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可靠性工程三峡大学机械与动力学院瞿夔1一、传统机械设计与机械可靠性设计的相同点：它们共同的核心内容都是针对所研究对象的失效与防失效问题，建立的起一整套的设计计算理论和方法。传统机械设计与机械可靠性设计的关系二、传统机械设计与机械可靠性设计的差异：①设计变量处理方法和运算方法

不同。②设计准则含义的不同。2s1r1s2r2snrns1f1(s1)r1g1(r1)s2f2(s2)r2g2(r2)snfn(sn)rngn(rn)O安全区间s,rOf(s)f(r)srs=f(s1,s2,…sn)r

=g(r1,r2,…rn)f(s)g(r)s=f(s1,s2,…sn)r=g(r1,r2,…rn)…………①设计变量处理方法的差异称为确定性设计法设计变量确定值称为非确定性概率设计法设计变量概率分布3s=f(s1,s2,…sn)r=g(r1,r2,…rn)s=f(s1,

s2,…sn)r=g(r1,r2,…rn)确定性设计法非确定性概率设计法srO安全区间s,rOf(s)g(r)f(s)g(r)4②设计变量运算方法不同非确定性的随机变量的数字特征之间的函数关系，通过随机变量的组合运算规则，得到变量与函数间的多值变换。F与

A是确定性的函数关系，通过实数代数运算，得到确定性的单值变换。FsA=例如受拉杆(,)(,)(,)FFssAAFsA=5式中n—安全系数判断一个零件是否安全可靠，是以强度大于应力所发生的概率来表示。能定量回答零件在运行中的安全

和可靠程度，预测零件的寿命。③设计准则含义的不同安全系数不能定量反映影响零件强度的许多非确定因素，因而不能回答零件在运行中有多大可靠程度。式中R—可靠度[]nn=[]ca()()[]RtPrsR=6序号强度均值δ应力均值S安全系数n117

2.469.02.52172.469.02.53172.469.02.54172.469.02.55172.469.02.56172.469.02.57172.469.02.5886.234.52.59344

.8137.92.510344.8137.92.51186.234.52.512344.869.0513172.434.5514172.4138.01.251569.069.01.0应力和强度的单位是Mpa在规定的应力和强度分布下的安

全系数7序号强度均值δ应力均值S强度标准差σδ应力标准差σS安全系数n可靠度R1172.469.06.910.32.50.91662172.469.034.520.72.50.99493172.469.055.220.72.50.9

5994172.469.034.551.72.50.95255172.469.055.251.72.50.91466172.469.069.041.42.50.89977172.469.0172.4175.92.50.6628886.234.5

6.910.32.50.9489344.8137.96.910.32.5110344.8137.9172.4175.92.50.79951186.234.534.520.72.50.901512344.869.06.910.35113172.434.5172.4175.950.71231417

2.4138.06.910.31.250.99731569.069.06.910.31.00.5应力和强度的单位是Mpa在规定的应力和强度分布下的安全系数及可靠度8三、几点说明1.传统设计方法设计准则表达形式简单、直观明确，长期沿用，积累了大量的数据；但未考虑事物的不确定性，有较大的经验性和盲

目性。2.可靠性设计是传统设计方法的发展与深化，比传统设计能更有效的处理设计中的一些问题。3.传统机械设计和机械可靠性设计都以机械零件和机械系统的安全与失效作为主要研究内容，二者是密切联系的，后者在前者基础上

补充了一些可靠性特殊技术。实际设计中要将二者有机结合起来。94.可靠性技术起源于电子产品领域：•电子元件是大批量生产的；•更换失效元件方便；•不同电子设备中采用大量相同元件；•可大量存储备用元件；•工作无故障率要求很高，可以采用冗余系统等等。由于机械产品的

特殊性，机械系统一般不具备这些特点10机械可靠性设计基本理论§3.1零件可靠度的普遍方程§3.2已知应力和强度分布时的可靠度计算§3.3可靠性安全系数11s1f1(s1)r1g1(r1)s2f2(s2)r2g

2(r2)snfn(sn)rngn(rn)s,rOf(s)g(r)f(s)g(r)s=f(s1,s2,…sn)r=g(r1,r2,…rn)……§3.1零件可靠度的普遍方程由可靠性设计准则可知，所谓零件的可靠度，实质是零件在给定设计和运行条件下，对抗失效的能力。即零件设计的目标

应是在给定的可靠度(概率)下，保证危险断面最低强度不小于最大应力。应力和强度为随机变量。一、应力－强度干涉模型12应力—强度分布与时间的关系r,sOtt1t2g(r)f(s)强度退化t=0时应力与强度分布间有一定距离，不会失效t=t1时应力与强度分布间还有一定距离，

也不会失效（或者说失效可能性非常小）t=t2时应力与强度分布间发生干涉随着时间推移，强度退化干涉面积大小在性质上表示了失效可能性的大小。干涉面积大小≠失效可能性的大小可靠度R(t)=ps=P(r>s)不可靠度（失效概率）F(t)=pf=P(r<s)即使完全重叠，失效概率为50%。1

3零件可靠性的核心是完成规定的功能，它取决于应力和强度相互干涉的结果。二、功能函数与极限状态方程强度r和应力s都是随机变量，都受很多因素影响，都可以用多元函数来表示。强度和应力之差Y=r-s，也是随机

变量，也可以表示成多元函数Y=f(x1,x2,…xn)x1,x2,…xn表示影响零件功能的各种因素，如载荷状态、环境、材料性能、尺寸、表面质量……状态方程Y>0零件处于安全状态Y<0零件处于失效状态Y=0零件处于临界（极限）状态Y=f(x1,x2

,…xn)=0极限状态方程rOs零件所处的状态Y<0(失效状态)Y>0(安全状态)14三、可靠度计算的普遍方程1.概率密度函数联合积分法计算可靠度f(s)g(r)Os,r概率密度函数联合积分法原理s0f(s)g(r)强度r大于应

力s0的概率为：00()()sPrsgrdr=15f(s)g(r)Os,r概率密度函数联合几分法原理s0dsf(s)g(r)应力s0处于ds区间内的概率为：00()22dsdsPsssfsds−+=假定(r＞s0)与为两个独立的随机

事件，根据概率乘法定理，两个独立事件同时发生的概率等于这两个事件单独发生的概率的乘积。这个概率的乘积就是应力在ds区间内零件的可靠度。即：0022dsdssss−+00()()sdRfsdsgrdr=16f(s)g(r)Os,r概率密度函数联合几分法原理s0dsf(s)g(

r)应力s0处于ds区间内的概率为：00()22dsdsPsssfsds−+=00()()sdRfsdsgrdr=对上式s0任意取值，将s在一切可能范围内积分，则为强度r大于所有的可能应力值s的整个概率，也即零

件的可靠度为:()()sRdRfsgrdrds−==17概率密度函数联合几分法原理f(s)g(r)Os,rr0drf(s)g(r)同理，对于给定的强度值r0，如上图所示，仿上述步骤，可得出零件可靠度的另一表达式:()()rRdRgrf

sdsdr−−==182.功能密度函数积分法求解可靠度Y=r-s=f(x1,x2,…xn)状态方程该式又称为功能函数Y>0零件处于安全状态Y<0零件处于失效状态F(t)R(t)f(Y)OY功能密度函数若强度r的概率密度函数f(r)和应力s

的概率密度函数f(s)，则可求得Y的概率密度函数f(Y)由此可得零件可靠度的表达式0(0)()RPYfYdY==19()()sRdRfsgrdrds−==()()rRdRgrfsdsdr−−==0(0)()RPYfYdY==可

靠度计算的一般方程运用可靠度计算的一般方程求解可靠度数值积分法一般编程计算，此外还有图解法、蒙特卡洛法等20说明：Y=0极限状态Y>0Y>0安全状态R(t)h(Y)f(s)g(r)μYμsμrf(s),g(r),h(Y)Os,r,Y应力s和强度

r相互干涉的基本情况Y=0Y<0Y<0失效状态F(t)可靠度R(t)与g(r)、f(s)和h(Y)有关，且与h(Y)的位置以及g(r)和f(s)干涉区大小有关21Os,rf(s)g(r)μrAA’Os,rf(s)g(r)μsμrA

A’σ’rσrσ’sσs均值、标准差和可靠度的直观变化μsμ’rf(r)和f(s)的相对位置可用r和s的均值的比值来衡量rmsn=中心安全系数（平均安全系数）还可用r和s的均值的差来衡量μr-μs安全距离22载

荷统计和概率分布材料性能统计和概率分布几何尺寸分布和其他随机因素干涉模型s,rOf(s)g(r)强度计算应力计算强度统计和概率分布应力统计和概率分布机械强度可靠性设计机械强度可靠性设计过程23应力s和强度r为正态分布时，其概率密度函数为：§3.2已知应力和强度分布时的可靠度

计算2121()2ssssfse−−=2121()2rrrrgre−−=一、应力和强度均为正态分布时的可靠度计算μr、μs、σr、σs分别为r和s的均值和标准差24前已述及，

干涉随机变量Y＝r－s（又称功能密度函数）也服从正态分布，其概率密度密度函数为：因此，零件的可靠度为：2121()2YYYYfYe−−=0(0)()RPYfYdY==2Y120Y1=2YYedY−−

25化为标准正态分布，令，YYYz−=YdYdz=则0,YRYYzz==−=−当,Yz→→当因此，可靠度可写为2121(0)2RzzRPYedu−−==0(0)()RPYfYdY

==2Y120Y1=2YYedY−−26上式的积分上限：由于正态分布的对称性，上式可靠度积分值可写成：2121()2RzzRRedzz−−==Y22YrrsRsz

−==+zR称为联结系数，通常又称为可靠度系数，是零件或系统可靠性分析的安全指标。当已知zR，从标推正态分布表可查出可靠度R的值。上式把应力分布参数、强度分布参数和可靠度三者联系起来，称为“联结方程”，是可靠性分析与设计中一个重要的表达式，联结方程27差数（x－y)

的均值与方差均值为：方差为：()()()xyxyExyExEy−=−=−=−22()2xxyyVxy−=−+若ρ=0，而X和Y是统计独立的，则22()xyVxy−=+28但工程中往往先

规定目标可靠度[R]，这时，可按标准正态分布表查出可靠度系数，再由联结方程求得所需的设计参数，如零件的断面尺寸、材料强度参数等。这就实现了将可靠度直接引入到零件的设计中，定量地回答了零件在运行中的安全与可靠的程度。在进行可靠性设计时，当正态分布的应力和强度的分布参数已知

后，可利用联结方程求得可靠度系数zR，按标准正态分布表查出相应的可靠度R，使之大于或等于规定的目标可靠度[R](又称为许用可靠度)。29讨论：（1）当μr>μs时干涉概率或失效概率F<50%，μr-μs=const,σr2+σs2越大，失效概率越大。（2）当μr=μs时

干涉概率或失效概率F=50%，且与σr2、σs2无关（3）当μr<μs时干涉概率或失效概率F>50%，及可靠度R<50%实际设计中，后两种情况是不允许出现的。一般情况下，应根据具体去情况确定一个最经济的可靠度，即允许应力、强度两种曲线在适

当范围内有干涉发生。30载荷统计和概率分布材料性能统计和概率分布几何尺寸分布和其他随机因素干涉模型s,rOf(s)g(r)强度计算应力计算强度统计和概率分布应力统计和概率分布机械强度可靠性设计机械强度可靠性设计过程31()()sRdRfsgrdrds−==

()()rRdRgrfsdsdr−−==0(0)()RPYfYdY==可靠度计算的一般方程32前已述及，干涉随机变量Y＝r－s（又称功能密度函数）也服从正态分布，其

概率密度密度函数为：因此，零件的可靠度为：2121()2YYYYfYe−−=0(0)()RPYfYdY==2Y120Y1=2YYedY−−33化为标准正态分布，令，Y

YYz−=YdYdz=则0,YRYYzz==−=−当,Yz→→当因此，可靠度可写为2121(0)2RzzRPYedu−−==0(0)()RPYfYdY==2Y120Y1=2YYedY−−

342121()2RzzRRedzz−−==Y22YrrsRsz−==+35例3-1已知某机器零件的应力s和强度r均为正态分布。其分布参数分别为μs＝362Mpa，σs＝39.5Mpa，μr=500Mp

a，σr＝25Mpa。试计算零件的可靠度。图3-422225003622.9522539.5rsrs−−===++2121()2tedt−−=因为查标准正态分布表，查得0.9984R=

36习题1：已知汽车某零件的工作应力s和材料强度r均为正态分布。其分布参数分别为μs＝380Mpa，σs＝42Mpa，μr=850Mpa，σr＝81Mpa。试计算零件的可靠度。另一批零件由于热处理不佳使零件的强度标准差增大到σr’＝120Mpa

，问其可靠度又如何？习题2：拟设计某一汽车的一种新零件，根据应力分析，得知该零件的工作应力为拉应力且为正态分布，其分布参数分别为μs＝352Mpa，σs＝40.2Mpa，为提高其疲劳寿命，制造时产生残余压应力，亦为正态分布：μsY=100Mpa，σsY＝16Mpa。零件的强度分析认

为其强度亦服从正态分布，μr＝502Mpa，但各种强度因素影响产生的偏差尚不清楚，为确保零件的可靠度不低于0.999，试问强度标准差最大是多少？37当X是一个随机变量，且lnX服从正态分布，即lnX~N(μlnX,σ2lnX)时，称X是一个对数正态随机变量，服从对数正态分布。二

、应力和强度均为对数正态分布时的可靠度计算μlnX和σlnX既不是对数正态分布的位置参数和尺度参数，也不是其均值和标准差，而是它的“对数均值”和“对数标准差”。应力s和强度r均为对数正态分布时，其对数值lns和l

nr服从正态分布，即2lnlnln~(,)sssN2lnlnln~(,)rrrN38lnY=ln(r/s)=lnr-lns则lnY为正态分布的随机变量，其均值μlnY、和标准差σlnY分别为lnlnlnYrs=−22lnlnlnYr

s=+代入联结方程，可靠度R表达式为lnlnln22lnlnlnrsYRYrsz−=−=−+lnlnlnln2222lnlnlnln1()1rsrsRrsrsRz−−=−=−−=++令Y=r/sF(t

)R(t)1f(Y)0Y=r/s强度与应力比值Y的概率密度函数39对数均值和对数标准差μlnr、σlnr、μlns和σlns可由下式求得2lnlnln2rrr=−222lnln1rrrrC=+2lnlnln2s

ss=−222lnln1ssssC=+若已知对数正态随机变量r和s的均值和标准差，就可求出对数均值和对数标准差，从而求出可靠度。40例题3-2：已知某机械零件的应力s和强度r均为对数正态分布。其分布参数分别为μs＝60Mpa，σs＝10Mpa，μr

=100Mpa，σr＝10Mpa。试计算零件的可靠度。2lnln1lnln1000.009954.600222rrr=−=−=222ln10ln1ln10.00995100rrr=+=+=2lnl

nln1ln600.02744.080622sss=−=−=222ln10ln1ln10.027460sss=+=+=解：41lnln22lnln4.60024.08060.00950.027

4rsrsR−−==++()0.51962.68860.19326==0.996499.64%R==42当应力s和强度r均为指数分布时，其概率密度函数为()()sRdRfs

grdrds−==00()()()srssssRPrsfsgrdrdseeds−−−===三、应力和强度均为指数分布时的可靠度计算()0rrrfrer−=

()0sssgses−=代入()()00()srsrssssssrsrsredseds−+−+==+=++得：431()ssEs==1()rrEr

==rsrR=+对于指数分布，由于所以有μr、μs分别为强度和应力的均值44应用可靠度计算的一般方程式可导出应力s和强度r为其它分布时可靠度的计算公式，列于表3—1。四、应力和强度为其它分布时的可靠度计算()()sRdRfsgrdrds−==

()()rRdRgrfsdsdr−−==0(0)()RPYfYdY==可靠度计算的一般方程45表3—1应力和强度为其它分布时的可靠度计算序号应力分布强度分布可靠度R和可靠度

系数β公式1正态分布正态分布2对数正态分布对数正态分布3指数分布分布参数指数分布分布参数4正态分布指数分布分布参数(,)ssN(,)rrN2221exp,22rsrsuRdu−−=−=+lnln(,)ssNlnln(,)rrN2

lnln22lnln1exp,22rsrsuRdu−−=−=+srrrsssrRR==++或(,)ssNr222srsrsrss1Rexp2−=−

46表3—1续序号应力分布强度分布可靠度R和可靠度系数β公式5指数分布分布参数正态分布6正态分布威布尔分布形状参数尺度参数位置参数7威布尔分布形状参数尺度参数位置参数威布尔分布形状参数尺度参数位置参数s(,)rrNrr222r

srsrsrrR=()1exp2−−−(,)ssN201()exp()22CRACuAudu=+−+−,,ssssuCA−−−===−

式中：srs0sr0r10001exprrssrsRuudu−=−−−+0rrrru−=式中：47§3.3可靠性安全系数在传统的设计中，一个零件是否安全可用计算安全系数n大于或等于许用安全系数[n]

来判断，即limcan=上述传统的安全系数计算，一直延用至今，积累了大量数据。其特点是：当强度和应力的离散性很小时，它给出了零件安全性的确切定义，且表达方式直观明确；[]nnσlim为零件的强度σca为零

件危险断面上的计算应力许用安全系数[n]根据零件的重要性、材料性能数据的准确性及计算的精确性等确定。48这是因为零件的强度、应力和尺寸等，都是随机变量，有较大的离散性。但是，这种设计方法，把安全系数、强度和应力等参数，都处理成单值确定的变量，

并取参数的平均值来计算，这不符合客观情况。实际上有些零件虽然算得的安全系数大于1，但往往有少数零件仍在规定的使用期内发生破坏。为了追求安全，传统设计中有时则盲目取用优质材料或加大零件尺寸，形成不必要的浪费。49——在安全系数计算中，若把所涉及的设计参数，处

理成随机变量，则可将安全系数的概念与可靠性的概念联系起来，建立相应的概率模型，以定量地回答零件在运行中的安全程度与可靠度，这是符合实际的先进方法。——当应力s、强度r是随机变量，则安全系数n定义为强度与应力之比，即n也是随机变量。当已知强度r和应力s的概

率密度函数f(r)和f(s)，由二维随机变量的概率知识，可算出n的概率密度函数。50当安全系数呈某一分布状态。可靠度R(t)为安全系数的概率密度函数在区间(1，∞)内的积分。1()(1)()rRtPnfndns===可通过下式算得零件的可靠度定

义于可靠度之下的安全系数，称为可靠性安全系数。1f(n)0n=r/s安全系数n的概率密度函数51()()sRdRfsgrdrds−==()()rRdRgrfsdsdr−−==0(

0)()RPYfYdY==可靠度计算的一般方程1()(1)()rRtPnfndns===52当应力s、强度r为服从正态分布的相互独立的随机变量，则随机变量n=r/s也近似从正态分布。引入标准正态变量nnnz−=式中为安全系数n的均值nrsn=11,nnnz−==由此

得到可靠度为：()()zRtzdz=式中1nnz−=,nz==当表示了安全系数与可靠度之间的关系,由此可确定可靠度。53同时因随机变量n=r/s,由正态分布代数可得安全系数的均值和标准差分别为：当已知应力和强度

的分布参数，便可由上式求出安全系数的均值和标准差。rns=122222221rssrnsss+=+54一、平均安全系数平均安全系数定义为零件强度的均值和零件危险断面上应力均值之比(只有应力和强度的变异

系数较小时才有意义）。即rmsn=机械可靠性设计中，常用下面的可靠性安全系数计算：22rsZRZrsz−==+考虑到为把平均安全系数与零件的可靠度联系起来，55——工程中常给出强度的变异系数Cr和应力的变异系数Cs，由此平均安全系数可表示为：222222211RrsRrsmRrz

CCzCCnzC++−=−22211mrsRrnz=+−可得平均安全系数为：rmsn=22rsZRZrsz−==+56两边同除以μs，并令22rsZRZrsz−==+22rsRrsz=++22rsRr

sz−=+rmsn=2221rsmRsnz+=+2221RmrsznCC=++2221mRmrsnznCC−=+2221mRmrsnznCC−=+57应力s和强度r均为对数正态分布时，根据以上讨论的是应力s和强度r均为正态分布

时的可靠性设计安全系数。22lnlnrsRrszCC−+22lnlnrsRrszCC−=+22lnrRrsszCC=+于是，可靠性设计的平均安全系数为22mexp()rRrssnzCC==+58说明：1、μr、μs一定时，Cr、Cs的变化对可靠度影响十分显

著，能否控制应力和强度的变动范围，是决定可靠性设计成败的关键。特别是应力的变化，目前还难以严格控制，这将造成理论计算与实际结果不相符合的情况。这是现实的亟待解决的问题。2、几何尺寸偏差对可靠度的影响，一般是在假定μr、μs及Cr、Cs完全确定的情况下讨论的。实际上几何

尺寸的偏差易于控制，且变动范围远小于应力及强度的变化。所以，一般可以不考虑。59——已知某零件材料的强度变异系数Cr＝0.08，应力变异系数Cs＝0.10，要求该零件的可靠度R＝0.95。试估算该零件的均值安全系数。例可靠性安全系数的计算222222222222221111.650.080.

11.650.080.111.650.081.232rsrsrCCCCnC++−=−++−=−=解：将(0.95)1.65==代入平均安全系数计算公式，得60例：某回转式旋臂起重机的拉杆，直径d=30±1.2mm，拉杆材料的拉伸强度在206.7~372N/mm2范

围内变化。吊重时，拉杆受拉力F=133500±43720N。要求：1）按常规设计法计算拉杆安全系数；2）计算与安全系数相应的可靠度。61解：1）计算安全系数22133500188.86MPa3044FFAd====平均应力206.737

2289.35MPa2B+===平均强度平均安全系数289.35=1.532188.86Bn==62按最大应力积最小强度计算最小安全系数max2min13350042720270.64MPa(301.2)4FA+====−最大应力min206.7MPaB

=最小强度于是minminmax206.7=0.763270.64Bn==就常规设计而言，最小安全系数nmin<1，说明在极端条件下，拉杆是不安全的。632222()30706.85mm44dAds=+==1）计

算可靠度设变量F、A、σ、σB及d均服从正态分布，根据已知数据可分别求出个变量的均值及标准差。直径d=30±1.2mm，均值30mmd=标准差1.2=0.4mm3ds=2244()()2()444Addsdss=+22424(30)(0

.4)2(0.4)=14.79mm444=+133500N14240NFFs==F=133500±43720N64133500188.86MPa706.85FA====于是22222222221113350014.79706.851424

0706.8520.53MPaAFsFsAsA=+=+=20.530.1087188.86sC===强度均值289.35MPaB=强度标准差372206.7=27.55MPa6Bs−=206.7~372N/mm26527.550.0

952289.35BBBsC===强度变异系数22222211.53212.92471.5320.09520.1087RBnznCC−−===++查正态分布表得R=0.99828，F=1-0.99828=0.0

0127就可靠性设计而言，拉杆有相当高的可靠度，因为极端工况出现的概率是很小的，最小安全系数nmin=0.763似乎将失效的可能性夸大了，给人一种过于紧张的印象66二、概率安全系数定义：某一概率值a下零件的最小强度r

a(min)与在另一概率值b出现的最大应力sb(max)之比(只有应力和强度的变异系数较小时才有意义）。即(min)(max)aRbrns=假设应力和强度均服从正态分布，μr、μs、σr、σs分别为r和s的均值和标准差，由正态分布特性arbsrsrsab−−=

=所以11(min)()(max)()arrRbssransb−−−==+6711(min)()(max)()arrRbssransb−−−==+111()1()rrssCaCb−−−=+1m11()1()rsCanCb

−−−=+22222112211()1()1RrsRrsrsRrzCCzCCCaCbzC−−++−−=+−222222211RrsRrsmRrzCCzCCnzC++−=−显然不同的取值a与bra(min)和sb(max)不同，nR也就不同。a与b取值要考虑

设计要求、运行状况、材质和经济性68通常，工程中取a=95%，b=99%查正态分布表Φ-1(a)=Φ-1(0.95%)=1.65，Φ-1(b)=Φ-1(0.99)=2.33,某一概率值下的最小强度与最大应力Or,sf(s)f(r)f(s)f(r)sb(max)ra(min

)使安全系数的含义深化一步，赋予了安全系数评价的新概念使安全系数与可靠度及应力与强度的分布参数联系起来而且考虑应力和强度在多大概率下取值，同材料的强度试验及实测载荷的要求结合起来2222222111.6512.331RrsRrsrR

sRrzCCzCCCnCzC++−−=+−所以有22222112211()1()1RrsRrsrRsRrzCCzCCCanCbzC−−++−−=+−代入69三、随机安全系数当应力s、强度r服从正态分布或对数正态分布时，可

以建立安全系数n与可靠度R的关系。应力s、强度r均为随机变量，安全系数n=r/s也是随机变量。N称为随机安全系数。当应力s、强度r其他分布时，要建立安全系数n与可靠度R的关系是很困难的。在此种情况下，只能根据切贝雪夫

不等式估计n与R的存在范围。7022222()1(1)nnnCRtnCn−+−22m3()(1)rrssssnEnnC==+=+22221/22[(1)(13)(1)]1rssnsCCCCC++−+=+可见，已

知应力s、强度r的变异系数，就可以求得n的变异系数，从而可以求得可靠度的范围()()tRtRcnn−−11171