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动态电力系统2012年秋季·研究生课程第四章直接法暂态稳定分析主要内容直接法基本原理能量函数构造RUEP法PEBS法EEAC法参考文献电力系统暂态稳定性的能量函数分析刘笙上海交通大学出版社1995直接法稳定分析付书裼、倪以信、薛禹胜中国电力出版社1999一、

概论从能量的角度分析稳定问题,从而快速判别稳定性。优点：可计及非线性大系统计算速度快，不必逐步仿真受扰运动轨迹能给出稳定裕度指标缺点：模型较简单结果偏于保守稳定性分析历史回顾18世纪末，由于瓦特发明的离心式调速器有时会造成系统的不稳定﹐使蒸汽机产生剧烈的振荡。

到了19世纪又发现船舶上自动操舵机的稳定性问题。这就迫使一些数学家用微分方程来描述和分析系统的稳定性问题。1867年英国物理学家J.C.麦克斯韦发表《论调速器》的文章﹐总结了无静差调速器的理论。1876年俄国机械学家维什涅格拉茨基在法国科学院院报上发表《论调节器的一般理论》

的文章﹐进一步总结了调节器的理论。1877年英国数学家E.J.劳思提出代数稳定判据﹐即著名的劳思稳定判据。1895年德国数学家A.胡尔维茨提出代数稳定判据的另一种形式﹐即著名的胡尔维茨稳定判据。Maxwell,J.C.“OnGovernors”.ProceedingsoftheRoyal

SocietyofLondon，Vol.16(1867-1868):270–283.Lyapunov第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；Lyapunov第二法是一种定性方法，它无需求解困难

的非线性微分方程，而转而构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。直接法发展历程1892年，Lyapunov经典论文《关于运动稳定性的一般理论》发表李

亚普诺夫（1857～1918）Lyapunov，AleksandrMikhailovich俄罗斯数学家，物理学家。1857年生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于敖德萨。1876年入圣彼得堡大学，1892年获博士学位，1

893年起任哈尔科夫大学教授。曾先后在圣彼得堡大学、哈尔科夫大学和喀山大学执教。李亚普诺夫最初从事流体静力学理论研究，1892年开创性地提出求解非线性常微分方程的李亚普诺夫函数法，亦称直接法，由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，从而在科学技术的许多领域中得到广泛的应用和发展，奠定

了常微分方程稳定性理论的基础。成为研究常微分方程定性理论的重要手段。Lyapunov第二法由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数为负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。Lyap

unov第二法是建立在更为普遍意义的基础上的，即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还

没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyap

unov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数（其构造可能十分困难）。)(S)(SeX)(S)(SeX若(,t0)与初始时刻t0无关,则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致渐近稳定的。对于线性定常系统来说,上述定义中的实

数(,t0)可与初始时刻t0无关,故其渐近稳定性与一致渐近稳定性等价。但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。)(S)(SeX必要条件：只有一个平衡点。对于非线性系统,渐近稳定性是一个局部性的概念,而非全局性的概念。2x0x)(tx1x0)(002221xVCxx==+1222

1Cxx=+22221Cxx=+1x0x)(tx0=ex1x2x0x0)(tx线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，

线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。如果要具体检验一个实际非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则仅用前述非线性系统的线性化模型之稳定性分析，即Lyapunov第一法是远远不够的，必须研究没有线性化的非

线性系统。为此有如下几种基于Lyapunov第二法的方法可达成这一目的。如克拉索夫斯基方法、Schultz-Gibson变量梯度法、鲁里叶(Lure’)法，以及波波夫方法等。在电力系统中的应用：20年代初，等面积定则1958年，Aylett，能量积分判据1966年，Gless等，明确提出70年代

末，取得重大进展。三大主导流派：加速度法：Ribbens-pavellaRUEP法：Kakimoto，Athyetc.相关不稳定平衡点法RUEP—RelatedUnstableEquilibriumPointPEBS法：势能界面法PEBS—PotentialEnergy

BoundarySurfacejF80年代以来：单机能量函数法：IMEF，1983结构保留能量函数法：SPEF，1987EEAC法：薛禹胜，扩展等面积法，1988EEAC—ExtendedEqualAreaC

riteriaBCU法：江晓东，1991BoundaryofStabilitybasedControllingUnstableEquilibriumPointMethod基于稳定域边界的主导不稳定平衡点法直接法的简单类比：，对于一个滚球系统，当滚球系统无扰动时

，滚球位于稳定平衡点SEP。受扰后，滚球位于高度h处时，其速度为v。设球的质量为m，则滚球具有的总能量为当滚球到达UEP点速度v=0，这时滚球的总能量为Vcr称为临界能量根据运动学原理，若关键：①如何对一个实际系统构造一个

合适的能量函数。②如何确定与系统临界稳定状态相对应的临界能量，从而通过比较判别稳定性。二、单机无穷大系统直接法暂态稳定分析XLXT2XT1若发电机采用经典数学模型，忽略原动机和调速器动态，忽略励磁系统的动态，则系统

的数学模型可写为：ddtMddtPPme==−mPsin=XVEeP式中，为转子角，为转子角速度与的偏差M为发电机惯性时间常数为机械输入功率为电磁功率。ttc=P,和PP受扰条件假设为：在t=0时线路II发生某种短路故障，时切除故障线路。故障前、故障

期间及故障切除后的电磁功率与功角的关系如图suPuSSoCPmPIPIIPIIIABC故障切除瞬间的动能可表示为：AdPPddtdMMVccIImcck加速面积=−===00)(212故障切除瞬间，系统的势能定义为

以故障切除后系统的稳定平衡点s为参考点到故障切除后的点c的减速面积，即：BdPPVcSmIIIcp减速面积=−=)(从而，系统在扰动结束时的总暂态能量为：)()(212BAdPPMVVVcSmIIIccpckc+=−+=+=面积Vcr)()(CBdPPVuSmIIIcr+=

−=面积将系统处于不稳定平衡点u时，系统以s点为参考点的势能作为临界能量，则：crcVV若，即面积(A+B)<面积(B+C)或面积A<面积C则系统第一摇摆稳定等面积定则三、多机系统直接法暂态稳定分析目标预想事故条件下的临界切除时间tcr步骤：①构造故障后系统的Lyapun

ov函数或能量函数V(X)②对给定的故障，寻找V(X)的临界值Vcr③对故障后系统的暂态方程进行仿真,直至V(X)=Vcr,对应时刻为tcr关键Vcr1.多机电力系统暂态能量函数经典模型：发电机：n+m个

节点n个节点负荷：恒定阻抗网络：收缩至发电机内节点Pein,1,=i)]cos()sin([,12*1**jinijijjiijiiijnjijieiieeiDCGEEYERIERP−+−+=====iiiEE=

ijjiijBEEC=ijjiijGEED=iiiiiijBGY+=ijijijjBGY+=电磁功率可写为：其中为发电机的内电势为仅保留发电机内电势节点后导纳短阵中的对角元和非对角元对应的自导纳和互导纳。暂态稳定研究的是发电机相对运动，需确定参考坐标的相位角。①M

AR坐标（machineanglereference）以第n台发电机为参考机②COI坐标（centerofinertia）以系统惯性中心为参考COIiiniMM==11COIiiniMM==11定义：==niiMM1ddtCOICOI=这里，并满

足n,1,=i~COIiiCOIii−=−=COI坐标下，定义新的发电机转子角度和角速度显然，n,1,=i~~COIieimiiiiiPMMPPdtdMdtd−−===−=+====−−=−+−−−=−=nininijjiijijiijjn

ijiijniiiimieinimiCOIDPDCGEPPPP1111,1121)cos(2)]}cos()sin([{)(CCijji=DDijji=sin()sin()ijji−=−−cos()cos()ijji−=−COI坐标下

发电机转子运动方程为：其中推导利用了关系式：2iiimiiGEPP−=能量函数推导:1212,,,,~,~,~nnn,1,=i0)(0~=−−==COIieimiiiPMMPPf为简化起见，将由变量所组成的矢量表

示为（），也表示为状态空间的点。对于故障切除后系统的稳态平衡点和不稳定平衡点，可由下式中的右端项等于零来确定，即)0,(s)0,(u其中稳定平衡点用表示不稳定平衡点用表示~,多机系统的暂态能量函数实际上是

单机无穷大系统中能量函数的一种推广，即定义为：}~21121iCOIinieimiiniiPKdPMMPPMVVVisi==−−−+=+=)()cos(])cos()[cos()(~21111111121−=+=++−=+===+−+−−

−−−−=ninijjijiijninijsjsijiijnisiiiiniijisjsidDCPMV)()sin()sin(1111,1jininijjiijijininijijdC

dCjisjsiisi−−=−−=+=−−==)()cos()(cos1111,1jininijjiijijininijijdDdDjisjsiisi+−=−

−=+=++==01==niiCOIiisidPMM推导利用了关系式：注记①能量函数由三部分组成：②动能项③势能项（转子位能与电磁储能）④耗散项—与积分路径有关，近似以线性⑤路径计及或忽略②函数正定性无法确定)()cos(])cos()[cos()(~21111111

121−=+=++−=+===+−+−−−−−−=ninijjijiijninijsjsijiijnisiiiiniijisjsidDCPMVu,0)]cos()[co

s()()0,(1111sjsiujuininijijsiuniiucrCPVVi−−−−−−==−=+==与单机系统类似，系统的临界能量将由不稳定平衡点（）处的暂态势能决定，即：多机电力系统在故障后

，系统暂态稳定的判据为：VVcccr(,~)2.稳定域估计经典法：又称ClosestUEP法。求出全部UEP，共有（2n-1-1）个。每一个失稳模式对应一个临界势能，取最小者作为Vcr，十分保守，耗时。

不稳定平衡点UEP)0,(u−−−−1nn2n1n1nC1nCC12n台机失稳二台机失稳一台机失稳）个（机系统失稳模式))0,(min(ucrVV=经典法没有考虑故障地点对稳定的影响，因而十分保守，无法实

用。研究表明，对于一特定故障，在所有种失稳模式中，必有一种是真正合理的，即系统以这种模式趋于失稳。由于这种模式所对应的与故障地点、故障类型等有着紧密的关系，因此，在以后的研究中提出了RUEP法等方法为暂态能量函数法稳定分析向实用法迈进了一大步。()211n−−加速度法

①在t=0时刻求各发电机的加速度②②设第i台发电机加速度最大，选取近似临界能量③③仿真受扰动态方程至，重新计算加速度并排列。④④仿真受扰动态方程至），，，（其中020,)0,(siuucrVV−==crVV=)0,(ucruVV=

→crcrtVV=RUEP法又称CUEP法。RUEP—RelatedUnstableEquilibriumPointCUEP—ControllingUnstableEquilibriumPoint不稳定平衡点UEP是方程1-n,1,=i0)(0~=−−

==COIieimiiiPMMPPf的解。一般用Newton法求稳定平衡点SEP，仅一个。用DFP法求不稳定平衡点UEP较合适。即求标量函数：−==112)()(niifF最小RUEP法步骤：（1）对于给定的故障情况，沿系统持续故障轨迹求出使函数取极大值时的转

子角度，并将它表示为（2）由形成一个指向UEP的向量并规格化为方向向量hSSS−)()(112−==niifFSSSS（3）从出发，沿h方向求解一维极小化问题，即SSusszzhzzzFzFˆ)(,)(0,))((())]((mi

n[*=+==且其中（4）以为起点，用DFP法求解1-n,1,=i0)(0~=−−==COIieimiiiPMMPPfuu（5）仿真受扰动态方程至crcrtVV=sssuPE

BS法思路：对复杂系统寻求一种低维系统的稳定边界，从空间转向子空间，即在角度空间寻求势能最大的点，作为Vcr的一种估计。)~,(在空间，是一族曲面（线），可以映射到空间，并转换成的一族曲面（线）—

等势面（线）)~,()~,(kV=)(lVp=PEBS定义通过各UEP，并和等势面（线）正交，从而反映Vp梯度方向的曲面。性质0)()(0)()(0)()(111111−=−−−=−=−=nisiiinis

iiinisiiifff在PEBS内在PEBS上在PEBS外持续故障轨迹与PEBS相交的点接近RUEP，且此时与RUEP法的区别：Vcr的确定。单机无穷大系统：PEBSRUEP在上，多机系统：RUEP难求，于是在持续故障轨

迹上搜索Vp最大的点VcrPEBS法步骤：（1）对于给定的故障情况，沿系统持续故障轨迹计算每一时段的Vp。（2）求Vp的最大值。①比较与前一时段之值，若，用插值法求出最大的Vp②在每一时段，计算，直至0)()(11=−−=nisii

if)(npV)1(−npV0)1()(−−npnpVV)()(11−=−nisiiif，认为此时的Vp最大（3）仿真受扰动态方程至crcrtVV=SEP0SEPRUEP持续故障轨迹临界故障轨迹tcrPEBSBCU法是Chiang等提出的基于稳定域

边界的主导不稳定平衡点方法。用来改进对RUEP的识别。该方法先按持久故障轨迹积分，直到故障中的角度矢量和故障后的功率失配矢量的内积改变符号为止；然后从该点开始，对一组梯度动态方程积分，并搜索梯度最小的点；再以后者为起点用一般方法计算RUEP。BCU法是PEBS方法与主导不稳定平衡点方法

的结合。BCU法可以避免给出临界能量的错误估计,改进了PEBS方法,但仍然没有克服其保守性。ChiangH,WuFF,VaraiyaPP.ABCUMethodforDirectAnalysisofPowerSystemTr

ansientStability.IEEETransonPWRS,1994,9(3)与PEBS法的区别：是一种改进的PEBS法。BCU法主要是利用相关UEP处的势能作为Vcr，而PEBS法则是使用逸出点（ExitPoint）的势能作为Vcr。前者比后者更合

理。EEAC法多机系统临界群余下群单机单机单机无穷大系统分解等值等值等值n,1,=i)(eimiiiiiPPdtdMdtd−==对n机电力系统：假设1：失稳模式已知失稳群称为S群，余下群称为A群。定义S与A的角度与角速度为：

===SiiSiSiiSSiSiiSSMMMMMM,11===AjjAjAjjAAjAjjAAMMMMMM,11假设2：群内转子角度无相对摆动==AjSiAjSi则S

与A群惯性中心的运动方程为：−==SieimiSSSSPPdtdMdtd)(−==AjejmjAAAAPPdtdMdtd)(二机等值进一步，作单机无穷大系统等值。令：AS−=定义单

机惯性时间常数：TASASASMMMMMMMM==+则：−=−−==emSiAjejmjMMeimiMMPPPPPPdtdMdtdTSTA)(-)(其中：−+===)sin()-()-(maxS1S1PPPMP

MPPMPMPCSiAjejeiAMeSiAjmjmiAMmTT这里：==−=+==−−AjSiijjiSiAjijjiMMMDCSiAjAljlljMMSkikkiMMCBEEDGEECDCP

GEEGEEPTSATSTA122maxtan,-EEAC的应用①系统规划快速扫描工具②运行规划在有限时间内，根据经济目标作出满足暂态安全约束的最优决策。③在线运行和预防控制④紧急控制事故后，〈200ms四、直接法

研究动态①提高模型的适应性②提高计算速度③与SBS法相结合④用于电压稳定分析⑤直接法灵敏度分析