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天津大学硕士学位选修课电力系统稳定性分析授课人：魏炜2023年7月20日IntroductiontoPowerSystemStabilityAnalysis第6章暂态稳定性分析第2页电力系统稳定性分析引言根据IEEE建议，电力系统稳定性可以根据受扰大小进行分类：➢大扰动稳定

(TransientStability)：系统在经历一些大的扰动后(线路出现三相短路、变压器突然停业、发电机和重要负荷的突然退出等)，系统是否能够过渡到一个新的运行点(平衡点)；➢小扰动稳定(SmallSignal/SteadyStateStab

ility)：系统在缓慢变化过程中，系统的关键参量不出现急剧的变化(自发的振荡或单调的发散)；等效定义：受到微小扰动后可恢复原来运行状态，也常被称为是运行点的稳定性。➢静态稳定(StaticStability)：系统在运行过程中，潮流方程存在可行解，同时各种关键设备的限制(发

电机出力上下限、线路或变压器的传输极限等)能够得到满足，也称为StaticPowerFlowStability，近年来这方面的很多研究多侧重研究电力系统静态电压稳定性问题。第3页电力系统稳定性分析引言此外，通常还可以根据系统最后失稳的场景和性质进行划分，将系统稳定问题分为：➢功角稳

定(Power-AngleStability,TransientStability)：系统在经历扰动后，某些发电机的转速出现持续加速/减速或与其他发电机产生持续的振荡，系统无法正常运行；➢电压稳定(VoltageStability)：系统在扰动后，系统关键节点

的电压出现持续振荡或单调的下降，导致系统无法正常运行；第4页电力系统稳定性分析引言a)功角失稳和电压失稳的场景，可能是大扰动引起的，也可能是由于小扰动引起的，因此也可以进一步细分为大扰动(暂态)的功角/电压稳定性、小扰动(暂态)的功角/电压稳

定性。也即：上述两种分类方法是相互补充的；b)大扰动情况下系统的功角稳定性是人们长期研究的一个问题，早期城市规模较小，负荷分散，单纯的电压稳定性问题很少发生，因此在学术/工业界，常将暂态稳定性和大扰动的功角稳定性等同，在阅读文献时，需要注意；c)在我

国实际电力调度运行部门习惯上称小扰动稳定(负荷的缓慢变动引起的单调或振荡情况)为动态稳定性；d)系统稳定是一个统一概念，只是出于研究的方便，才人为地划分了各种稳定性问题。大负荷区暂态稳定第5页电力系统稳定性分析第六章电力系统暂态稳定分析提纲6.1简介6.2时域仿真分析方法6.3网络方程及其相关模

型6.4简单系统稳定性分析6.5暂稳分析中FACTS元件的考虑6.6小结※※第6页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介首先强调：暂态稳定分析，特指系统在受到大扰动后能否过渡到一个新的运行点的稳定性问题。因此根据前面的分类，它涵盖了大扰动的功角和电压稳定性。➢大扰动的功角稳定性：

一般指系统在出现大的扰动后的单摆稳定问题，研究的时间较短(几秒之内)。➢大扰动的(中长期)电压稳定性：需要同时考虑快速变化元件(发电机机电-暂态过程、励磁调节器、PSS装置、HVDC、FACTS元件等)和慢速调节设备(原动机及其调速器、恢复性动态负荷)的动态过程，时间跨度几十秒到几分钟。➢

现在，大扰动后的多摆功角稳定性也成为业界关注的一个热点问题，这一问题的时间跨度和大扰动后的电压稳定性基本吻合(中国国电公司修改了运行导则，仿真时间50秒)。➢基于WAMS的系统暂态稳定在线评估研究是一个热点。第7页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分

析—简介单摆稳定单摆不稳定多摆不稳定第8页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介暂态稳定的一般场景系统出现较大扰动故障点出现短暂的暂态过程(电磁暂态)线路潮流出现变化发电机输出的电磁功率受到影响因发电机原动机系统调节特性

较慢(几秒到几分钟)发电机转子转矩出现失衡导致部分发电机加速或减速进一步导致网络中的潮流出现振荡型变化引起FACTS/HVDC/Exciter/Governor等的进一步变化，在此过程中，故障元件可能被切除，人为的或预先设定的一些控制环节会动作。急剧变化系统部分节点电

压出现导致失步速,部分发电机持续加/减处稳定下来系统在一个新的运行点第9页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介暂态稳定涉及的系统参数变化➢网络和相关设备的电磁暂态过程➢网络潮流参数的动态变化(包括长线的波过程和谐波)➢继电保护装

置动作引起的电磁暂态过程➢发电机的机电暂态过程(转子在电磁功率变动过程中动态)➢Exciter/FACTS元件的控制过程➢动态负荷的变化➢慢调节特性元件的控制和调整(Governor/OLTC/可投切补偿装置)等时间跨度为毫秒级，一般简化处理为代数变量，即利用其稳态结果参与

稳定计算(波过程、谐波衰减、定子及线路电磁暂态过程)时间跨度在几十秒到几分钟之间，1)近似处理为代数量；2)考虑为动态参数在传统的暂态稳定研究中，重点关注的动态变量，此方法称为QuasiSteadyStateModel/Appro

ach第10页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介暂态稳定分析模型),(0),(yxgyxfx==暂态稳定分析的电力系统模型，经过部分简化后，可以处理为如下的微分-代数(DifferentialAlgebraicEquation)方程➢发电机暂态

/次暂态电势；➢发电转子角速度/运行角；➢励磁系统和PSS动态参数；➢FACTS元件控制参数➢动态负荷参数；➢Two-Term/Multi-TermHVDC动态参数➢网络潮流方程；➢发电机电压/电势方程；➢不计及Governor时原动机输出功率；➢HVDC的电压方程；➢静态负

荷变量；➢……第11页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介暂态稳定分析方法总体上分为两类➢时域仿真法：直接利用积分运算，对描述系统动态的DAE方程直接进行求解，并监视系统关键参量(功角/电压)，以判断系统稳定性状况。➢直接法：利用Lyapunov稳定性定理，列

解电力系统适合的能量函数，不通过积分或通过短暂的积分运算，直接判断电力系统的稳定性状况。基于WAMS量测信息的在线稳定性分析，也是通过判断系统关键量的变化规律来判断系统稳定性第12页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介(一)时域仿真法➢电

磁暂态：需要考虑系统的高次谐波、波过程等，因此仿真步长较短，模型要求精确，对积分算法的数值稳定性要求较高。主要用于电气设备(保护/断路器/HVDC)的控制环节分析第13页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介(一)时域仿真法

➢电磁暂态：需要考虑系统的高次谐波、波过程等，因此仿真步长较短，模型要求精确，对积分算法的数值稳定性要求较高。主要用于电气设备(保护/断路器/HVDC)的控制环节分析第14页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介(一)时域仿真法➢电磁暂态：需要考虑系统的高次谐波、波过程等，因此

仿真步长较短，模型要求精确，对积分算法的数值稳定性要求较高。主要用于电气设备(保护/断路器/HVDC)的控制环节分析第15页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介(一)时域仿真法➢机电暂态：忽略系统的高次谐波、波过程等，主要关注系统的基频分量的变化规律、发电机转子运

动方程以及相关的FACTS元件的控制过程，仿真时间一般较长✓BPA(BonnevillePowerAdministration)：由BPA公司研制开发，曾是北美电力公司主要的机电暂态仿真程序，我国于1983.9引进，汉化并添加前台管

理界面后形成中国版BPA程序，现在在华北、国网公司、南方电网等电力企业中广泛使用。但在国外，已是落日黄花！第16页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介(一)时域仿真法➢机电暂态：忽略系统的高次谐波、波过

程等，主要关注系统的基频分量的变化规律、发电机转子运动方程以及相关的FACTS元件的控制过程，方针时间一般较长第17页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介(一)时域仿真法➢机电暂态：忽略系统的高次谐波、波过程等，主要关注系统的基频分量的变化

规律、发电机转子运动方程以及相关的FACTS元件的控制过程，方针时间一般较长第18页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介(一)时域仿真法➢机电暂态：忽略系统的高次谐波、波过程等，主要关注系统的基频分量的变化规律、发电机转子运动方程以及相关的FACTS元件的控制

过程，方针时间一般较长第19页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介(一)时域仿真法➢机电暂态：忽略系统的高次谐波、波过程等，主要关注系统的基频分量的变化规律、发电机转子运动方程以及相关的FACTS元件的控制过程，方针时间一般较长✓国产BPA/PSASP：由国家电力科学研

究院研制，前者属引进消化吸收，后者为自主开发(周孝信/吴中习)，并获首届国家科技进步一等奖，具有潮流计算、短路分析、暂态稳定分析、小扰动稳定分析、电压稳定性计算等相应功能，最新版本情况：6.22→7.0。在各大电网公司广泛采用，现已有基于大型

机的并行计算程序，可以实现超实时仿真。第20页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—简介(二)暂态稳定直接法)()()(),(xxxpxfxEkVVV+==负定的能量函数➢利用直接法进行电力系统暂态稳定性分析，主要工作是寻求

更为科学的能量函数和判稳准则；➢典型的直接法：PEBS(PotentialEnergyBoundarySurface),BCU(BoundaryControllingUnstableequilibriump

ointapproach)Method，HybridMethod，EEACMethod➢难点问题：详细电气模型难以计及；ControllingUEP(事故后不稳定平衡点)的准确求解第21页电力系统稳定性分析第六章电力系统暂态稳定分析提纲6

.1简介6.2时域仿真分析方法6.3网络方程及其相关模型6.4简单系统稳定性分析6.5暂稳分析中FACTS元件的考虑6.6小结第22页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—时域仿真法时域仿真方法6.2.1仿真方法概述6.2.2常微分方程(ODE)仿真方法简介6.2.3微分代数方程(DAE)仿真过

程6.2.4暂态稳定仿真计算的一般流程6.2.5暂稳计算程序优劣比较第23页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—时域仿真法SimulationandIntegration•微积分是人类数学史上的一个奇迹，它将人类对世界的认识从呆

板的静态(Static)世界引导到多姿多彩的动态世界(DynamicSystem)中，使人类科学技术上升了一大台阶，现代科学的数学模型几乎都与微积分有关。•谁发明了微积分是人类科学史上一段著名公案——

牛顿1665.5.20在一手稿中提到“流数术”(微积分初步思想，很多文献认为此日是微积分创生日)，但因一次离奇火灾，其完整思想在1736出版的《流数法和无穷级数》才体现的(Newton1671)；而德国数学家莱布尼茨在1684从几何学角度提出微积分思想，并在1686

年给出现在沿用的积分算法及微积分表示及运算符号。第24页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—时域仿真法SimulationandIntegration•牛顿-胡克(万有引力)牛顿-莱布尼兹(微积分)Newton-Leibniz公式：•动力系统(DynamicSys

tem)——可以用微分方程描述的动态系统：TimeVaryingSystemTimeInvariantSystem−+−=ttdtt)()()(zzz)),(),(()(ttttpxfx=),(pxfx=第25页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—时域仿真

法SimulationandIntegration对于定常动力系统(OrdinaryDifferentialEquation)：(*))(),,(00xxpxfx==t当系统的模型和初值确定后，系统的动态行为将完全确定，由高等数学的知识可知，理论上解析式子：==ttdttt0),()

,,()(0pxfpxFxtx轨迹(Flow,Trajectory)初值1初值2实际上，很多实际的物理系统，其动态方程往往是复杂的非线性(nonlinear)方程，难以直接得到对应的解析式，例如：xxxsin

=只能通过数值(numerical)方法加以研究(timedomain)第26页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—时域仿真法SimulationandIntegration影响常微分方程性态(包括稳定性)的两个关键因素：1)方程(模型)本身；2)方程的初值电力系统暂态仿真成败的关键，与

上述两个因素息息相关：1)方程(模型)本身性态的保持：选用具有足够精度、数值稳定性好且求解速度较快的数值积分算法——在模型准确的前提下，仿真轨迹与系统真实轨迹足够接近；2)精确设定系统的初始值：往往需通过仿真场景初始时刻的系统潮流方程来决定；第27页电力系统稳定性分析

第6章暂态稳定分析—时域仿真法00)(..)(xxxfx==tts考虑如下ODE方程，数值积分的目的在于给定初始点信息，求解一段时间区间上的系统的运行轨迹，为后续系统稳定性研究提供基础。OurTargetis:utttt=0?)(x第28页电力系

统稳定性分析第6章暂态稳定分析—时域仿真法ODE方程数值积分方法有：欧拉法(EulerMethod)，改进欧拉法(ModifiedEulerMethod/ImprovedEulerMethod)，龙格-库塔法(Runge-KuttaMethod)，线性多步

法(如Adamas插值法等)，几乎所有的数值积分算法，均是在EulerMethod基础上发展起来的(本科电力系统分析中提到的分段计算法)，我们简单回顾一下各种方法的基本原理，重点放在各种方法的误差分析和比较上。第29页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—EulerMethod1、Eule

rMethodtltutx)(xfx=Ourtargetistheareaundertheline将积分区间等分为m段，区间长度为，并认为每一个期间n内的导数近似等于期间起始位置的导数f(xn)，即：mtthlu−=)(,0,1,2,),(nnntmndtdx

xxfx===第30页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—EulerMethodStepsofEulerMethod1.n=0时，初始点的导数f(x0)已知，如前述，根据它就可以求解(推出)n=1时的

初始点信息)(001xfxx+=h2.n=1时，由x1f(x1)，再根据f(x1)就可以求解(推出)n=2时的初始点处的信息x2)(112xfxx+=h3.……可得递推公式：)(1nnnhxfxx+=+)(1nnnnhxxdtd

xfx=−+(6-9)欧拉法又称为欧拉切线法或欧拉折线法，基本思想是将积分曲线用折线来代替，折线曲率就对应着等分点处由微分方程右端项给出的广义切线，其示意图见p.296的图6-2。第31页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—

EulerMethodErrorsoftheEulerMethod对于非线性微分方程组的解曲线，在第n个积分段对时间t进行Talyor级数展开：==dt,t)()(xfxFx)(2)()(232321hOhhhOhhnnnnnnn+++=+++=+xxfxxx

xx第32页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—EulerMethodErrorsoftheEulerMethod)()(21321nnnnnnnhhOhhxfxxxxxx+=+++=++可以看到，实际上Euler法只用

到了Talyor级数的线性项，二阶以上项均形成此次积分运算的截断误差(TruncationError)，同时可以看到，除了第一次n=0时，系统积分不存在截断误差外，后续运算都存在TE误差，并产生积累效应，我们称每一步TE误差为局部TE误差(

LocalTruncationError)，累积效应为累积截断误差或全局截断误差(GlobalTruncationError)。第33页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—EulerMethodTruncationErroroftheEulerMethod可积先决(Lipschi

tz)条件：nnnnLxxxfxf−−++11)()(积分的真值：11)~(~~++++=nnnnThhxfxxEuler近似值：)(1nnnhxfxx+=+这一步误差：1111)}()~({~~+++++−+−=−=nnnnnnnn

Thhexfxfxxxx1)()~(~++−+−nnnnnThhxfxfxx1~++−+nnnnThLhexxnnTT1maxmax=:令max)1(TheLhn++第34页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—EulerMethodTruncationErroroft

heEulerMethod这一步误差：~111=−=+++nnnexxmax)1(TheLhn++maxmax1)1()1(ThTheLhLhn++++−max121)1()1(ThLheLhn++++=−max011)1(...)1()1(ThLhLhe

Lhnn++++++++max101)1(1)1(1)1(ThLhLheLhnn+−+−++=++第35页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—EulerMethodTruncationErroroftheEulerMethodm

ax1011)1(1)1(1)1(ThLhLheLhennn+−+−+++++第n步误差：max1011)1()1(ThLhLheLhnn−+++=++max101)1()1(ThLhLheLhn

n+++++++=+LTeLhnmax01)1(+=nyneye)1(00考虑到：LTeLhnmax)1(+)(maxhOT=由于因此最后可得：)(1hOen=+系统累积误差为O(h)第36页电力系统稳定性分析第6章暂

态稳定分析—EulerMethod✓全局截断误差(GTE)和局部截断误差(LTE)，与步长h存在O(h)和O(h2)关系，当步长减小时，两种误差都会减小；✓除了截断误差外，还存在计算机计算时的舍入误差，它与计算步骤近似成正比关系，因此需

要合理选择计算程序的最小步长，如p.298所示的图6-3，理论上存在一个最佳步长，注意不是越小越好；✓欧拉法属于自启动的和显式数值积分方法，只需要知道方程和初值即可计算，但其计算误差受步长影响较大，同时对于刚性系统，其稳定性较差

，数值方法中称为非A-稳定的。SummaryoftheTruncationErrorRound-OffError第37页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—ModifiedEulerMethod2、Modified/ImprovedEulerMethod基本原

理：由于Euler法只利用了积分曲线积分段起始位置的斜率信息，如果将积分区间的斜率取为该区间前后两点的斜率的平均值，则计算精度可以得到一定的提高。但积分区间后一点的精确值是未知的，因此只能利用近似结果来估计它。第38页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—ModifiedEulerMet

hod2、Modified/ImprovedEulerMethodEulerMethodImprovedEulerMethod截断误差截断误差一次Euler计算第39页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—Modifie

dEulerMethodStepsofM/IEulerMethod1.利用前面计算结果，计算起始点的斜率值)(nnxfx=2.利用Euler算法，估算积分区间[n,n+1]后一点的结果)()0(1nnxfxx+=+hn3.利用前一步估计结果，估计后一点

斜率近似值)()0(1)0(1++=nnxfx4.利用前后两点斜率平均值作为起点处的斜率进行积分运算)()(21)0(11++++=nnnnhxfxfxx梯形面积计算公式前两步实际即是一次Euler过程第40页电力系统稳定性分析第6章

暂态稳定分析—ModifiedEulerMethodStepsofM/IEulerMethod最后的计算公式)()(21)0(11++++=nnnnhxfxfxx计算xn+1需要用到两个前面的已知变量:xn——前一次运算的结果——本次运算的中间结果)

0(1+nx意味着在内存中需存储3个已知结果可以从第二步中解得)()0(1nnnhxfxx−=+带入上式：)()(21)0(1)0(11nnnnhxfxfxx−+=+++作为一个内存值第41页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—Mod

ifiedEulerMethodStepsofM/IEulerMethod最后的计算步骤)(nnxfx=)()0(1nnxfxx+=+hn)()(21)()0(1nnnxfxfxf−=+)()0(11nnnhxfxx+=++采用上述计算步骤，中间存储的临时变量将减少，

计算机的存储量也会相应减少p.300(6-19)第42页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—ModifiedEulerMethodErrorsofM/IEulerMethod)()(21)0(11++++=nnnnhxfxfxxImprovedEulerMethod)(21)(21)

0(1+++=nnnhhxfxfx)(21)(21nnnnhhhxfxfxfx+++=一次Euler计算)()(21)(32hOdtddtdhhnnnn++++=xfxxfxfx)()()()(2hOdtdhdtdhhnnnnn+++=

+xfxxfxfxfxfdtddtddtddtd)(22xfxxfxxx+===考虑到：)(21)(321hOhhnnn+++=+xxfxxTalyor展开式改进Euler法局部截断误差O(h3)第43页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—ModifiedEulerM

ethodErrorsofM/IEulerMethod•改进欧拉法实际是利用了Taylor展开式的前两项(线性项和二次项)，而欧拉法则只是用了展开式的线性项(一次项)。•与分析欧拉法的累计误差的过程类似，通过递推过程，可以证明改进欧拉法的累计截断误差为O(h

2)，因此具有比欧拉法更高的计算精度。•一般算法局部截断误差为O(hk)，全局截断误差为O(hk-1)第44页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—ModifiedEulerMethodSummaryofM/IEulerMethod

✓局部截断误差和全局截断误差，与步长O(h3)和O(h2)的关系，当步长减小时，两种误差都会减小；✓由于增加了一个预测环节，其计算量和存储量约为欧拉法的2倍；✓同样属于显式积分方法，数值稳定性与欧拉法相似。第45页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—Runge-KuttaMet

hod3.Runge-KuttaMethod改进Euler法的原理在于，通过增加一次“内嵌式”的Euler计算过程，实现将计算的局部截断误差由原来的O(h2)降为O(h3)，“内嵌式”的Euler计算可看作是一次内部插值过程，那么能否通过增加一些插值过程，使得算法的局部截断误差进一步降低呢？

龙格-库塔(Runge-Kutta)法的原理第46页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—Runge-KuttaMethodRunge-KuttaMethodRunge-Kutta法通过在一次“外层”Euler过程中增加一次或多次的内

部插值，实现局部截断误差的显著降低，从而成为一种常见的显示积分方法，最常见的RK方法有三阶、四阶方法(二阶方法实际就是改进Euler法)。其中RK4阶的运算量约为Euler法的4倍，而存储量约为Euler法的2.5倍。第47页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析

—Runge-KuttaMethodRunge-KuttaMethod递推公式：其中：)22(6143211kkkkxx++++=+nn)(1nhxfk=)2(12kxfk+=nh)2(23kxfk+=nh)(34kxfk+=nhRK-4局部截断误差为O(h4

)第48页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—Runge-KuttaMethodErrorsofRunge-KuttaMethodRK-n234567≥8局部截断误差O(h3)O(h3)O(h4)O(h4)O(h5)O(h6

)O(hn-2)➢J.C.Butcher,TheNumericalAnalysisofOrdinaryDifferentialEquations—Runge-KuttaandGeneralLinearMethods,JohnWi

ley&Sons,1987.不同阶次RK方法的局部误差比较➢RK-2即前面所述的改进Euler法➢RK-2/3、RK-4/5以及RK-7/8局部截断误差相应，适应性不同第49页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—Runge-KuttaMethod

Runge-KuttaMethodinMatlabCmdsDescriptionODE23Solvenon-stiffdifferentialequations,lowordermethod.ODE45Solvenon-st

iffdifferentialequations,mediumordermethod.ODE113Solvenon-stiffdifferentialequations,variableordermethod.ODE15SSolvestiffdiffe

rentialequationsandDAEs,variableordermethod.ODE23SSolvestiffdifferentialequations,lowordermethod.ODE23T

SolvemoderatelystiffODEsandDAEs,trapezoidalrule.ODE23TBSolvestiffdifferentialequations,lowordermethod.第50页电力系统稳定性分析第6章暂态稳

定分析—Runge-KuttaMethodRunge-KuttaMethodinMatlab第51页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—Linearmultistepmethod4.LinearMultistepMet

hod欧拉法(Euler)、改进欧拉法(I/MEuler)以及龙格-库塔(RK)方法，都仅仅用到了积分区间段起始位置(n)的信息，而没有考虑已经积分完成的前面区间段的相应信息(例如n-1,n-2,n-3)，多步法则考虑了上述结果的影响，首先利用前面多步计算结果的信息，进行后续点预测，再调用校正环

节，对预测结果进行校正第52页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—Linearmultistepmethod4.LinearMultistepMethodAdams3-StepMethod:预测环节：校正环节：()2115162312~−−++−+=nnnnnhxxxx

x()21118~512−−++−++=nnnnnhxxxxxAdams4-StepMethod:预测环节：校正环节：()3211937595524~−−−+−+−+=nnnnnnhxxxxxx()

32111519~924~−−−+++−++=nnnnnnhxxxxxx第53页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—Linearmultistepmethod4.LinearMultistepMethod➢采用上述

预测校正环节，可以有效提高算法的收敛精度，可以将全局截断误差降为O(h3)，但其内存存储量较大(但较同阶RK方法要小)；➢算法本身需要采用单步法进行启动；➢在Adams思想的前提下，根据不同的实现思路，形成了不同的改进线性多步法，如常见的Adams-Bashforth、Adams-Moult

on、VariableStepsizeAdamsmethod，可从如下网址下载相关算法源程序：http://mymathlib.webtrellis.net/diffeq.html第54页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—显式积分算法

小结➢Eulermethod,improved/modifiedEulermethod,Runge-Kuttamethod,linearmultistepmethod(Admasmethod)areallbelongingtotheexplicitintegrationm

ethods.Theirlocalandglobaltruncationerrorscanbereducedwhenthestepsizeturnssmall.SincealltheexplicitmethodsarederivedbasedontheTaylorseriesexpansio

n,theyrequirethedifferentialequationstobesmoothenough.➢Trunctionerrorsoftheexplicitmethodscanbereducedthroughcuttingdownstepsizeandaddmoremid-poi

ntsinaiteration.However,wealsohaveanotherway…第55页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—ImplicitMethod隐式梯形法对于微分方程：在已知tn结果xn后，下一节点tn+1=tn+h积分结果xn+1，理论上可通过求解如下积分过程得到

：当h足够小时，可认为积分区间段内的f(x)不变(p.304图6-6)，从而上式可以近似表示为：nRdtd=xxfx),(dtnnttnn++=+1)(1xfxx这样构成了n个代数方程，其中xn+1为待求的n个变量，通过迭代运算即可求解

上述n+1步的积分结果。++=++11[](**)2nnnnh()()xxfxfx第56页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—ImplicitMethod隐式梯形法对比一下隐式梯形法的(**)式和改进欧拉法的

计算式，可以看到，两种方法的原理类似，但改进欧拉法直接利用xn预测xn+1处的值，而隐式梯形法则采用代数迭代运算对上述公式进行求解，可以验证，上述计算式(**)的局部截断误差为O(h3)。此外，可以采用类似的方法，将前面所介绍的各种显式方法，“改造”为隐式求解方法

，但隐式求解方法计算更为复杂。第57页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—ImplicitMethod隐式积分法优缺点•可以采用较大的积分步长，并不影响算法的数值稳定性；•在进行微分代数方程(Diffe

rentialAlgebraicEquation,DAE)的积分运算时，可以联立求解，消除交接误差，保证算法的稳定性；•算法较为复杂；•算法的扩展性较差，尤其在DAE问题的求解时，往往需要进行相应的变通，形成所谓的类隐式方法。隐式方法的数值稳

定性较显示方法要好得多第58页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—ODE积分算法小结除上述方法外，还有很多成熟的数值积分方法，如采用自适应步长(变步长)积分方法、有针对刚性问题或病态方程的适用求解方法、有具有更好A-稳定的类隐式方法(Quasi-implicit

)等，一些专门介绍数值积分方法的专著上有更为深入的介绍。第59页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—时域仿真法时域仿真方法6.2.1仿真方法概述6.2.2常微分方程(ODE)仿真方法简介6.2.3微分代数方程(DAE)仿真过程6.2.4暂态稳定仿真计算的一般流程6.2.5暂稳计算程序优

劣比较第60页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—DAESystemDAEDynamicSystemWhere:isthevectorofthestatevariables.isthevectoroftheal

gbraicvariables.IntheDAEdynamicsystem,dynamicsofthestatevariablesisconstrainedonthesolutionspaceofthealgbraicequation(constraintmanifold).),(0),

(==yxgyxfxmRynRx第61页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—DAEIntegrationMethod针对DAE系统的仿真方法总体可分为两种类型：➢交替求解法：微分方程和代数方程分别进行求解，各自可采用不同的求解算法；➢

联立求解法：微分方程和代数方程联立进行求解，微分方程一般采用隐式方法进行差分化后与代数方程联立进行求解。第62页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—交替求解法根据t时刻的已知结果(xt,yt),t=0,h,2h,…，代入微分方程，然后采用某一积分方法(E

uler,ModifiedEuler,Runge-KuttaMethod,…)，求解出t+1动态参数xt+1；再传递给代数方程，调用相应的代数求解方法(Newton-RaphsonMethod,QuasiNewtonMethod,…)，求解出t+1时刻相

应的代数量yt+1，如此往复，就可以得到系统的积分解。第63页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—交替求解法以动态方程采用Euler法为例Step1:(x0,y0)采用欧拉法，计算出xh=x0+h·f(x0,y0)；Step2:以(xh,y0)作为初始值，代入代数方程，采用迭

代法，求解yh；Step3:在(xh,yh)处，再次采用欧拉法，可计算出x2h；Step4:以(x2h,yh)作为初始值，代入代数方程，采用迭代方法求解y2h；……教材308页给出动态方程采用RK-4法时，一个具体求解周期的相关运算式；而309页则给出了动态方程采用隐式梯形方法时，一个具体求解周期

的相关运算式。第64页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—联立求解法基本思想在t时刻将微分方程直接利用隐式求解方法加以差分化，处理为代数方程组，然后和代数方程一起形成一个增广的代数矩阵，再调用代数方程求解方法(NRMethod,QuasiNewtonMethod,…)，直接求解出t+1时刻系统的

动态量和代数量。第65页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—DAE求解方法比较例子：利用交替法求解，微分方程部分至少需存储一个的nn雅可比矩阵，代数方程求解时至少需要存放一个mm的矩阵，因此内存开销至少为n2+m2；而采用联立法求解时，内存至少需要

存储一个(n+m)2的矩阵，注意到(n+m)2=n2+m2+2mn.当n=500,m=1000，数据采用double(real*8)时：交替求解法的开销：8*(500*500+1000*1000)/1024/1024=9.54MB联立求解法

的开销：8*(1500*1500)/1024/1024=17.17MB➢交替求解法较后者，计算机实现存储量较少；➢交替求解法较后者实现灵活：微分方程和代数方程部分的求解均可采用最适合的办法；➢交替求解法较后者易于扩展：当

有新的(动态/静态)元件时，只需修改相应的求解模块(微分/代数)部分即可；而联立求解需同时兼顾，实现复杂；➢交替求解法(尤其是微分方程采用隐式法时)，会产生交接误差，而联立求解则可以避免。第66页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析

—DAE方法比较(误差)数值算法的误差产生原因主要包括：➢截断误差(TruncationError)实际的物理系统均是非线性的(nonlinear)，在某一点处对其进行Taylor级数的展开，往往对应的级数项为无穷大的情况，而每一种数值积分方法(无论其精度多高)，实际上都是利用积分区间段内有限项T

aylor级数来近似表征真解的，由此产生的误差就对应着截断误差。截断误差会产生积累情况，对应着积分过程的全局截断误差。第67页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—DAE方法比较(误差)数值算法的误差产

生原因主要包括：➢舍入误差(Rounding/Round-OffError)由于计算机位数有限，在表示一个无理数时，只能取其有限次项(注意，因为计算机均采用二进制运算器和存储器，即使是十进制的有理数，在用二进制表示时，也可能对应着无穷级数)。在计算程序中采用高精度的数据类

型，可以一定程度上减少舍入误差，但存储量会随之增大。。C/C++：Single(float,int)Double(double,long)Fortran：Integer2,4,8；Real2,4,8第68页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—DAE方法比较(误差)数值算法的

误差产生原因主要包括：➢交替误差(AlternationError)在求解微分-代数方程时，由于代数量和微分量取不同时刻的值，由此会给系统引入相应的误差，成为交接误差，可以通过将微分方程差分化后与代数方程一同求解

解决。大型商业化的仿真计算程序(BPA/ETMSP/PSASP/PSS-E)均采用联立求解法第69页电力系统稳定性分析➢限制误差(LimitInducedError)实际系统中很多变量(代数量：OLTC变比上下限，发电机有功/无功上下限；微分量：Ef

d，SVC的Bc等)，如果限制并非刚好落在积分区间段节点上，会产生相应的误差。第6章暂态稳定分析—DAE方法比较(误差)数值算法的误差产生原因主要包括：➢近似/模型误差(ModelError)数学模型是对真实物理系统的一种近似，因此必然存在一定的误差。第70页

电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—DAE方法比较(误差)数值算法截断误差PK舍入误差ErrStepsizeRETETE第71页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—DAE积分方法➢方法精度系统考虑方法的截断误差、舍入误差和交替误差等因素，并在此基础上合理的选择求解算法及其步长。例如：进行电

磁暂态仿真的计算程序(ElectroMagnetic)和进行机电暂态仿真的计算程序(ElectroMachanic)无论是算法和计算步长上均存在很大差异。第72页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—DAE积分方法➢方法稳定性需要考虑误差的积

累是否按照指数方式传播、系统是否是病态系统(Stiffness)、积分算法的数值稳定性(A-稳定)如何等。例如：在研究电力系统的混沌(chaos)时，轨迹与系统参数存在及其灵敏的依赖性，需要选择数值稳定性很好的积分程序才能得到较为理想的结果。第73页电力系统稳定性分

析第6章暂态稳定分析—DAE积分方法➢方法适用性算法是适于与Short-term还是Mid/LongTerm的仿真场景；是否适用于Stiff/Nonstiff；是否适用于ODE/DAE……第74页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—时域仿真法时域仿真方法6.2.1仿真方

法概述6.2.2常微分方程(ODE)仿真方法简介6.2.3微分代数方程(DAE)仿真过程6.2.4暂态稳定仿真计算的一般流程6.2.5暂稳计算程序优劣比较第75页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—暂态仿真一般流程➢第一步，系统运行状态系

统仿真模型+初值✓通过潮流计算结果，得到动态元件的端口方程，与元件特性方程和潮流方程一起，形成计算模型的代数部分(A)✓根据动态元件端口量，内推其动态参数及动态方程，形成计算中的微分方程部分(D)✓根据潮流初始

值，计算各动态和静态元件的初始条件(x0,y0)第76页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—暂态仿真一般流程➢第二步，进行数值积分运算✓系统是否存在故障——动态元件参数不发生突变，而代数变量则可突变；✓进行积分运算(数值方法的选择)✓系统的判稳条

件：传统的方法，积分5秒时，判断系统最大角度差是否大于预先给定值；新修正方法，积分50秒，同时判断最大角度差和关键节点电压降落(0.8pu,5s)第77页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—暂态仿真一般流程➢第二步，进行数值积分运算✓积

分运算的终止条件：1)积分时间完成？2)系统角速度的增加(减少)量超过预先设定的阀值？3)电压降落或最大角度差达到预先的给定值，……等————好的商业化计算程序，可以由使用者自行设定计算程序的终止条件。第78页电力

系统稳定性分析第6章暂态稳定分析—时域仿真法时域仿真方法6.2.1仿真方法概述6.2.2常微分方程(ODE)仿真方法简介6.2.3微分代数方程(DAE)仿真过程6.2.4暂态稳定仿真计算的一般流程6.2.5暂稳计算程序优劣比较第79页电力系统稳定性分析第6章暂态稳定

分析—计算程序优劣比较➢是否具有足够的计算精度：特别注意计算程序的使用范围(电磁/机电/中长期稳定性分析)；➢可靠性和适用性：是否可考虑所研究系统的所有元件(直流、FACTS等)、是否适用于病态系统模型、

是否可同时考虑多级故障(含不对称)等；➢灵活性：是否允许用户设定计算条件、终止条件、自定义模型等；➢计算程序的开销：适用平台、硬件环境、内存开销等。第80页电力系统稳定性分析第六章电力系统暂态稳定分析作业:如图所示的单机无穷大系统系统参数：发电机内电势E’=1.4239，在暂态过程中始终保持不变,

X’d=0.29,Tj=15s；变压器T1:XT1=0.13;变压器T2:XT2=0.11；单回线路电抗：XL=0.58，发电机阻尼D=0.05。在0s系统发生三相接地短路，故障持续时间=0.1s，故障过程中的接地电抗X=0.07149，故障前系统处于满载运行，即V0=1.0、P0=1.0、

Q0=0.2。。要求：1)分别用Euler法，改进Euler法，四阶Runge-Kutta法编制程序，求解0-5秒t-,t-的数据，并绘制相应的曲线(D=0.05)；2)请用四阶Runge-Kutta法分别

计算当D=0.05和0.2时的临界清除时间CCT和临界清除角c,lim，并对结果进行比较。第81页电力系统稳定性分析第六章电力系统暂态稳定分析提示:1)临界清除角临界清除时间(CCT,CriticalCleaningTime)3)请用四阶Runge-Kutta法分别计算当X=0.05和0

.10时的临界清除时间CCT和临界清除角c,lim，并对结果进行比较(D=0.05)。4)观察上述计算过程中，发电机角速度的变化规律。第82页电力系统稳定性分析第六章电力系统暂态稳定分析2)发电机转子运动方程AJTTT=−=em===ppΑp22dtdJJMp==

NBNBBSpST==N********22N)(/)(−−=−−==DPPDPPMdtdTememJBNB22N:SJSpJTJ==)()1(***2N22N*DPPTdtddtddtdemJ−−==−=