【文档说明】第二章电力系统网络矩阵0409.pptx，共(61)页，716.027 KB，由精品优选上传

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第二章电力系统网络矩阵电力系统网络模型可用网络元件参数和网络元件的连结关系确定。在实际电力系统网络计算中，希望有更为简单的网络模型的描述方法，即用一个既包含网络元件参数又包含了网络元件的连结关系的矩阵来描述电力系统网络模型。节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵具有这样的特点，它们是电力

系统网络计算中使用最为广泛的网络矩阵。2.1节点导纳矩阵2.1.1节点导纳矩阵的性质、特点及物理意义1．节点不定导纳矩阵令连通的电力网络的节点数是N，大地作为节点未包括在内。网络中有b条支路，包括了接地支路。如果把地节点增广进来，电网的(N+1)×b阶节点--支路

关联矩阵是A0，b阶支路导纳矩阵是yb，定义(N+1)×(N+1)阶节点导纳矩阵Y0为网络方程T0b00AyAY=000IUY=2．1节点导纳矩阵不定导纳矩阵Y0有如下性质：性质1:当不存在移相器支路的情况下，Y0是对称矩阵，即Y0=Y0T性质2：Y0是奇异矩阵，任一行(列)元素之和为零

．这一性质的物理解释是网络中所有节点电位相同时，网络中任一条支路的电流都是零，所以节点注入电流也是零。01Y0=◆节点不定导纳矩阵的特点：连通网络的公共参考点与连通网络之间没有支路相关联，全网各节点电位不定，节点导

纳矩阵不可逆。000IUY=2．1节点导纳矩阵2．节点定导纳矩阵选地节点为电压参考点，将它排在第N+1号，令参考节点电位为零，则可将不定导纳矩阵表示的网络方程写成分块形式：000TIIy==

=UyIUYIUyyYT0000展开后得：Y是不定导纳矩阵Y0划去地节点相对应的行和列后剩下的矩阵，即以地为参考点形成的节点导纳矩阵。2．1节点导纳矩阵当网络中存在接地支路时，N个节点的电力网络和大地参考点之间有支路相联，Y矩阵是非奇异的，定义为节点定导纳矩阵，

它有如下性质：性质1：不存在移相器支路时,Y矩阵是N×N阶对称矩阵。性质2：Y是稀疏矩阵。当支路之间无耦合时，只有当节点i，j之间有支路联接，导纳矩阵非对角元Yij才有非零值元素。对互感支路的情况，在两条互感支路的共四个节点中两两节点之间，Y矩阵相应位置存在非零元素。2．1节点导纳矩

阵例如支路l两端节点号是i，j。该支路对导纳矩阵中非零元素的贡献是：可见非对角元素只在节点i，j交叉位置处有非零元素。jiyyyyjiylllll−−=TllMM若支路l(i，j)和k(p，q)

之间有互感，该两条支路对导纳矩阵中非零元素的贡献是qjpiyyyyyyyyyyyyyyyyqjpiyyyyyyyykmkmmlmlkmkmmlmlTkkkTlmkTkmlTlllTkTlkmmlkl

−−−−−−=+++=MMMMMMMMMMMM2．1节点导纳矩阵性质3：当存在接地支路时，Y是非奇异的，Y的每行元素之和等于该

行所对应节点上的接地支路的导纳。这里非标准变比变压器支路用π等值模型表示。性质4：对于以地为参考点的节点导纳矩阵Y，若网络中所有支路的性质都相同，例如都是电感性支路，则Y是对角线占优的。=−=+=ijijijiijiiYYyyyY03．导纳矩阵中元素的物理意义

在网络中节点i接单位电压源，其余节点都短路接地，此时流入节点i的电流数值上是Yii，流入节点j的电流数值上是Yij只有和节点i有支路相联的节点才有电流，其余节点没有电流，因为其余节点的相邻节点都是零电位点，这也可以说明导纳矩阵是稀疏矩阵，节点导纳矩阵

的元素只包含了网络的局部信息，例如某节点i的自导纳和互导纳只包含和节点i相联的支路的导纳信息，没有包含其余支路导纳的信息。2.1节点导纳矩阵2.1.2节点导纳矩阵的建立将各条支路对导纳矩阵的贡献进行叠加不同性质的支路决定的

不同的贡献单元；按支路进行扫描，累加每条支路对导纳矩阵的贡献，即得到导纳矩阵Y。==blly1TllMMYjiyyyybljillll=−−=1Y或者2.1节点导纳矩阵不同支路对导纳矩阵的贡献(1)对接在节点i上的接地支路，，该支路对应的单元只在(i,i)位置有非零元，其值是yl。

(2)对普通非接地支路，其两端节点分别是i和j，该支路对应的单元有四个非零元，对Yii和Yjj的贡献是yl，对Yij和Yji的贡献-yl(3)对非标准变比变压器支路，其两端节点是i和j,该支路对应的单元有四

个元素，对Yii的贡献yl,对Yjj的贡献是yl/t2，对Yij和Yji的贡献都是-yl/t.Til010=MTjil]1010[−=MTjilt]0/110[−=M2.1节点导纳矩阵2.1.3节点导纳矩阵的修

改1.支路移去和添加移去一条支路：考虑支路贡献，贡献的支路导纳为-yl，相当于在支路l上并联一个-yl的支路。添加一条支路TlllyMMYY−=TlllyMMYY＋=2.1节点导纳矩阵2.节点合并两节点合并,相当于令

两节点电压相等,新节点注入电流等于原两个节点注入电流之和。例:节点p,q合并，合并后节点称为p，则：相当于把导纳矩阵第q行加到第p行上,将第q列加到第p列上,节点合并不改变导纳矩阵的奇异性。qppqppIIIUUU

+===2.1节点导纳矩阵3.节点消去若节点无注入电流，则称为浮空接点，可将其消去；网络化简时，也需要消去一些节点。节点消去，导纳矩阵降阶。消去某节点，只需要对Y矩阵中和该节点有支路相联的节点之间的元素进

行修正，其它节点之间的元素不用修正。消去节点不影响导纳矩阵的奇异性。例：消去节点p，将节点p排在最后。=....pnpnppTppnIUYIUYYY()ppppnnTppppnYY.1..1IYIUYYY−−−=−TppppnY

YYYY1−−=pppjipijijYYYYY−=消去节点p:消去节点p后的导纳矩阵为：为消去节点p后的注入电流ppppnY.1.IYI−−消去节点后可能产生注入元。2.1节点导纳矩阵4.节点电压给定的情况：令给点电压节点为s

=..ssnssssnIUYnIUYYYssnnnUIYUY−=sssnTssUYI+=UY展开ssI可计计算出节点电给定nsn的电流和节点和UUI2.1节点导纳矩阵5.变压器变比发生变化的情况当变压器变比发生变化时，节点导纳矩阵的结构

不发生变化，只是和该变压器支路有关的几个非零元素的数值将发生变化。例如：支路l是变压器支路，该支路两端节点分别是i和j。该变压器支路原来的非标准变比是t，在节点j侧，变化后变比变成，此时，节点导纳矩阵中Yii不变，只有三个元素将发生变化．其

中非对角元素将由Yij变成，变化量是△Yij节点j对应的对角元素Yjj变成，变化量是△YjjijYtjjY变压器变比变化后，对节点导纳矩阵的修正非对角元素对角元素lllijijijytttytyYYY−−=−−−=−=11ijijjii

jYYYY+==llljjjjjjytttytyYYY−=−=−=222211jjjjjjYYY+=也可采用先移去一条支路，再添加一条新支路的方法。2.1节点导纳矩阵6.一条支路导纳发生变化的情况原来的节点导纳矩阵的结构不变，节点导纳矩阵中和该支路有关的四个元素

的数值发生变化．对支路l，其两端节点是i和j，变化前该支路的导纳是yl，变化后变成，其变化量是△yl，并有△yl=－yl，只要添加一条支路导纳为△yl的支路，即在支路l两端节点i和j之间并联一条导纳为△yl的支路即可，这可用前述支路添加的方

法修正原来的节点导纳矩阵得到新的节点导纳矩．lyly2.2节点阻抗矩阵一、节点阻抗矩阵的性质、特点及物理意义1.以地为参考节点的节点阻抗矩阵以地为参考节点的节点导纳矩阵为稀疏矩阵，如果网络中有接地支路，则为非奇异矩阵，其逆阵为节点阻抗矩阵。1−=YZUIZ=2.2节点阻抗矩阵2.节点阻

抗矩阵元素的物理意义当节点i注入单位电流，其它节点注入电流均为0时，节点i的电压数值上是Zii，节点j的电压数值上是Zij。节点阻抗矩阵元素代表了开路参数．Zii称为节点i的自阻抗，Zij称为节点i，j之间的互阻抗，用图

2.7说明:节点阻抗矩阵的元素包含了全网的信息，例如Zii是全网元件等值到节点i和地组成的端口后的等值阻抗．2.2节点阻抗矩阵从节点对i，j组成的端口注入单位电流时，本节点对的电位差定义为节点对i，j的自阻抗，用Zij，ij表示；另一节

点对p，q的电位差定义为节点对p，q和节点对i，j之间的互阻抗，用Zij，pq表示.ijjjiiijTijijijZZZZ2,−+==ZMMjpiqjqippqTijpqijZZZZZ−−+==ZMM,Tijji1001−=M

Tpqqp1001−=M2.2节点阻抗矩阵3．节点阻抗矩阵的性质性质1:节点阻抗矩阵是对称矩阵．由于Y是对称矩阵，故其逆Z也是对称矩阵，即Zij=Zji．这很容易结合互阻抗的定义并用电路原理中的互易定理来

说明．性质2:对于连通的电力系统网络，当网络中有接地支路时，Z是非奇异满矩阵．当有接地支路时Y非奇异，其逆Z也为非奇异．对于连通网络，任一节点注入单位电流都会在网络其它节点上产生非零值的对地电位，除非该节点金属接地．由Z的物理意义知，Z是满阵。对

于无接地支路的网络，Y奇异，不能用对Y求逆得到Z，这时Z无定义。这容易理解。对于浮空网，任一节点的电位是不定的．2.2节点阻抗矩阵性质3:对纯电阻性或纯感性支路组成的电网，|Zii|≥|Zij|对这两种网络，

节点i注入单位电流时，节点i的电位最高，其它节点电位不会高于节点i的电位，由节点阻抗矩阵元素的物理意义，故上述结论成立．对于既含感性又含容性支路的电网，情况比较复杂，上述结论不能保证成立。性质4:在性质3的条件下，节点对自

阻抗不小于节点对互阻抗，即：｜Zij，ij|≥lZij，pq|因为网络内无源，节点对ij端口注入单位电流时，节点对ij本身的电位差不会小于其它节点对的电位差。性质5：节点对的自阻抗和节点对的互阻抗不为零．这一性质容易用节点对的自阻抗和互阻抗的物理意义来说明．2.2节点

阻抗矩阵2.2节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵的形成方法：（1）导纳矩阵求逆（2）支路追加法（3）连续回代法2.2节点阻抗矩阵支路追加法部分网络部分网络完全网络追加支路追加支路追加支路•部分网络：是一个连通网络，它由要分析的电网的

部分或全部母线和部分支路组成。2.2.2用支路追加法建立节点阻抗矩阵2.2节点阻抗矩阵支路追加法假定部分网络的原始支路阻抗矩阵是z0，关联矩阵是A0，相对应的节点阻抗矩阵和节点导纳矩阵是Z(0)和Y(0)，则有：101001)0()0()(−−−==TAzAYZ注：部分网络之间

无耦合时，z0是对角矩阵，否则非对角线部分有非零元素。2.2节点阻抗矩阵支路追加法注：Ibo，Ubo是不包括支路α的部分网络元件的电流和电压列矢量，Ibα,Ubα是元件α的电流和电压。=

bbobboUUyyyyII000有一元件α，其自阻抗为zαα，它和部分网络各元件的互阻抗z0α，则部分网络和支路α一起构成的原始网络元件方程可用阻抗形式写成：=

..0..baboaaaooababoIIzzzzUU=10TaaoaoaoaaoooaooIyyyyzzzz2.2节点阻抗矩阵支路追加法根据分块矩阵的求逆公式，有：注意：（1）元件α与部分网络中元件无耦合时z0a＝0，za0=0T，c1，

c2都时是零矢量。（2）α是一组元件时，Zαα，Zα0，Z0α将增维变成矩阵。（3）元件α不是移相器支路时，有Z0α＝Z0αT，c1=c2T。aoaaoaoozzzzy11−−−=oaoaoaaaazzzzy11−−−=aaaaoaooaycyzzy11=−=−21cyzzyyaaoao

aaao=−=−oaozzc11−−=12−−=oaozzc2.2节点阻抗矩阵追加连支支路α作为连支加到部分网络中，部分网络增加了新支路但未增加新的节点，如图：UMAUUTTbb=00IIIMAbb=

00由KVL：由KCL：2.2节点阻抗矩阵追加连支IUMyMAyMMyAAyATTTT=+++)(0000000)()(0210)0(TTMAcyMcAYY+++=McAC+=101TTMAcC+=012矩阵求逆辅助

定理其中：展开21)0(CyCYY+=修正项简化IUMAyyyyMATT=000002.2节点阻抗矩阵利用矩阵求逆公式，对Y求逆，可得在部分网络上追加连支α后节点阻抗矩阵：追加连支)0(2110

()0(ˆC)ZZZZCz−−=注：Z(0)＝Y(0)-1是追加前的节点阻抗矩阵。其中，。1)0(21ˆCZCyzaaaa+=−2.2节点阻抗矩阵特殊情况的讨论：（1）追加支路与α部分网络无耦合时，Z0α=Zα0T=0，C1=Ma，C2=MaT，这时计算相对简单。更

特殊的情况是追加的连支有一个节点是部分网络的参考节点，即接地连支，此时，关联矩阵Ma只在位置p的一个非零元素。追加连支2.2节点阻抗矩阵特殊情况：（2）当一组连支追加到部分网络上，如这组连支和部分网络中支路没有耦合，方法与（1）一样，Mα，zαα增维为矩阵。当这组支路之间也没有耦合，zαα

将是对角矩阵；若这组支路之间有耦合，则zαα是非对角矩阵。追加连支注：相互有耦合的支路通常作为一组同时追加到网络中。2.2节点阻抗矩阵特殊情况：（3）当追加的连支α和部分网络中的支路β之间有耦合，和其它支路

无耦合，则z0α中只在β位置上有一个非零元素，令该非零元素zβα，即支路α和β之间的互感抗。其中zββ是支路β的自阻抗，zαα是支路α的自阻抗。并有：追加连支zzzy/21−=−zzMMMZzACCT−=+−

==−)(0100212.2节点阻抗矩阵特殊情况：（4）当追加的连支和部分网络中的一些支路有耦合时，则z0α中有多于一个非零元素其中：追加连支−−=jzzzy/21−−=−==jjjjjTzzMMzzAMCC

010021注：式中Ω是部分网络中和支路α有耦合的所有支路集合。2.2节点阻抗矩阵特殊情况：（5）追加一组连支，它们和部分网络中的支路有耦合，则：追加连支2100,,,,,CCMzzz都将增维为矩阵。2.2节

点阻抗矩阵在部分网络的节点p上追加一条树枝支路α，此时要新增加一个节点q，如图：追加树枝qTpeAA−=100注：ep是单位列矢量，只在节点p位置有一个非零元素1。2.2节点阻抗矩阵由KVL和KCL可

得到变化后的网络拓补关系:=bbTUUUA0IIIAq=)0(=−−qqTpTTpIIUUeAyyyyeA

)0()0(000001010令：−−=101000000TpTTpeAyyyyeAY则Y为追加支路后的节点导纳矩阵。追加树枝2.2节点阻抗矩阵将Y展开：()()+−+−++=

yyeAyyeyAeyeAyAAyAYTpTpTppTT0000000000−−+=yCyyCCyCYY2121)0(11)0(21010−−−=C

IyYCIY==−−−101011)0(121CIyZCIYZ+=−1)0(21)0(21)0()0(CZCyZCCZZZ注：可见节点阻抗矩阵追加树枝支路时节点阻抗矩阵将增维，节点阻抗矩阵在原节

点的基础上加边，原节点阻抗矩阵对应部分不变。整理求逆改为乘积形式追加树枝pecAC+=101TpTeAcC+=022其中：展开2.2节点阻抗矩阵特殊情况：（1）追加的树枝支路和部分网络中的元件无耦合时，c1、c2都是零矢

量，因而C1=ep=C2T。又+=ppTppZzZZZZ,)0()0()0()0((2)当树枝支路α和原部分网络中的支路β之间有耦合，与追加连支时对应的情况处理方法一样。区别在于把追加连支的Mα改为ep。这里公式变为：追加树枝

zy=−1zzMeCp−=12.2节点阻抗矩阵（1）追加连支支路时，节点矩阵维数不变；要移去一条支路，可以看成追加负阻抗支路。(2)追加树枝支路时节点阻抗矩阵的维数将增加。当要移去树枝支路时，只要把Z对应的行和列删去即可。小结2.2节点阻抗矩

阵例2.4用支路追加法形成以节点5为参考结点的节点阻抗矩阵。2.2节点阻抗矩阵步骤一：追加树枝支路(4)(5)(6),形成三节点阻抗矩阵3215.05.01.0j步骤二：追加树枝支路(1),产生

新节点④，利用（2.39）式节点阻抗矩阵有43213.01.0055.01.01.0j2.2节点阻抗矩阵步骤三：将(2)(3)两条耦合连支成组追加。它们组成的耦合支路组如图：耦合支路组的阻抗矩阵是：=3.02.002.04.01.

001.02.0000jzzzz关联矩阵是：注：为了简便这里只列举出耦合支路有关的部分。详细计算过程见P35。43211011000100110−−=MA)1()2()3(2.2节点阻抗矩阵

连续回代法：是利用节点导纳矩阵的因子表快速形成节点阻抗矩阵。特点：计算速度快；适于计算节点阻抗矩阵中的部分元素；在短路计算中应用广泛。连续回代法2.2节点阻抗矩阵节点导纳矩阵因子表：连续回代法LDUY=IZL

DU=)(1)(−=LDWIUU−=~ZUWZWUZ~−==Y和Z互逆：令:•特点：(1)LD是下三角矩阵，wii=1/Dii.(2)是严格的上三角矩阵，且已知。(3)(3)待求的Z矩阵是对称矩阵，只要求得Z的右上角部分即可。U~2.

2节点阻抗矩阵计算准则：（1）计算从右下角向左上角按序进行。（2）只计算Z的右上部分。连续回代法1,,11,11,1,1,1−−−−−−−−−=−==NNNNNNNNNNNNNNNNNNZUWZZUZWZ2.2节点阻抗矩阵连续回代法特点：通常用于计算阻抗矩阵中的部分元素

。例子：见P39连续回代法2.2节点阻抗矩阵（1）支路移去和添加移去一条支路，等效于添加了一条负阻抗支路，采用支路追加法对原阻抗矩阵进行修正。移去连支：阻抗矩阵阶次不变，阻抗矩阵所有元素都要修正。移去树枝：阻抗矩阵降低一阶，树枝对应的行列划去，其

余部分不变。耦合支路：按耦合支路追加的逆过程进行修正。节点阻抗矩阵的修正2.2节点阻抗矩阵（2）节点合并当节点p和节点q合并时，可以在节点p和节点q之间连接一个足够小的ε支路。新的导纳矩阵是：连续回代法TpqpqMMYY1~

−+=pqpqTpqpqZZZZZ./~−=式中Zpq.pq是节点对p，q的自阻抗，Zpq是Z的第p列和Z的第q列相减得到的矢量。2.2节点阻抗矩阵（3）消去节点（网络简化）如果网络中节点p是浮游节点，则Zn是在阻抗矩阵Z划去节点p对应的行列剩下的nxn阶

矩阵。连续回代法nnnpnnppTppnUIZUUIZZZZ==02.2节点阻抗矩阵（4）存在电压给定的节点网络中节点s电压Us给定，其余n个节点电压待求，

节点网络方程表示为：连续回代法=snsnssTssnUUIIZZZZ2.2节点阻抗矩阵用高斯消去节点s有：连续回代法ssssnnnUZZUIZ1~−−=TssssnnZZZZZ1~−−=其中：ss

ssnnnUZZIZU1−+=给定In，Us可用上式计算节点电压Un。2.3导纳矩阵和阻抗矩阵关系(1)Y和Z互为逆矩阵，都是以地为参考节点。(2)Yn和互为逆矩阵，都是以s为给定节点的情况，此时Is不独立。(3)Zn和互为逆矩阵，都是

消去s后网络矩阵，此时不独立。(4)在网络计算中，若某节点电压给定，不需要求解，则可以将Y划掉一行一列得到Yn，Yn和相对应。nZ~nY~sUnZ~(5)在网络计算中，若某节点电压是我们并不关心，只需要将Z划去一行一列的Zn

n,Zn和相对应。(6)Y和Zn不是互为逆矩阵。(7)对(4)推广，如有m个节点电压给定，只需划去m个行和列。(8)对(5)推广网络中有m个节点电压我们不关心，将Z划去m行和m列即可。nY~2.3导纳矩阵和阻抗矩阵

关系2.4本章小结(1)节点导纳和节点阻抗矩阵是用来描述电力系统最基本的矩阵，它们由网络结构和元件参数决定。(2)节点导纳矩阵可以通过扫描网络中的支路，根据连接关系可以直接生成。节点阻抗矩阵可以通过支路追加法形成，也

可通过因子表法连续回代形成。(3)节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵互为逆矩阵，但它们的相应子块不互逆。(4)节点导纳矩阵只包含了网络的局部信息，而节点阻抗矩阵则包含了全网的信息。(5)节点导纳矩阵是稀疏矩阵，可以运用稀疏矩阵进行存储。