩阵与修正方程，两种修正方程的不同点，牛顿－拉夫逊迭代法两种坐标系潮流计算求解步骤；3◼5、P－Q分解法潮流计算，P－Q分解法与牛顿－拉夫逊的关系，由牛顿－拉夫逊法导出P－Q分解法用到了几个近似条件，各近似条件的

物理意义，P－Q分解法的修正方程式，P－Q分解法与牛顿－拉夫逊的迭代次数与解题速度，P－Q分解法分解法潮流计算求解步骤。▪4、高斯－赛德尔法潮流原理，非线性节点电压方程的高斯－赛德尔迭代形式，PV节点向PQ节点转化的原因和

方法；44－1电力网络方程◼电力网络方程指将网络的有关参数和变量及其相互关系归纳起来组成的，反映网络特性的数学方程式组。如节点电压方程、回路电流方程，割集电压方程。相应有：◼（1）节点导纳矩阵◼（2）节点阻抗矩阵◼（3）回路阻抗矩阵56网络元

件：恒定参数发电机：电压源或电流源负荷：恒定阻抗～电力网代数方程一、节点电压方程7一、节点电压方程注意：零电位是不编号的负荷用阻抗表示以母线电压作为待求量～～1234电力系统结线图1234E1E4电力系统等值网络8电压源变为电流源以零电位作为参考，根据基尔霍夫电流定律12112110)

(IUUyUy=−+0)()()(422432232201212=−+−++−UUyUUyUyUUy0)()(33043342323=+−+−UyUUyUUy444034342424)()(IUyUUyUU

y=+−+−一、节点电压方程1、节点导纳方程124I1y243I4y10y12y20y23y34y40y3094444343242434333232424323222121121211100IUYUYUYUYUYUYUYUYUYU

YIUYUY=++=++=+++=+一、节点电压方程1、节点导纳方程1034244044342330331224232022121011yyyYyyyYyyyyYyyY++=++=+++=+=其中344334244224233223122112yYYy

YYyYYyYY−==−==−==−==一、节点电压方程1、节点导纳方程11nnnnnnnnnnIUYUYUYIUYUYUYIUYUYUY=+++=+++=+++221122222121112121111、节点导纳方程n个独立节点的网络，n个节点方程一、节点电压

方程12=nnnnnnnnIIIUUUYYYYYYYYY2121212222111211n个独立节点的网络，n个节点方程一、节点电压方程1、节点

导纳方程13IYU=n个独立节点的网络，n个节点方程Y节点导纳矩阵Yii节点i的自导纳Yij节点i、j间的互导纳一、节点电压方程1、节点导纳方程14kjUkiikikikjkjUIYniIUYkjnjUU======,0),,2,1(),,,2,1(0,0

Y矩阵元素的物理意义一、节点电压方程1、节点导纳方程15+====jkjkkkkjUkkkkyyYUIYkiifj0),0(Y矩阵元素的物理意义自导纳Ykk：当网络中除节点k以外所有节点都接地时，从节点k注入网络

的电流同施加于节点k的电压之比Ykk：节点k以外的所有节点都接地时节点k对地的总导纳一、节点电压方程1、节点导纳方程16ikkiikkikiyYYUIYkiif−===Y矩阵元素的物理意义互导纳Yki：当网

络中除节点k以外所有节点都接地时，从节点i注入网络的电流同施加于节点k的电压之比节点i的电流实际上是自网络流出并进入地中的电流，所以Yki应等于节点k、i之间导纳的负值一、节点电压方程1、节点导纳方程17一、节

点电压方程1、节点导纳矩阵Y3I4y10y12y20y23y34y40y30I1124节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定18一、节点电压方程1、节点导纳矩阵Y)0(4444321====UUUUIY0443442441444yUyUyUyUI

+++=4034241444yyyyY+++=1234－y10y12y20y23y24y34y401I3I2I4I4U＋1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定19一、节点电压方程

1、节点导纳矩阵Y)0(4114321====UUUUIY01=I014=Y1234－y10y12y20y23y24y34y401I3I2I4I4U＋1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳和

互导纳的确定20一、节点电压方程1、节点导纳矩阵Y)0(4224321====UUUUIY2442yUI−=2424yY−=1234－y10y12y20y23y24y34y401I

3I2I4I4U＋1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定21一、节点电压方程1、节点导纳矩阵Y)0(4334321====UUUUIY3443yUI−=3434yY−=

1234－y10y12y20y23y24y34y401I3I2I4I4U＋1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定22节点导纳矩阵Y的特点1.直观易得2.稀疏矩阵3.对称矩阵一、节点电压方程23UZI=Z矩阵元素的物理意义IYU=

=nnnnnnnnUUUIIIZZZZZZZZZ2121212222111211一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵24UZI=Z=Y-1节点阻抗矩阵Zii节点i的自阻抗或输入阻

抗Yij节点i、j间的互阻抗或转移阻抗Z矩阵元素的物理意义一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵25kjIkiikikikjkjIUZniUIZkjnjII======,0),,2,1(),,,2,1(0,0Z矩阵元素的物理意义一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵2

6kjIkkkkjIUZikif===,0在节点k单独注入电流，所有其它节点的注入电流都等于0时，在节点k产生的电压同注入电流之比从节点k向整个网络看进去的对地总阻抗Z矩阵元素的物理意义一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵27kjIkiikjIUZikif==,0在节点

k单独注入电流，所有其它节点的注入电流都等于0时，在节点i产生的电压同注入电流之比Z矩阵元素的物理意义互阻抗一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵28一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵1234I1I4z10z12z20z23z24z34z40z30节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确定29)0(4

444321====IIIIUZ一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵1234z10z12z20z23z24z34z404I1U3U2Uz30节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确

定30一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵)0(4114321====IIIIUZ1234z10z12z20z23z24z34z404I1U3U2Uz30节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确定31一、节点电压方程2、节点阻抗矩

阵)0(4224321====IIIIUZ1234z10z12z20z23z24z34z404I1U3U2Uz30节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确定32一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵)0(4334321====IIIIUZ

1234z10z12z20z23z24z34z404I1U3U2Uz30节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确定33Z矩阵的特点1.复杂难求（Y－1，支路追加法）2.满矩阵一、节点电压方程2、节点阻抗矩阵34二、回路电流方程回路阻抗矩阵1234

z'10z12z20z23z24z34z'40z30++--aEbEaIbIcIdIdcbdcbadcbbcaaIzzzIzIzIzIzzzIzIzIzIzIzzzEIzIzzzE)(0)(0)()(34242323342330

23203020343030344020202110+++−−=−+++−−=−−++=−−++=35二、回路电流方程回路阻抗矩阵dddccdbbddcdcccbbcadbdcbcbbbbcaca

aaaIZIZIZIZIZIZIZIZIZIZEIZIZE++=+++=++=−+=002036mmmmbmbamabmbmbbbabaamambabaaaEIZIZIZEIZIZIZEIZIZIZ

=+++=+++=+++m个独立回路的网络，m个节点方程二、回路电流方程回路阻抗矩阵37=mbambammmbmabmbbbaamabaaEE

EIIIZZZZZZZZZm个独立回路的网络，m个节点方程二、回路电流方程回路阻抗矩阵38LLLEIZ=m个独立回路的网络，m个节点方程ZL回路阻抗矩阵IL回路电流列相量；（习惯取顺时针的电流流向为正

）EL回路电压源电势的列相量，与IL方向一致为正。二、回路电流方程回路阻抗矩阵39ZL矩阵元素的物理意义Zii：自阻抗，环绕回路i所有支路阻抗的总和；Zij：互阻抗，回路i和回路j共有的阻抗，其中Zij＝Zji，如回路j、i无共有阻抗，则Zij＝

Zji＝0二、回路电流方程回路阻抗矩阵40二、回路电流方程回路阻抗矩阵ZL矩阵的特点1.对称矩阵2.稀疏矩阵41三、节点导纳矩阵Y矩阵的修改不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况、变压器的投切或变

比的调整等）改变一个支路的参数或它的投切只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因此仅需对原有的矩阵作某些修改。42三、节点导纳矩阵Y矩阵的修改电力网ijijijYYY+=)0(不同的运行状态，（如不同结线方式下的运行状况、变压器的投切或变比的

调整等）YYY+=)0(43三、节点导纳矩阵Y矩阵的修改=nnnjninnjnjjjijjinijiiiinjinjiYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

21212122222211111211)0(电力网44电力网yikikY增加一行一列（n＋1）×（n＋1）iiiiiiikiiikkiikikkkYYYyYyYYyY+==−===)0(（1）从原网络引出一条支路增加一个节点三、节点导纳矩阵Y矩阵的修

改45Y阶次不变ijjiijijjjiiyYYyYY−====电力网yijij三、节点导纳矩阵Y矩阵的修改（2）在原有网络节点i、j之间增加一条支路ijijjiijiiiiiiYYYYYYY+==+=)0()0(46Y阶次不变ijjiiji

jjjiiyYYyYY==−==yij电力网ij（3）在原有网络的节点i、j之间切除一条支路三、节点导纳矩阵Y矩阵的修改ijijjiijiiiijjiiYYYYYYYY+==+==)0()0(47三、节点导纳矩阵Y矩阵的修改电力网ij

-yijy'ij（4）在原有网络的节点i、j之间的导纳由yij改变为y'ijijijjjijijjiijijijiiyyYyyYYyyY−=−==−=ijijjiijiiiijjiiYYYYY

YYY+==+==)0()0(48三、节点导纳矩阵Y矩阵的修改（5）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由k*改变为k*'ZⅠZⅡijk*:1ZTZⅠZⅡijyT/k*2**1kkyT−**1kkyT−49三、节点导纳矩阵Y矩阵的修改（5）在原有网络的节点i、j之间

变压器的变比由k*改变为k*'TTTTTiiykkkkykykkykyY)11()1()1(2*2*2***2***−=−+−−+=0)1()1(******=−+−−+=kkykykkykyYTTTTjj**kykyYYTTi

jij−==504－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程GG12111~GGGjQPS+=222~GGGjQPS+=111~LLLjQPS+=222~LLLjQPS+=1U

2U等值电源功率等值负荷功率（a）简单系统514－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程GG12111~GGGjQPS+=222~GGGjQPS+=111~LLLjQPS+=222~LLLjQPS+

=1U2Uy10y20y12（b）简单系统的等值网络524－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程12111~~~LGSSS−=1U2Uy10y20y12——111LGIII−=222LGIII−=222~~~LGSSS−=)90(12201

2102211sjseyyyyyYY−−=+=+==)90(121212mjmeyyYY−−−=−==（c）注入功率和注入电流534－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程12111~

~~LGSSS−=1U2Uy10y20y12——111LGIII−=222LGIII−=222~~~LGSSS−=1*1*1212111USIUYUY==+111jeUU=222jeUU=（c）注入

功率和注入电流2*2*2222121USIUYUY==+544－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程2*2222*1212*1*2121*1111*UUYUUYSUUYUUYS+=+=22*22*21*21*212*12*11*11*1UUYUUY

SUUYUUYS+=+=22)90()(12)90(22)(12)90(21)90(112121UeyeUUeyjQPeUUeyUeyjQPsmmsjsjjmjjmjs−−−−−−−+−=+−=+554－2功率方程及

其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程mmssmmssLGUUyUyUUyUyPPP−−+=−+−−−=−=)(sinsin)90cos()90cos(212121212121111mm

ssmmssLGUUyUyUUyUyQQQ−−−=−+−−−=−=)(coscos)90sin()90sin(121222121222111mmssmmssLGUUyUyUUyUyPPP−−+=−+−−−=−=)(sinsin)90co

s()90cos(121222121222222mmssmmssLGUUyUyUUyUyQQQ−−−=−+−−−=−=)(coscos)90sin()90sin(212121212121111564－2功率方程及其迭代解法一、功

率方程和变量、节点的分类1、功率方程)cos(cos)sin(sin211221111211221111mmssLGmmssLGUUyUyQQQUUyUyPPP−−−=−=−−+=−=)cos(cos)sin(sin121222222121222222mmssLG

mmssLGUUyUyQQQUUyUyPPP−−−=−=−−+=−=mmssLLGGmmssLLGGUUyUUyQQQQUUyUUyPPPPcos)cos(2)(cossin)cos(2)(sin21122221212121122221

2121−−+++=+−−+++=+574－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程mmssmmssUUyUUyQUUyUUyPcos)cos(2)(cos)sin)cos(2)(sin2112222121122221−−+=−−+=决定功率大

小的是相对相位角或相对功率角)(21−有功、无功功率损耗为：584－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类除网络参数外，共有十二个变量（1）负荷消耗的有功、无功功率－PL1、PL2、QL1、QL2。取决于用户，不可

控变量或扰动变量，用列向量d表示。（2）电源发出的有功、无功功率－PG1、PG2、QG1、QG2。控制变量，用列向量μ表示。（3）母线或节点电压的大小和相位角－U1、U2、δ1、δ2。状态变量或受控变量，U→Q，δ→P，用列向量x表

示。594－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类对于n个节点，变量数增为6n，其中d、μ、x各2n个。将上述变量进行分类后，只要已知或给定扰动变量和控制变量，就可运用功率方程式解出状态变量U，δ。但是当δ1、δ2变化同

样大小时，功率的数值不变，从而不可能求出绝对相位角，相应的功率损耗也不能确定。?604－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类为克服上述困难，在一个具有n个节点的系统中，对变量的给

定稍作调整：（1）只给定（n-1)对控制变量PGi、QGi，余下一对控制变量PGs、QGs待定，以使系统功率保持平衡；（2）给定一对δs、Us，其中；PLi、QLi均为已知。求解（n-1)对状态变量及一对待定的控制变量==00.1sssUU614

－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类得出的解应满足如下约束条件：控制变量maxminGiGiGiPPPmaxminGiGiGiQQQ取决于一系列的技术经济因素00==GiGiQP、无电源的节点：624－2功率方程及

其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类得出的解应满足如下约束条件：节点状态变量保证系统的稳定性良好的电压质量maxmaxminjijiiiiUUU−−扰动变量不可控、LiLiQP634－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类3、节点的分类

为定值，以保证即电源可调节、、而是、、有些节点iGiiGiiGiiiGiGiUQQUPUQP644－2功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类3、节点的分类(1)PQ节点：PLi、QLi；PGi、QGi，即相应的Pi、Qi给定，待求Ui、δi。如按给定有功、

无功发电的发电厂母线和没有其他电源的变电所母线(2)PU节点：PLi、PGi，从而Pi给定；QLi、Ui给定。即相应的Pi、Ui给定，待求QGi、δi。如有一定无功储备电源变电所母线（很少，甚至没有）。(3)平衡节点：一般只有一个。设s节点为平衡节点，则：PLs、QLs；Us、δs

给定，Us＝1.0，δs＝0。待求PGs、QGs。654－2功率方程及其迭代解法二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）333323213123232221211313212111yxaxaxayxaxaxayxaxaxa=++=++=++设有方程组

664－2功率方程及其迭代解法二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程））－－（＝）－－（＝）－－（＝可改写为：223131333332312122223132121111111xaxayaxxaxayaxxaxayax674－2功率方程

及其迭代解法二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程））－－（＝）－－（＝）－－（＝迭代格式为：（（（（（（)1223)1131333)13)(323)1121222)12)(313(212111)1111)1++++++kkkkkkkkkx

axayaxxaxayaxxaxayax684－2功率方程及其迭代解法二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）若式中的aij对于Yij、xi对应Ui，yi对应iiUS

~个节点：则对于第iUSUYBBB*=−−=−=+==nijjjijiiiiiiiiinijjjijiiiUYUjQPYUUjQPUYUY111694－2功率方程

及其迭代解法二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其余为PQ节点，则有：−−−−−=−−−−−=+++)(3)1(232131)(3

3333)1(3)(2)(323121)(22222)1(211knnkkkknnkkkUYUYUYUjQPYUUYUYUYUjQPYU704－2功率方程及其迭代解法二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）此时可用迭代法求解。如设节点1

为平衡节点，其余为PQ节点，则有：−−−−=−−−−−−=+−−+++++−−+)1(11)1(2211)()1()()(11)1(1111)()1(11knnnk

nnknnnnnknkninkiiikiiiikiiiiikiUYUYUYUjQPYUUYUYUYUYUjQPYU714－2功率方程及其迭代解法二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其余

为PQ节点，则有：；＝，一般先假设一组）（）（=00.1),,3,2,1()1(00iiUniU；计算),,3,2,1()2()1(niUi=）。式不满足，则回到（给定的允许误差；如该为事先，，检验）（2),,3,2,1()3()(

1niUUkiki=−+计算步骤为：724－2功率方程及其迭代解法二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）对各类节点的计算和处理由于节点的类型不同，已知条件和求解对象不同，约束条件不同，在计算过程中的处理不同。（1）PQ节

点：按标准迭代式直接迭代；（2）PV节点：已知的式Pp和Up，求解的是Qp，δp；按标准迭代式算出Up(k)，δp(k)后，首先修正:)()(kppkpUU=然后修正)](Im[]Im[)(**)1(*12

*1*1*)()(*)()(kjnpjpikjpjpipkpkpkpkpUYUYUYUIUQ=+−=++==734－2功率方程及其迭代解法二、高斯－赛德尔迭代法（既可解线性，也可解非线性方程）对各类节点的计算和处理检查无功是否越限，如越限，取限值,此时：P

V→PQmax)(minpkppQQQ)1()(+kpkpUQ计算然后再用−−−−−−=+++−−+)()(11)1(1111)()1()(1knpnkpppkppppkpppppkpUYUYUYUYUjQPYUk744－2功率

方程及其迭代解法三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）原理：求解此方程。设有非线性方程0)(=xf将满足，则真解，它与真解的误差为先给定解的近似值,)0()0()0()(xxxxxo+=0)()0()0(=+xxf按泰勒级数展开，

并略去高次项0)()()0()0()0(=+xxfxf754－2功率方程及其迭代解法三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）原理：)()()0()0()0(xfxfx−=)0()0()1(xx

x+=修正)()()1()1()1(xfxfx−=2)(1)()(kkxxf或直至)(kx)1(+kx)2(+kx)3(+kx764－2功率方程及其迭代解法三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）nn

nnnyxxxfyxxxfyxxxf===）））非线性方程组：,,,(,,,(,,,(2122121211774－2功率方程及其迭代解法三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程），则有：，，，与精确解相差。设近似解，，，其近似解为nnxxxxxx21)0()0(2

)0(1nnnnnnnnyxxxxxxfyxxxxxxfyxxxxxxf=+++=+++=+++）））)0(2)0(21)0(12)0(2)0(21)0(121)0(2)0(21)0(11,,,(,,

,(,,,(784－2功率方程及其迭代解法三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）：将上式按泰勒级数展开iinniiininniyxxfxxfxxfxxxfxxxxxxf=+++++=+++0202101

)0()0(2)0(1)0(2)0(21)0(1,,,(,,,(））794－2功率方程及其迭代解法三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）由此可得：nnnnnnnnnnnnnnyxxfxxfxxfxxxfyxxfxxfxxfxxxfyxxfxxfxxfxxxf=

++++=++++=++++0202101)0()0(2)0(120220221012)0()0(2)0(1210120211011)0()0(2)0(11,,,

(,,,(,,,(）））804－2功率方程及其迭代解法三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）为：线性方程或修正方程组=

−−−nnnnnnnnnnnnxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfyxxxfyxxxfy210020102022012010210

11)0()0(2)0(1)0()0(2)0(122)0()0(2)0(111,,,(,,,(,,,(）））81例题：如图所示，母线1为平衡节点，δ1＝0，U1＝1.0，母线2为PV节点，U2＝0.95，P2＝PG2－PL2＝4－2＝2，母线3为PQ节点，P3＝－PL3＝－4.0，Q3＝－QL

3＝－1.5。试写出此系统的功率方程。～～824－2功率方程及其迭代解法三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）的矩阵形式为：线性方程或修正方程组xJf=的雅可比矩阵－ifJ（1）将xi(0)代入，算出△f，J中各元素，代入上式方程组，解出△xi(0)；（2）修正xi(1)＝x

i(0)＋△xi(0)，算出△f，J中各元素，代入上式方程组，解出△xi(1)；2)(1)(x)x(kkf或直至834－2功率方程及其迭代解法三、牛顿－拉夫逊迭代法（常用于解非线性方程）（1）将xi(0)代入，算出△f，J中各元素，代入上式方程组，解出△xi(0)；（2）

修正xi(1)＝xi(0)＋△xi(0)，算出△f，J中各元素，代入上式方程组，解出△xi(1)；2)(1)(x)x(kkf或直至计算步骤：注意：xi的初值要选得接近其精确值，否则将不迭代。844-3牛顿－

拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式节点电压用直角坐标表示：iiijfeU+=ijijijjBGY+=BBBUSUY=**()()iijjnjijijiijQPjfejBGjf

e+=+−+=1)(()()iinjjijjijjijjijiijQPeBfGjfBeGjfe+=+−−+=1)(854-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式()injjijjijijijjijiPeBfGffBeGe=++−=

1)(()injjijjijijijjijiQeBfGefBeGf=+−−=1)(首先对网络中各节点作如下约定：（1）网络中共有n个节点，编号为1，2，3，…，n；（2）网络中（m－1）个PQ节点，一个平衡节点，编号为1，2，…，m，其中1≤s≤m为平衡节点；（3）

n－m个PV节点，编号为m+1,m+2,…，n.864-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式()injjijjijijijjijiPeBfGffBeGe=++−=1)(()injjijjij

ijijjijiQeBfGefBeGf=+−−=1)(222iiiUfe=+(m-1)个PQ节点＋(n-m)个PV节点，共n-1个(m-1)个PQ节点(n-m)个PV节点874-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程

式()=++−−=njjijjijijijjijiiieBfGffBeGePP1)(()=+−−−=njjijjijijijjijiiieBfGefBeGfQQ1)(2222iiiifeUU+−=

相应的：884-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程

=nnppnnnnnpnpnnnnnnnnnpnpnnnnpnpnpppppppppnpnppppppppnnppnnppnnppppnnppnnppefefefefSRSRSRSRNHNHN

HNHSRSRSRSRNHNHNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHUPUPQPQP2211221122112211221122222222212122222222212111111111111111121211112222

11PQ节点PV节点894-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程jiijjiijePNfPH==jiijjiijeQLfQJ==jiijjiijeUSfUR

==22904-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程914-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式以极坐标表示的另一种修正方程式为

=npnnnpnnnnpnppppppnpnpnpnpnpUUUUHHNHNHHHNHNHJJL

JLJHHNHNHJJLJLJHHNHNHPPQPQP2221112211221122222221212222222121111212111111121211112211PQ节点PV节点

92用极坐标表示的修正方程式为4-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式jjiijjiijUUPNPH==jjiijjiijUUQLQJ==934-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正

方程式雅可比矩阵的特点：（1）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数，在迭代过程中，各元素的值将随着节点电压相量的变化而变化。因此，在迭代过程中要不断重新计算雅可比矩阵各元素的值；（2）雅可比矩阵各非对角元素均与Yij＝Gij＋jBij有关，当Yij＝0，这些非对角元素也为0，将

雅可比矩阵进行分块，每块矩阵元素均为2×2阶子阵，分块矩阵与节点导纳矩阵有相同的稀疏性结构；（3）非对称矩阵。944-3牛顿－拉夫逊迭代法潮流计算二、潮流计算基本步骤954-4P－Q分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程

式=221

1212221222221121111121121212121222122222112111112112121UUUULLJJJJLLJJJJNNHHHHNNHHHHNNHHHHNNHHHHQQPPPPnp

npnpnnnnnpnnpppnppppnpnpnp964-4P－Q分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式=UULJNHQP1、对修正方程式的第一步简化高压网络中，各元件的X>>R，δ→P，

相应的J≈0；U→Q，N≈0。=UULHQP00974-4P－Q分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式2、对修正方程式的第二步简化高压网络中，各元件的X>>R，使

Gij<<Bij，再加上系统稳定性的要求，即|δi－δj|<|δi－δj|max，|δi－δj|max＝（10°～20°）。ijijijijijBGcossin1cos3、对修正方程式的第三步简化iiijQUB2984-4P－Q分解法潮流计算一、潮流计算

时的修正方程式−=nnnnnnnnnnUUUBBBBBBBBBUPUPUP22112122221112112211994-4P

－Q分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式−=mmmmmmmmmUUUBBBBBBBBBUQUQUQ2121222

211121122111004-4P－Q分解法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式缩写为−=UBUPUBUQ−=1014－2网络方程的解法高斯消去法带有节点电流移置的星网变换=

nnnnnnnnIIIVVVYYYYYYYYY21212122221112111024－3节点阻抗矩阵用支路追加法形成Z矩阵012431034－3节点阻抗矩阵1.第一条支路必须是接地支路2.后追加的支路必须至少有一个端点与已出现的节点相接用支路追

加法形成Z矩阵104电力网ziqiq4－3节点阻抗矩阵用支路追加法形成Z矩阵电力网km追加树枝追加连枝zkm105电力网ziqiq4－3节点阻抗矩阵追加树枝追加树枝qqqppqppqi

piqpqpiqqqipppiiiiiiZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ22112121212222111211106电力网ziqiq4－3节点阻抗矩阵追加树枝追加树枝immimqqmZIVIVZ===从节点m单独注入电流Im原有阻抗

矩阵不变m107电力网ziqiq4－3节点阻抗矩阵追加树枝追加树枝miimqmmqZIVIVZ===从节点q单独注入电流Iqm108电力网ziqiq4－3节点阻抗矩阵追加树枝追加树枝iiiqqqiqiqqqqZzIIzVIVZ+=+==m109电力网km4－3节点

阻抗矩阵追加连枝IkImIkmZ矩阵阶数不变zkm电力网kmIk-IkmIm+Ikm1104－3节点阻抗矩阵追加连枝=−−=+++++−+++=+++++++=pjkmimikjijipkmmimkmkikiipipmim

kikiiiIZZIZIZIIZIIZIZIZVIZIZIZIZIZVi12211'2211)()()(1114－3节点阻抗矩阵追加连枝===−+−+==−−−=−−=pjjmjkjkmkmmmkkkmkmkmmkpjkmmmmkjmjm

pjkmkmkkjkjkIZZzZZZIIzVVIZZIZVIZZIZV111)(21)()(1124－3节点阻抗矩阵追加连枝kmkmmmkkmjkjimikijjiijpjjkmkmmmkkmjkjim

ikijizZZZZZZZZIVZIzZZZZZZZZV+−+−−−==+−+−−−==2))((2))((''1'1134－3节点阻抗矩阵追加连枝()()02kkkkjikijijkmkmmmkkmjkjimikijijzZZZZZzZZZZZZ

ZZZ+−=+−+−−−=如果m点接地114电力网ziqiq4－3节点阻抗矩阵追加树枝追加树枝0=iV0==mqmqZZiqqqzZ=m1154－3节点阻抗矩阵追加连枝如果将k、m两点短接，经过修改后，第k行（列）和第m行（列）的对应元素完全相同。只要将原来这两个节点的注入电流并到其中的一

个节点，另外一个节点即可取消，并消去阻抗矩阵中对应的行和列，使矩阵降低一阶。116电力网zkqk4－3节点阻抗矩阵追加变压器树枝q1:K原有阻抗矩阵不变qqqppqppqkpkqpqpkqqqkpppkkkkkkZZZZZZZZZ

ZZZZZZZZZZZZZZZZ22112121212222111211117ziqk4－3节点阻抗矩阵追加变压器树枝q1:Km从节点m单独注入电流ImkmmkmqqmKZIKVIVZ===1184－3节点阻抗矩阵追加变压器树枝从节点q

单独注入电流Iq2)()()(KzZIKKIzKIZIKKIzVIVZkqkkqqkqqkkqqkqkqqqq+=+=+==ziqiq1:KmmkqqmkqkmkqmmqKZIKIZIIZIVZ====119电力网ziqk4－3节点阻抗矩阵追加变压器连枝q1:Km

()()kmmmkmkkmjkjimikijijKZZKzZZKZZKZZZ2)(2−++−−−=qqqppqppqkpkqpqpkqqqkpppkkkkkkZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

221121212122221112111204－4节点编号顺序的优化1.消去时增加新支路最少的节点应该优先编号2.简化为按节点的连接支路数k（接地支路除外）最少进行编号3.静态优化编号动态优化编号dkkp−−=)1(21121第五章P-Q分解法P-Q分解法是牛顿-拉夫逊法潮流计算的

一种简化方法。牛顿-拉夫逊法的缺点：牛顿-拉夫逊法的雅可比矩阵在每一次迭代过程中都有变化，需要重新形成和求解，这占据了计算的大部分时间，成为牛顿-拉夫逊法计算速度不能提高的主要原因。P-Q分解法利用了电力系统的一些特有的运行特性，对牛顿-拉夫逊法做了简化，以改进和提高计算速度。122牛顿-拉夫

逊法简化形成P-Q分解法的过程牛顿-拉夫逊法修正方程展开为：根据电力系统的运行特性进行简化：1.考虑到电力系统中有功功率分布主要受节点电压相角的影响，无功功率分布主要受节点电压幅值的影响，所以可以近似的忽略电压幅值变化对有功功

率和电压相位变化对无功功率分布的影响，即：ULUJQUNUHP+=+=−−11ULUQHPJN====−1,0,01232.根据电力系统的正常运行条件还可作下列假设：1)电力系统正常运行时线路两端的电压相位角一般变化不

大（不超过10~20度）；2)电力系统中一般架空线路的电抗远大于电阻；3)节点无功功率相应的导纳Q/U*U远小于该节点的自导纳的虚部。用算式表示如下：iiiiijijijijBUQBG2)3sin)21cos)1124由以上假设，可得到雅可比矩阵的表达式

为：修正方程式为：U为节点电压有效值的对角矩阵，B为电纳矩阵（由节点导纳矩阵中各元素的虚部构成）iiiiiiiijjiijijBULHBUULH2====UUBUUUBUQUBUP===−)(1125根据不同的节点还要做一些改变：1.在有功功率部分，要除去与有功功率和电压相位关系较小的

因素，如不包含各输电线路和变压器支路等值Π型电路的对地电纳。2.在无功功率部分，PV节点要做相应的处理。则修正方程表示为：一般，由于以上原因，B’和B’’是不相同的，但都是对称的常数矩阵。UBQUUBPU==−−'''11126P-Q

分解法的特点：◼以一个n-1阶和一个n-m-1阶线性方程组代替原有的2n-m-1阶线性方程组；◼修正方程的系数矩阵B’和B”为对称常数矩阵，且在迭代过程中保持不变；◼P-Q分解法具有线性收敛特性，与牛顿-拉夫逊法相比，当收敛到同样的精度时需要的迭代

次数较多；◼P-Q分解法一般只适用于110KV及以上电网的计算。因为35KV及以下电压等级的线路r/x比值很大，不满足上述简化条件，可能出现迭代计算不收敛的情况。127第六章直流法潮流计算◼直流法的特点：简单、计算

工作量小、没有收敛性问题，易于快速地处理投入或断开线路等操作。广泛应用于电力系统规划、静态安全分析以及牛顿-拉夫逊法潮流的初值计算等需要大量计算或运行条件不十分理想的场合。◼直流法的适用范围：110KV以上的超高压线路。◼直

流法的经常处理的问题：处理开断问题，例如，在电力系统规划和电力系统静态安全分析时，需要进行一种所谓N-1校核计算，即对于某一种运行方式要逐一开断系统中的线路或变压器，检查是否存在支路过载情况。128直流法计算潮流的过程电力网中每条支路i-j中通过的有功功率为：根据电力系

统的实际条件可做如下假设：1.实际电力系统中输电线路（或变压器）的电阻远小于其电抗，对地电导可忽略不计2.在正常运行时线路两端相位差很少超过20°3.节点电压值的偏移很少超过10%，且对有功功率分布影响不大ijijijijjiijijiijiijiijBgUUgUUUyU

IUPsincosReRe2****+−=−==129用式子表示：从而可得：各节点的注入功率为与该节点相连各支路功率之和：1.31cos,sin.2/1,0.1−

−jiijjijijijijUUxbg()()ijjijiijijxbP/−=−−=()()==−−=+−−=−=ijiiijnjjijijjijijiijjiijijiBBBBBBP1)(130令B0表示正常运行时

电力网节点导纳矩阵的负数，则所有节点注入功率可用矩阵表示为：解方程求出各节点的相角后，可利用前面的式子求出各支路的有功潮流。直流法称呼的说明。PBBP100−==131