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第三节初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂ab与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考一、指数函数1.指数函数的定义::)(个条件在复平面内满足以下三当函数zf;)((1)在复平面内处处解析zf);

()((2)zfzf=).Re(,)(,0)Im((3)zxezfzx===其中时当)sin(cosexp,yiyezzx+=记为的指数函数此函数称为复变数指数函数的定义等价于关系式:)(,2)(expArg,|exp|为任何整数其中kkyz

ezx+==.exp来表示可以用指数函数zez)sin(cosyiyeexz+=.exp,的符号只是代替没有幂的意义注意zez.)()()(:zzzzeeezfezf===(3){0};\C(2);C(1)的值域的定义域为注2.加法定理)exp(expexp2121z

zzz+=证,,222111iyxziyxz+=+=设21expexpzz=左端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx++=)]sincoscos[(sin)]sinsincos[(cos2121212121yyyyiyyyyexx++−=+)]sin()[co

s(212121yyiyyexx+++=+.)exp(21右端=+=zz,exp,的周期性可以推出根据加法定理z,2expikz的周期是.22zikzikzeeee==+即)(为任何整数其中k.所没有的该性质是实变指数

函数xe例1);Re()3(;)2(;)1(,122zzzieeeiyxz−+=求设解)sin(cosyiyeeexiyxz+==+因为.cos)Re(,yeeeexzxz==实部所以其模zie2)1(−

)(2iyxie+−=,)21(2yixe−+−=;22xziee−−=2)2(ze2)(iyxe+=,222xyiyxe+−=;222yxzee−==ze1)3(yixe+1,2222yxyiyxxe

+−++=.cos)Re(22122yxyeeyxxz+=+例2解求出下列复数的辐角主值:).π20()5(;)4(;)3(;)2(;)1(4343322−−−+−+iiiiiieeeeee)sin(cos的辐角因为yiyeeexiyxz+==+)(2Arg为整数k

kyez+=.],(-arg内的一个辐角为区间其辐角主值ze)1(,21Arg2+=+kei;1arg2=+ie)2(,23Arg32+−=−kei;3arg32−=−ie,24Arg43+=+kei;24ar

g43−=+ie,24Arg43+−=−−kei;24arg43+−=−−ieiiee−)5(;)3(43ie+;)4(43ie−−)sin(cossincosii+−+=)sin(sin)c

os(cos−+−=i2sin2cos22sin2sin2−++−+−=i+++−−=2cos2sin2sin2i+++++−=2πsin2πcos2sin2

iπ,20因为,02sin−.的三角表示式上式就是复数iiee−)(Argiiee−所以,π22πk+++=,π时当+)(argiiee−,2π++=,π时当+)(argiiee−.π22π−++=例3的周期求函数.)(5zezf=解,2i

kez的周期是5)(zezf=ikze+=25510ikze+=的周期是故函数.10)(5ikezfz=),10(ikzf+=二、对数函数1.定义.ArglnLn,)()0(zizzwzfwzzew

+====记为称为对数函数的函数满足方程.π2,)(,Arg的整数倍并且每两值相差也是多值函数所以对数函数为多值函数由于izfwz=,argArgArglnLnzzzizz取主值中如果将+=.LnlnLn的主值称为，记为为一单值函数，那末zzz.arglnlnzi

zz+=其余各值为),,2,1(2lnLn=+=kikzz.Ln,,的一个分支称为上式确定一个单值函数对于每一个固定的zk特殊地,.,lnlnLn,0是实变数对数函数的主值时当xzzxz==例1解.)1(L

n,2Ln以及与它们相应的主值求−,22ln2Lnik+=因为ln2.Ln2的主值就是所以)1(Arg1ln)1(Ln−+=−i因为)()12(为整数kik+=.1)Ln(i−的主值就是所以注意:在实变函数中,负数无对数,

而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例2解.031=−−iez解方程,31iez+=因为)31(Lniz+=所以+++=kii2331ln++=ki232ln),2,1,0(=k2.性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz+=,

LnLnLn)2(2121zzzz−=且处处可导和其它各分支处处连续主值支的复平面内包括原点在除去负实轴,,,)()3(.1)Ln(,1)(lnzzzz==证(3),iyxz+=设,0时当x,arglim0−=

−→zy,arglim0=+→zy.ln,,处处连续在复平面内其它点除原点与负实轴所以z,lnarg是单值的内的反函数在区域zwzezw=−=wezzwdd1dlnd=[证毕].1z=三、乘幂与幂函数ba1.乘幂的定义,,,Lnabbeaba定义为乘幂复数为任意

一个为不等于零的一个复数设.Lnabbea=即注意:.,)2arg(lnLn也是多值的因而是多值的由于bakaiaa++=,)1(为整数时当bLnabbea=)]2arg([ln++=kaiabeikbaiabe++=2)a

rg(ln,lnabe=.具有单一的值ba,0),()2(时为互质的整数与当=qqpqpb)]2arg([ln++=kaiaqpbea)2arg(ln++=kaqpiaqpe+++=)π2arg(sin)π2arg(

coslnkaqpikaqpeaqp,个值具有qab.)1(,,2,1,0时相应的值即取−=qk特殊情况:,)()1时正整数当nb=Lnannea=LnLnLnaaae+++=)(项指数nLnLnLnaaaeee=)(个因子n.aaa=)(个因子n,)(1)2时分数当

nb=Ln11annea=+++=nkainkaean2argsin2argcosln1+++=nkainkaan2argsin2argcos1,na=.)1(,,2,

1,0−=nk其中;,bzwza==就得到一般的幂函数为一复变数如果.,11nnnnzzwwzzwnnb=====的反函数及数就分别得到通常的幂函时与当例3.12的值和求ii解Ln1221e=22=ike)22

sin()22cos(+=kik.,2,1,0=k其中iiieiLn=+=ikiie22+−=ke22.,2,1,0=k其中答案课堂练习.3)(5−计算),2,

1,0(].)12(5sin)12(5[cos3)3(55=+++=−kkik例4.)(1的辐角的主值求ii+解)Ln(1)1(iiiei+=+++=ikiie242ln2

1.,2,1,0=k其中)]1(Arg1ln[iiiie+++=2ln2124ike++−=+=+−2ln21sin2ln21cos24ie

kln2.21)(1的辐角的主值为故ii+2.幂函数的解析性,)1(的在复平面内是单值解析幂函数nz.)(1−=nnnzz.,)2(1个分支具有是多值函数幂函数nzn它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,()=nnzz1

=zneLn1.111−=nzn它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,,)1((3)也是一个多值函数两种情况外与除去幂函数nnbzwb==.)(1−=bbbzz.,是无穷多值的为无理数或负数时当b四、三角

函数和双曲函数1.三角函数的定义,sincosyiyeiy+=因为,sincosyiyeiy−=−将两式相加与相减,得,2cosiyiyeey−+=.2sinieeyiyiy−−=现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情

况.,2cosizizeez−+=我们定义余弦函数为.2sinizizeez−−=正弦函数为.cos,sin,是偶函数是奇函数容易证明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz=−−=−.cos)2cos(,s

in)2sin(zzzz=+=+.2为周期的是以正弦函数和余弦函数都例5.5sin)(的周期求zzf=解,sin)2sin(zz=+因为,5sin)25sin(zz=+所以+=+525sin)25sin(zz又因为

,5sin525sinzz=+所以.525sin)(=的周期是故zzf有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式=++=+−=+.1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz

+=+−=+.sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数..sin)(cos,cos)(sinzzzz−==,时为纯虚数当yiz,cosh

2cosyeeyiyy=+=−.sinh2sinyiieeyiyy=−=−+=+−=+.sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix.cos,sin,→→→yiyiy时

当(注意：这是与实变函数完全不同的)其他复变数三角函数的定义,cossintanzzz=正切函数,sincoscotzzz=余切函数,cos1seczz=正割函数.sin1csczz=余割函数.,,,cossin解析性奇偶性周期性我们可以讨论它

们的类似和与zz例6.tan的实部与虚部确定z解zzzcossintan=,iyxz+=设)cos()sin(yixyix++=yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin−+=yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcos

hcossin−++=.sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222yxyiyxx+++=)Re(tanz=)Im(tanz=例7.)3tan()1(cos的值和求ii−+解2)1c

os()1()1(iiiieei+−++=+211iiee−+−+=)]1sin1(cos)1sin1(cos[211ieie−++=−1sin)(211cos)(2111ieeee−++=−−.1sinh1sin1cosh1c

osi−=)3cos()3sin()3tan(iii−−=−iiiisin3sincos3cossin3coscos3sin+−=1sinh3sin1cosh3cos1sinh3cos1cosh3sinii+−=22)1sinh3(sin)1cosh3(cos)1cosh3sin1cosh3

)(cos1sinh3cos1cosh3(sin+−−=ii1sinh3sin1cosh3sin1cosh3sin1cosh3cos1sinh1cosh3cos3sin22222222+−+−=i.)3(sin2)1(cosh22

sin6sin22−−=i2.双曲函数的定义,2coshzzeez−+=为我们定义双曲余弦函数,2sinhzzeez−−=双曲正弦函数为.tanhzzzzeeeez−−−+=双曲正切函数为.,的定义完全一致函数它与高等数学中的双曲

时为实数当xz.cosh,sinh,是偶函数是奇函数容易证明zz它们的导数分别为,cosh)(sinhzz=并有如下公式:,coscoshyyi=+=++=+.sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh

)cosh(yxiyxyixyxiyxyix它们都是以为周期的周期函数,i2.sin)(coshzz=.sinsinhyiyi=五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义.cosArc,,coszwzwwz==记作的反余弦函数为那么称设,2cosiwiweewz−+==由,012

2=+−iwiwzee得,12−+=zzeiw方程的根为两端取对数得).1Ln(cosArc2−+−=zziz同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:),1Ln(Arcsin2ziziz−+−=.

11Ln2Arctaniziziz−+−=2.反双曲函数的定义),1Ln(Arsinh2++=zzz反双曲正弦),1Ln(oshAr2−+=zzzc反双曲余弦.11Ln21Artanhzzz−+=反双曲正切例8

解).32tan(Arci+求函数值=+)32tan(Arci)32(1)32(1Ln2iiiii+−++−53Ln2ii+−−=+−+−=kii231arctan52ln2.31arctan212152ln4−++−=ki.,2

,1,0=k其中六、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性)π2(i周期为2.负数无对数的结论不再成立3.三角

正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相

同的形式.最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,.1cos1sin不再成立与zz放映结束，按Esc退出.