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第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律rrMmGf3−=−==BArrrMmGrfAdd3(一)万有引力的功以M为参考系，m的位置矢量为.r一几种常见力的功M对m的万有引力为m由A点移动

到B点时做功为f)(tr)d(ttr+rdmOABM第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律−−−−=)()(ABrMmGrMmGA−=BArrrrMmGAd2rrrrrrddd==cos−==BA

rrrMmGrfAdd3)(tr)d(ttr+drdr)(tr)d(ttr+rdmOABMrArB第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律0d=−=zmgAkzjyixrdddd++=)(ABmgzmgz−−=kmgP−=zmgrPABAz

zBAdd−==ABAzBzmgoxyz（二）重力的功第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律0d=−=xkxAikxf−=−==BABAxxxxxkxxfAdd)2121(22ABkxkxA−−=AxBxfxo(三)弹性力的功第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律(四

)摩擦力的功mmsAsBffvAvBABABss-fsssffdsABA=−−=−=)(摩擦力的功与路径的起点和终点有关，而且和具体的路径有关。保守力:力所做的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置.二保守力第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律)2121(22

ABkxkxA−−=−−−−=)()(ABrMmGrMmGA)(ABmgzmgzA−−=重力功弹力功引力功=ADBACBrFrFdd+=BDAACBlrFrFrFddd−=ADBBDArdFrdF

0d=lrF所以ABCDABCD第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律非保守力:力所做的功与路径有关.（例如摩擦力）物体沿闭合路径运动一周时,保守力对它所做的功等于零.三势能势能与物体间相互作用及相对位置有关的能量

.)2121(22ABkxkxA−−=弹力功−−−−=)()(ABrMmGrMmGA引力功)(ABmgzmgzA−−=重力功弹性势能2p21kxE=引力势能rMmGE−=p重力势能mgzE=p第二章质点力学2-6位能机械能

守恒定律P1p2p)(EEEA−=−−=保守力的功)2121(22ABkxkxA−−=弹力功−−−−=)()(ABrMmGrMmGA引力功)(ABmgzmgzA−−=重力功弹性势能2p21kxE=引力势能rMmGE−=p重力势能

mgzE=p在一般情况下，对于足够小的x,可以认为F(x)在该区间是连续的，所以❖保守力和势能函数关系第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律)]()([)()(xxxx-xxPPPEEEF−+−==或xxx−=)(E)(FP在x→0的情况下，得xxxd)(dE)(FP−=

一般三维情况下，有−=−=−=zEFyEFxEFPzPyPx第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关.),,(ppzyxEE=势能是状态函数==0),,(pp0d),,(EzyxrFzyxE00p

=E令势能是属于系统的.讨论势能计算pp0p)(EEEA−=−−=第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律pEzOmgzE=p弹性势能曲线0,0p==Ex重力势能曲线0,0p==Ez引力势能曲线0,p=→ErxOpE2p21kxE=xOpErMmGE−=p势能曲线第二章质点力学2-6位能

机械能守恒定律质点系动能定理0kkinexEEAA−=+内力可以改变质点系的动能注意内力功外力功0kk0kkinexEEEEAAiiiiiiii−=−=+对质点系，有0kkinexiiiiEEAA−=+对第个质点，有i四质点系动能定理系统的外力功和

内力功之和等于系统总动能的增量。1m2mimexiFiniF第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律)()(0p0kpkinncexEEEEAA+−+=+机械能pkEEE+=质点系动能定理0kkinexEEAA−=+非保守力的功in

ncincininAAAAii+==)()(0pp0ppincEEEEAiiii−−=−−=0inncexEEAA−=+◆质点系的功能原理质点系的功能原理质点系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和.第二章质点力学2-6位能机

械能守恒定律pkEE−=)(0pp0kkEEEE−−=−当0inncex=+AA0EE=时，有)()(0p0kpkinncexEEEEAA+−+=+功能原理五机械能守恒定律机械能守恒定律只有保守内力

做功的情况下，质点系的机械能保持不变.守恒定律的意义不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点.第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律如图的系统，物体A，B置于光滑的桌面上，物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压A

和B，使弹簧压缩，后拆除外力，则A和B弹开过程中，对A、B、C、D组成的系统讨论（A）动量守恒，机械能守恒.（B）动量不守恒，机械能守恒.（C）动量不守恒，机械能不守恒.（D）动量守恒，机械能不一定守恒.DBCADBCA第二章质点力学2-6位能机械

能守恒定律例2-12如图，一雪橇从高度为50m的山顶上点A沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m.雪橇滑至山下B点后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处.若雪橇与冰道之间的摩擦系数为0.050.求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.(B点附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力.)第

二章质点力学2-6位能机械能守恒定律NF1FgFsingFcosgFh's已知,m500',050.0,m50===sh求.s解以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得12EEA−=)(ssmgmgssmgA+−−−=''cosmghEE−=−12

又第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律)'(ssmg+−mgh−=可得12EEA−=由功能原理m500'=−=shs代入已知数据有,m500',050.0,m50===sh)(ssmgA+−'NF1

FgFsingFcosgFh's第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律例2-13如图，一个轻弹簧上端固定，下端系一个金属圆盘，弹簧伸长为l1=10cm。一个质量和圆盘相同的泥球，从高于盘h=30c

m处由静止下落到盘上。求此盘向下运动的最大距离l2。解：分为三个过程分析：l2l1hy第一个过程是泥球的自由落体过程，它落到盘上的速率为gh2=v第二个过程是泥球与圆盘的完全非弹性碰撞过程，该过程中动量守恒Vmmm)(+=v22g

hV==v第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律第三个过程是泥球与圆盘共同下落的过程，该过程中机械能守恒。l2l1hy2212122)(2121)2()2(21llkklglmVm+=++1klmg=1lmgk=0212122=

−−hllll201012112=+=hllllcml302=第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律例2-14试用机械能守恒定律求出三种宇宙速度。已知地球半径R=6.37×106m，地球绕太阳公转的速度为vE=2.98×104m·s-1。牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体的

运动轨迹取决于抛体的初速度第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律设地球质量M，抛体质量m。vh``````取抛体和地球为一系统，系统的机械能E守恒.1）人造地球卫星第一宇宙速度第一宇宙速度v1，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度

.)(2121RmMGmE−+=v)(21hRmMGm+−+=2v解：第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律解得hRGMRGM+−=21vvh``````)(21)(2121hRmMGmRmMGmE+−+=−+=2vv22)(hRmMGhRm

+=+v由牛顿第二定律和万有引力定律得2RGMg=])(21[21hRRgR+−=v第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律vh``````地球表面附近hR故gR=1vm/s109.731=v计算

得02+−=)(hRGmME0E])(21[21hRRgR+−=v第一宇宙速度第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律2）人造行星第二宇宙速度0)(21pk22=+=−+=EERMmG

mEv``````vh第二宇宙速度v2，是抛体脱离地球引力所需的最小发射速度.取抛体和地球为一系统系统机械能E守恒.0;0,→→→vFr当若此时则gRRGM222==v131102112−==sm.v第二宇宙速度0=E第二章质点力学2-6位能机械能守恒定

律3）飞出太阳系第三宇宙速度第三宇宙速度v3，是抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度。vh取地球为参考系,由机械能守恒得22321)(21vvmRMmGm=−+取抛体和地球为一系统，抛体首先要脱离地球引力的束缚,其相对于地球的速率

为v.第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律取太阳为参考系,抛体相对于太阳的速度为，3'v地球相对于太阳的速度E3vvv+=则如与同向,有EvvE3vv'v+=设太阳质量mS,抛体与太阳相距RS。要脱离太阳引力，机械能至少为零0)(21pkSS23=+=−+=EERmmGm

Ev'21SS3)2(RGm=v'则第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律由于与同向,则抛体与太阳的距离即认为是地球轨道半径设地球绕太阳轨道近似为一圆，E3'vvSR则2SSS2ERMmGRM=v21SSE)(RmG=vvhE3vvv−=21SS))(12(

RGm−=v计算得13103412)12(−=−=sm.Evv第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律22222223])12[(2vvvvvvE+−=+=+=RMG计算得第三宇宙速度作业题:2-29、34、35(第

二问中将“静止”改为“静置”)22321)(21vvmRMmGm=−+回到地球参照系13310716−=sm.v抛体的轨迹与能量的关系(下页)第二章质点力学2-6位能机械能守恒定律vh抛体的轨迹与能量的关系0E0E椭圆(包括圆)k

m/s9.71=v0=E0=E抛物线km/s2.112=v0E0E双曲线sm.7k163=v