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第三章投影法和点、直线、平面的投影3.3直线的投影预备知识：1.点的三面投影及其投影规律2.两点间的相对位置关系及重影点aaabbb●●●●●●两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。⒈直线对一个投影面的投影特性一、直

线的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性，α=90°直线平行于投影面投影反映线段实ab=ABα=0°直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●夹角：直线与它的水

平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角α、β、γ•直线平行于投影面，倾角为0°•直线垂直于投影面，倾角为90°•直线倾斜于投影面，倾角大于0°,小于90°投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面

倾斜投影面垂直线正平线(平行于Ｖ面)侧平线(平行于Ｗ面)水平线(平行于Ｈ面)正垂线(垂直于Ｖ面)侧垂线(垂直于Ｗ面)铅垂线(垂直于Ｈ面)一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面2.直线对

三个投影面的投影特性2.1、投影面平行线只平行某一投影面而同时倾斜另外两个投影面的直线水平线正平线侧平线2.1.1、正平线平行于正面，倾斜于水平面和侧面的直线①V面投影反映实长，a’b’=AB②ab∥OX,a’’b’’∥OZ投影特性：正平线实长αγ③反映倾角α、γ角的真实大小2.1.2、水平线

平行于水平面，倾斜于正面和侧面的直线①H面投影反映实长，ab=AB②a’b’∥OX,a’’b’’∥OY投影特性：③反映倾角β、γ角的真实大小水平线实长γβ2.1.3、侧平线平行于侧面，倾斜于水平面和正面的直线①W面投影反映实长，a’’b’’=AB②a’b’∥OZ,ab∥OY投影特性：③反映倾角

β、α角的真实大小侧平线实长βα2.1.4、小结①直线在其平行的那个投影面上的投影，反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实际大小。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，且比线段的实长短平行线的投影特性：•分析：利用正平线的投影特性作图

例1：已知：点A（30，30，20），要求：试作正平线AB，使α=30°，AB=20mmOYWYHZX•作图：先做出点A的三投影aa’’a’✓利用α=30°过a’作与X轴成30°的直线✓利用AB=20mm过a’作一半径为20mm的圆，该圆与直线的交点

即为b’30°b’bb’’四解✓利用ab∥OX、a’’b’’∥OZ，确定b、b’’2.2、投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线②a’b’⊥OX；a’’b’’⊥OY①水平投影积聚为一点b(a)（积聚性）投影特性:2.2.1、铅垂线垂直于水平面，平行于正面和侧

面的直线③a’b’=a’’b’’=AB，即其余两投影反映实长b’a’b’’a’’b(a)2.2.2、正垂线②ab⊥OX；a’’b’’⊥OZ①正面投影积聚为一点(a’)b’投影特性:③ab=a’’b’’=AB，即其余两投影反映实长垂直

于正面，平行于水平面和侧面的直线aba’’b’’oXZ(a’)b’YwYH2.2.3、侧垂线垂直于侧面，平行于水平面和正面的直线②ab⊥OY；a’b’⊥OZ①侧面投影积聚为一点a’’(b’’)投影特性:③ab=a’b’=AB，即其余两投影反映实长abb’a’a’’

(b’’)oYwXZYH2.2.4、小结①直线在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点（积聚性）②直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长垂直线的投影特性：abb’a’a’’

(b’’)oaba’’b’’o(a’)b’2.3、一般位置直线投影特性：三投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长ab=ABcosα，a’b’=ABcosβ，a”b”=ABcosγ；投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。二、直线与点的相对位置✓点属于直线（C点）✓点不

属于直线（D点）★直线上点的投影特性✓从属性：直线上的一点，其投影在直线的同名投影上，且符合点的投影规律。◆作图问题◆判断问题AC:CB=ac:cb=ac:cbABCVHbccbaa定比定理✓定比性：点分割线段之比=点

的投影分线段的投影之比点C不在直线AB上例2：判断点C是否在线段AB上。abcabc①c②abcab●点C在直线AB上从属性注意：对于一般位置直线，只根据任意两对同名投影，就可作出判断。例3：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在ab上，故点K不

在AB上。应用定比定理abkabk●●另一判断法?注意：对于特殊位置直线，只根据任意两对同名投影，不能直接作出判断。空间两直线三、两直线的相对位置共面异面平行两直线相交两直线交叉两直线垂直⒈平行两直线投影特性平行性：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。abc

dcabd注意：对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①acddca②对于特殊位置的两直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。AB与CD不平行。求出侧面投影如何判

断？注意：cdabbbHVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk投影特性若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合点的投影特性。反之亦然交点是两直线的共有点2.相交两直线注意：

①对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投影符合相交条件，空间两直线就相交。②对于特殊位置的两直线，只根据两对同名投影还不一定能直接判断它们是否相交dbaabcdc1(2)3(4)⒊交叉两直线●●12●●34●●情况2情况1dcabcdab投影特性①同名投影

可能相交，但“交点”不符合点的投影特性②“交点”是两直线上的一对重影点的投影,可帮助判断两直线的空间位置。例4：试作一直线GH与已知直线AB、CD相交，同时与EF平行（G在AB上，H在CD上）abfdeefccda(b)分

析：AB有积聚性1、直接确定gg2、利用GH∥EF,过g作ef的平行线交cd于hh3、利用H在CD上，有h求hh4、利用GH∥EF,过h作ef的平行线，交点为gg垂直两直线的投影通常不能反映其夹角的实形，但在

一些特殊条件下，也能反映其真实直角，这种投影特性称为直角投影定理。四、直角投影定理（垂直两直线）直角投影定理的逆定理仍成立设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb故BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角故bc⊥ab故bc⊥ABba平面又BC∥bcABCabcHac

babc.证明：定理一：空间两直线垂直（相交或交叉），如果其中一条直线是某一投影面的平行线时，则这两直线在该投影面上的投影相互垂直。定理二：如果两直线的某一投影垂直，其中有一直线是该投影面的平行线，那么该空间的两直线垂直dabcabc●●d例5：过C点作直线与AB垂直相交。投影

c’d’反映CD的真长吗？.例6：过两直线AB、CD之间的最短距离。c(d)abb’a’c’d’分析：✓若求两直线之间的最短距离，必须求出两直线的公垂线（假设公垂线EF交CD于E，交AB于F）✓水平线与铅垂线垂直，即为其公垂线EFAabc(d)

DC(e)fEBFff’e’(e)距离✓直角定理一，作出EF的水平投影✓水平线的投影特性找出e‘小结★直线的投影特性，尤其特殊位置的直线★点与直线、两直线的相对位置的判断方法及投影特性★定比定理★直角定理重点掌握：作

业：P7预习：平面的投影