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1.4电力线和电通量、高斯定律1.5利用高斯定律求静电场的分布例一用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。例三、均匀带电的球体内外的场强分布例五、求无限大均匀带电平板

的场强分布。例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。目录1.4电力线和电通量pSNpE)()(⊥正确的选择可以使数密度等于场强。N1定义：一、电力线(electriclineofforce)电力线上各点的切线方向表示

电场中该点场强的方向，在垂直于电力线的单位面积上的电力线的条数（数密度)等于该点的场强的大小。Eq+2电力线的性质：电力线不会中断。电力线不会相交。（单值）电力线不会形成闭合曲线，它起始于正电荷终止于负电荷。Eq+

q−1定义二、电通量通过任一面元的电力线的条数称为通过这一面元的电通量。（类比于流速场的定义）。EdS⊥E//Ecos)cos(dSnEdSdS==⊥)dS⊥dS面元在垂直于场强方向的投影是，dS是面元的法线

方向，是场强的方向与面元法向的夹角。所以n)dSn)EcosEdSEdSde==⊥定义：矢量面元ndSSd)=大小等于面元的面积，方向取其法线方向。因此电通量：SdEde=⊥dSdSn)E⊥dS所

以通过它的电通量等于面元的电通量,又因通过任一曲面S的电通量：==SSeeSdEd0=ed0ed2方向的规定：闭合曲面外法线方向(自内向外)为正。En)En)En)0ed非闭合曲面的边

界绕行方向与法向成右手螺旋法则n)三、静电场的高斯定律Gausstheorem表述：e0静电场中任何一闭合曲面S的电通量，等于该曲面所包围的电荷的代数和的分之一倍。=iinsideiSqSdE,01数学表达式证明：可用库仑定律和叠加原理证明。1证明包围点电荷的同心球面

的电通量等于qSe0q球面上各点的场强方向与其径向相同。球面上各点的场强大小由库仑定律给出。dSrqEdSSdEde2041===qrEdSrqEdSSdEde2041===0202044

qdSrqdSrqdSSSee====此结果与球面的半径无关。换句话说，通过各球面的电力线总条数相等。从发出的电力线连续的延伸到无穷远。qqrE2证明包围点电荷的任一闭合曲面的电通量等于qSe0/q立体角solidangle2rdSd=q立体角2

rdSd=cos'dSdS=2'2'cosˆrdSrrSdd==ndSrESdEdeˆˆ''====dqEdS040qddSSeee===实际上因为电力线不会中断（连续性），所以通过闭合曲面和的电力线数目是相等的。'SS'dSdSnˆ

Erˆd4=Sd可以证明，略。由于电力线的连续性可知，穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。所以当闭合曲面无电荷时，电通量为零。3证明不包围点电荷的任一闭合曲面的电通量恒等于零。SEq'dS''

dS4证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电通量的代数和。iq2q1q利用场强叠加原理可证。SdEEESdESSe)(321+++===+++==ii

nsideieneeSeqSdE,0211两点说明：E高斯定律中的场强是由全部电荷产生的。通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。++=SSSnSdESdESdE221〖附〗对

于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。高斯定律的用途：当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域的电荷、电位分布。开

文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一客观规律。对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯定律仍然有效。1.5利用高斯定律求静电场的分布中的能以标量SSdEE当场源电荷分布具

有某种对称性时，应用高斯定律，选取适当的高斯面，使面积分形式提出来，即可求出场强。均匀带电球壳均匀带电无限大平板均匀带电细棒ElSeOrpEQopeES例一用高斯定律求点电荷的场强分布，证明库仑定律024qrEdSESdESSe====rrqEˆ420=

由对称性可知场强的方向在径向。若将另一点电荷放在离为远的地方,则由场强定义可求出受到的力:0qqr0qrrqqFˆ4200=点电荷的场具有一点电荷为中心的球对称性，固选以点电荷为球心，任一长度r为半径的球面为高斯面。则有：E

Eq例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。设球壳半径为R，所带总电量为Q。解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面为高斯面。场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。

当高斯面内电荷为Q，所以Rr，024QrEdSESdESSe====RrrrQE=ˆ420RrE=0当高斯面内电荷为0Rr高斯面高斯面EQ均匀带电球壳Rr结果表明：均匀带电球壳外的场强分布正象球面上的电荷都集中在球心时所形

成的点电荷在该区的场强分布一样。在球面内的场强均为零。EQRr例三、均匀带电的球体内外的场强分布。设球体半径为R，所带总带电为QrRQrEˆ430=Rr3033302343414RQrRQrrESdES===RrrrQEˆ

420=解：它具有与场源同心的球对称性。固选取同心的球面为高斯面。EQRr例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。设线电荷密度为e该电场分布具有轴对称性。距离导线r处一点p点的场强方向一定垂直于带电直导线沿径向，并且和P点在同一圆柱面（以带电直导线为轴）上的各点场强大小也都相

等，都沿径向。以带电直导线为轴，作一个通过P点，高为的圆筒形封闭面为高斯面S，通过S面的电通量为圆柱侧面和上下底面三部分的通量。lElSeOrp==SfacesideeSdESdE因上、下底面的场强方

向与面平行，其电通量为零。即式中后两项为零。=insideeilq此闭合面包含的电荷总量lrlEdSESdEefacesidefacesidee012====++bott

omtopSdESdErEe02=其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。ElSeOrp解：由于电荷分布对于求场点p到平面的垂线op是对称的，所以p点的场强必然垂直于该平面。0e0e又因电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。即离

平面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面，当场强指离平面。当场强方向指向平面。例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。设面电荷密度为eopeES选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面S，带电平面平分此圆筒，场点p位

于它的一个底面上。由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、电通量相等，均为穿出。SESdESdESdEfacerightSfacelefte=+==2

02SSEe=场强方向垂直于带电平面。opeES02eE=场强方向指离平面;0e场强方向指向平面。0e例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。设面电荷密度分别为和+=1−=2

解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生的总场强。+BA−C需注意方向。作业：1.121.151.180022==+

=−+EEEC直流电路中的平行板电容器间的场强，就是这种情况。ABC+−由图可知，在A区和B区场强均为零。C区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。1.4电力线和电通量、高斯定律1.5利用高斯定律求静电场的分布例一用高斯定律求点电荷的场强分布，证

明库仑定律例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。例二、均匀带电的球壳内外的场强分布。例三、均匀带电的球体内外的场强分布例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。例六、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。目录