【文档说明】《机械制图》课件[04]点、直线、平面的投影.pptx，共(72)页，694.688 KB，由精品优选上传

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第一节点的投影第二节直线的投影第三节平面的投影第四节直线与平面、平面与平面的相对位置第四章点、直线、平面的投影第一节点的投影一、点在两投影面体系中的投影过A作垂直于V、H面的投射线Aa´、Aa，分别与H面交于a，与V面交于a´，a、a´即为点A的两面投影。VHOXAaa'V实际作图时不画投影面

边框。VHOXaa´axa´aOXHOXAaa´V点的两面投影规律：（1）、点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即aa'⊥ox；（2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离，即：a'ax=Aaaax=Aa'二、点在三投影面体系中的投影规定：空间点A用

大写字母表示，在H面的投影用a，在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。VHWXYZOa'aa"AaxazayaVHWOXYHYWZa'a"XYHYWZOa'a"a点的三面投影规律：（1）、点的投影连线垂直于投影轴。即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz（2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点

的坐标，也就是该点到相应投影面的距离。三、点的三面投影与直角坐标的关系：将投影面体系当作空间直角坐标系，把V、H、W当作坐标面，投影轴ox、oy、oz当作坐标轴，o作为原点。点A的空间位置可以用直角坐标（x，y，

z）来表示。点A的X坐标值=oax=aay=a'az=Aa"反映点A到W面的距离。Y坐标值=oay=aax=a"az=Aa'反映点A到V面的距离。Z坐标值=oaz=a'ax=a"ay=Aa反映点A到H面的距离。a由点A的x、y值确定，a

'由点A的x、Z确定，a"由点A的y、z值确定。VHWXYZOa'aa"AaxazayOa"aywXYHYWZaa'axazxayh例1、已知点的坐标值为：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它们的三面投影图。解：（1）量取坐标值；XOY

HYWZaa'a"bb'b"（2）作点的投影。2020例2、已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。ab'c点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置。点B的Z坐标为0，故点B为H

面上的点。点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点。bb"c'c"xyHywzoa'a"z四、两点的相对位置和重影点1、两点的相对位置要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据这两点在每个的面投影关系和坐标差来确定。例：由投影图判断A、B两点的空间位置。（1）由A、B两点

V、H面投影可确定点A在点B左方。（2）由A、B的H、W面投影可确定A在B前方。（3）由A、B的V、W面投影可确定A在B下方。因此点A位于点B左、前、下方。aa'bb'XOYHYWZa"b"2、重影点重影点——空间两点在一个面的投影重合于一点叫做重影点。如图：C、

D两点的水平投影，重合为一点。OXc（d）c'd'又因点C在点D的正上方，所以C点可见，D点被遮盖。作图时不可见点加括号。结论：如果两个点的某面投影重合时，则对该投影面的投影坐标值大者为可见，小者为不可见。例：已知点D的三面投影，点C在点D的正前方15mm，求作点C的三面投影，并判别其投

影的可见性。解：由已知条件知：XC=XDZC=ZDYC-YD=15mm∴点C、D在V面上的投影重影。cc'c"又∵YC>YD∴C的V面投影为可见点，则D的V面投影为不可见点。()YHd'OXYWZdd"XDZDYDXCZCYC点A在V面上，故YA=0点B在X轴上，故ZB=YB=0

点C在原点上，故Zc=Yc=Xc=0XYWOYHZaa"bb"a'（b'）点A在点B的上方（ZA＞ZB)点A在点B的右方（XA＜XB)点A在点B的前方（YA＞YB)点A在点B的正前方(XA=XB、ZA=ZB、YA＞YB)点A和点B称为V面上的重影点。VHXY

ZbBAb'aa'a"WOb"WVHXYOZABaba"b"(b')a'YZVHXOa'a"ab'bBAWb"(c")c'cZXYWYHaa"bb"(c")c'a'b'cXYWOYHZaa"bb"a'b'第二节直线的投影一、直线的投影直线的投影一般为直线，

可由直线上两点的同面投影连线确定。例：已知直线AB端点坐标为A（20，15，5）,B（5，5，15）作AB的三面投影。OXYHYWZaa'a"bb'b"二、各种位置直线的投影特性1、一般位置直线直线的三面投影长度均小于实长，

三面投影均倾斜于投影轴，但不反映空间直线对投影面倾角的大小。VHWXYZOYWOXYHZaa'a"bb'b"2、投影面平行线1）、水平线：平行于H面，对V、W面倾斜水平投影ab=AB侧面投影a"b"∥OYwβγab与OX、OYH的夹角β、γ等于AB对V、W面的倾角。VHWXYZbA

b'b"a"aa'BγOβOXYHYWZaa'a"bb'b"正面投影a'b'∥OX2）、正平线：平行于V，对H、W倾斜αγ正面投影c'd'=CDc'd'与OX、OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角。YWZVHXc"OOXYHYWZcdc'd'c"d"侧面投影c"d"∥OZ水平投影cd∥O

X3）、侧平线：平行于W面，对V、H面倾斜侧面投影e"f"=EF水平投影ef∥OYHe"f"与OYW、OZ的夹角α、β等于EF对V、H面的倾角。αβVHXYOZFfee"e'f'f"e"EWOXYHYWZefe'f'e"f"正面投影e'f'∥OZ1、a'b'=AB=实长2、ab

∥OX轴，a"b"∥OZ轴3、β=0°α、γ反映实际大小1、ab=AB=实长2、a'b'∥OX轴，a"b"∥OYW轴3、α=0°β、γ反映实际大小1、a"b"=AB=实长2、a'b'∥OZ轴，ab∥OYH轴3、γ=0°，β、α反映实际大小Y

WZVHXa"OXYWYHZaa"bb"a'b'VHWXYZbAb'b"a"aa'BOXYWOYHZaa"bb"a'b'WVHXYOZBaba"b"b'a'AXYWOYHZaa"bb"a'βα投影面平行线的投影特性1、直线在所平行的投

影面上的投影反映直线的实际长度。2、直线在另外两个投影面上的投影平行于相应的轴（所平行投影面上的投影轴）。3、投影面垂直线1）、铅垂线：直线⊥H面，∥V、W面。水平投影积聚为一点。a'b'=a"b"=ABa'b'⊥OXa"b"

⊥OYWOXYHYWZa（b）a'b'a"b"2）、正垂线：直线⊥V面，∥H、W面。正面投影积聚为一点。cd=c"d"=CDcd⊥OXc"d"⊥OZOXYHYWZcdc'(d')c"d"3）、侧垂线：直线⊥W面，∥H、V面。侧面投影积聚为一点。ef=e'f'

=EFef⊥OYHe'f'⊥OZOXYHYWZefe'f'e''（f"）1、V面投影积聚为一点。2、a"b"=ab=AB=实长3、ab⊥OX轴,a"b"⊥OZ轴β=90°α、γ=0°1、H面投影积聚为一点。2、a"b"=a'b'=AB=实长

3、a'b'⊥OX轴,a"b"⊥OYW轴α=90°β、γ=0°1、w面投影积聚为一点。2、a'b'=ab=AB=实长3、ab⊥OYH轴,a'b'⊥OZ轴γ=90°α、β=0°YWZVHXa"a'b'()VHWXYZAb'b"a"a'BOWVHXYZABabb'a'OXYWYHZaa"bb

"a'b'()XYWOYHZa"b"a'b'XYWOYHZaba'投影面垂直线的投影特性1、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。2、直线在另外两个投影面上的投影垂直于相应的轴（所垂直投影面上的坐标轴

），且反映实际长度。三、直线上的点1、从属性：点在直线上，点的各面投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该点必在此直线上。OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"2、定比性：直线上的点分割直线之比

，在投影后保持不变。OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"即：AK:KB=ak:kb=a'k':k'b'=a"k":k"b"例1、试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作C点。解：分点C的投影必在AB的同面投影上。即

：ac:cb=a'c':c'b'=1:2OXaba'b'123cc'例2、已知直线CD及点M的两面投影，判断点M是否在CD上。解1、作侧平线CD和点M的侧面投影，由作图可知点M的侧面投影不在c"d"上，所以M不在CD上。c"d"m"z

YHYWOXcdc'd'mm'解2、在H面作任一直线cE，使cE=c'd'。并截取cM1=c'm'EM1连dE，过M1作dE的平行线与cd交于m1mOXcdc'd'm'm1因为m1与m不重合，所以M不在CD上。四、两直线相对位置空间两直线的相对位置分为平行、相交、交叉1、平行两直线：投影特性：空

间两直线相互平行，它们的各组同面投影必定相互平行。ABCDabcd反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定平行。2、相交两直线abcdABCDKkK是两直线的共有点，∴K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上。交点K的三面投影符合

点的投影规律。★相交的两直线是共面的直线。OXZYHYWabcdka'b'c'd'k'a"b"c"d"k"3、交叉两直线在空间既不平行也不相交的两直线为交叉两直线。同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。如图示：aa

'bb'cc'dd'直线AB、CD两面投影的交点连线不⊥OX轴，∴AB、CD为交叉两直线。aa'bb'cc'dd'投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。对重影点应区分其可见性，即根据重影点对同一投影面的坐标值大小来

判断。坐标值大者为可见点，小者为不可见点。11'22'33'44'()()例1、判断两直线的相对位置交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两直线。∵ab与cd在一直线上，而ab∥cd，∴两直线平行。∵CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。

OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'Emk例2、过C点作水平线CD与AB相交。dd'先作CD的正面投影kk'aa'bb'cc'••例3、已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MN∥

CD并与直线AB相交于N点。·aa'bb'cc'dd'mOXnn'm'作图：过m作mn∥cd，并与ab交于n；由n求出n'；过n'作n'm'∥c'd'，求得m'。➢点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。➢点与直线及两直线的相对位置的判

断方法及投影特性。➢点分割直线成定比——定比定理。小结第三节平面的投影一、平面的表示法用几何元素表示平面不在同一直线上的三点。aa'bb'cc'a'ab'bc'c一直线和线外一点。c'ca'ab'b相交两直线。b'ba'ac'cdd'平行两直线。b'ba'ac'c任意平面形。二、各种

位置平面的投影铅垂面正垂面侧垂面水平面正平面侧平面平行于某一投影面垂直于某一投影面特殊位置平面对三个投影面都倾斜投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1、投影面垂直面垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面。垂直的投影面上投影有积聚性，面积聚成一直线。其余两投影面的投影为类

似性。OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"βγ1、V面投影积聚成一条直线，且反映α、γ的真实大小。β=90°2、H、W投影均为原平面的类似形1、H面投影积聚成一条直线，且反映β、γ的真实大小。α=90°2、V、W投影均为原平面的类似形

1、W面投影积聚成一条直线，且反映β、α的真实大小。γ=90°2、V、H投影均为原平面的类似形YWZVHXa"VHWXYZb'b"a"a(c)a'b(d)ABDCd"c"WVHXYZabb'a'CADBXYWYHZaa"bb"YWXOYHZa(c)a"b"a'

b'c"d"b(d)XYWOYHZaba'平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线；其余两投影面仍为原形的类似形，但比实形小；平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的倾角。2

、投影面平行面平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂直于其余两个投影面。在所平行的投影面上的投影反映实形积聚为直线并平行于相应的投影轴OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"V面投影反映实形，H、W

投影积聚成一条直线，且分别平行于OX轴、OZ轴H面投影反映实形，V、W投影积聚成一条直线，且分别平行于OYW轴、OX轴W面投影反映实形，V、H投影积聚成一条直线，且分别平行于OYH轴、OZ轴YWZVHXCVHWXYZ

b"aa'bCABWVHXYZab'c"BCAa"XYWYHZab(c)b"YWXOYHZab"a'bXYWOYHZab(c)c"投影特性平面在所平行的投影面上的投影反映实形；其余两投影积聚为直线

，并分别平行于相应的投影轴。3、一般位置平面对三个投影面都倾斜的平面。其特性为：1、它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性。2、不直接反映该平面与投影面的倾角。OXYWYHZaa'a"bb'b"cc'c"三、平面上的点和直线1、平面上的点和直线•定理一：若点在平面内，它必在平面内的一

条直线上。•定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该平面上另一直线，则此直线在该平面内。•定理三：若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。例1、已知△ABC平面内点K的V面投影k'，求作K的H面投影。解1解2d'dOXaa'bb'cc'·k'kk·OXaa'bb'c

c'·k'·m'n'nm例2、已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H面投影。解1OXaa'bb'cc'd'de'eOXaa'bb'cc'd'解2e'ed2、平面上的投影面平行线凡在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行

线。平面内的水平线——直线在平面内，又平行于水平面的直线。平面内的正平线——直线在平面内，又平行于正面的直线。平面内的侧平线——直线在平面内，又平行于侧面的直线。例3、作△ABC平面内的正平线，它距V

面为8mm。OXaa'bb'cc'因为正平线的水平投影平行于OX，先作34∥OX，使其距V面8mm，再求出3'4'。343'4'例4、在△ABC内取一点K，使点K距V面8mm，距H面12mm。OXaa'bb'cc'解：8122'1'33'44'kk'四

、特殊位置圆的投影1、与投影面平行的圆当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，且平行于相应的投影轴。OXYHYWZ2、与投影面垂直的圆当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其余两

投影为椭圆。XOaa'bb'cdc'(d')第四节直线与平面、平面与平面之间的相对位置一、直线与平面、平面与平面平行1、直线与平面平行定理：直线平行于平面上的某一条直线。即：如果直线平行于平面，则直线的

各面投影必与平面上一直线的同面投影平行。例1、过点M作直线MN平行于平面△ABC。解：有多少解？nn'无数解aa'bb'cc'mm'例2、过点M作直线MN平行于V面和△ABC。解：正平线∵△ABC为正垂面，∴直线MN的正面

投影m'n'必定平行于a'b'c'。又∵MN为正平线，∴mn平行于OX轴。n'n有唯一解abcmm'a'b'c'有多少解？当直线与垂直于投影面的平面平行时，在平面垂直的投影面上，直线的投影平行于平面有积聚性的同面投影。2、平面与平面平行

几何条件：2）、若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。1）、若一个平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。caa'bb'c'd'dee'ff'gg'XOOX例3、过点K作平面平行

于△ABC解：分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。作图：KL∥AB，KH∥BC。ll'hh'••a'ab'bc'ck'k例4、判别如图所示的两平面是否平行。解：

1'12'(2)3'34'(4)a'ab'bc'c因两平面均为铅垂面，在H面的投影互相平行，所以两平面平行。1、直线与平面相交交点是直线与平面的共有点。讨论：（1）求直线与平面的交点；（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位

置的情况。1）、一般位置直线与特殊位置平面相交二、直线与平面、平面与平面相交例1、求直线AB与铅垂面△DEF的交点K，并判别可见性。分析：因△DEF的水平投影def有积聚性，交点K是△DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平

投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k'。a'ab'bd'de'ef'fkk'1'1(2')2由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出V面的投影k'，再求出H面投影k。由于a'k'在水平面的上方，故水平投影ak可见，kb被圆遮住的部分

为不可见。例2、求直线AB与水平面的交点K，并判别可见性。aa'bb'k'k•例3、求特殊位置直线（铅垂线）DE与一般位置平面△ABC的交点K，并判别可见性。•aa'bb'cc'd'e'(e)dk借助于辅助线的方法求出交点nn'•判别可见性：由V面的b'c'与d'e

'的重影点1'(2')求出H面的1在直线DE上，2在BC上，1的Y坐标大于2，所以d'k'可见，k'e'被遮住部分不可见。k'1'(2')122）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置平面相交例4、求一般位置直线MN与特殊位置平面（铅垂面）

△ABC的交点。k'k作图：平面△ABC是铅垂面，其H面上的投影积聚为一直线，由此可得交点k，再向V面投影可求得k'。判别可见性：由V面的a'c'与m'n'的重影点1'（2'），求出H面的1在AC上，2在MN上，1的Y坐标大于2，所以n'k'被遮住部分不可见，m'k

'可见。aa'bb'cc'n'•mm'n•2•••1'(2')1借助于投影的积聚性求出交点两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。讨论：A、求两平面的交线（方法）1）

、确定两平面的两个共有点；2）、确定一个共有点及交线的方向。B、判别可见性。只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。2、平面与平面相交分析：∵△ABC与△DEF交线的正面投影为m'n'△DEF的DF、EF的正面投影d'f'、e'f'与△ABC的正面投影的交点为m'、n'，由m'、n'求出m、n，mn为

可见与不可见的分界线。判别可见性：∵V面m'n'f'在△a'b'c'的上方，∴mnf可见，demn被△ABC遮挡部分为不可见。例5、平面△ABC为投影面平行面与一般位置平面△DEF相交，求交线并判别可见性。aa'bb'cc'dd'ee'ff'm'mn'n例6、求平面△AB

C与铅垂面△DEF的交线KL，并判别可见性。分析：∵△DEF是铅垂面，∴其水平投影有积聚性。可直接求出k、l，再由k、l求出k'、l'，交线KL是可见与不可见的分界线。aa'bb'cc'dd'ee'ff'klk'l'小结掌握：★1、平面投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性；★2、如

何在平面上确定直线和点；★3、两平面平行的条件；★4、直线与平面、平面与平面相交的解题思路：空间及投影分析，其目的找出交点或交线的已知投影；判别可见性。