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机械优化设计1机械优化设计长江大学机械工程学院机械优化设计2§1-1绪论§1-2优化设计问题的示例§1-3优化设计的数学模型§1-4优化计算的数值解法和收敛条件第一章机械优化设计的基本问题机械优化设计3教学目的、要求1．熟悉优化设计的基本概念2

．掌握数值计算的迭代过程和终止准则教学重点1．优化的数学模型表示方法2．数值计算法的迭代过程3．梯度准则机械优化设计4优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动

探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。§1-1绪论1.优化、优化设计和机械优化设计的含义例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使

用同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。“优化”yōuhuà[optimalize]采取一定措施使变得优秀所谓优化,是指在一定条件下力求获得最优结果的思想与观念。金山

词霸的解释国家知识基础设施（NationalKnowledgeInfrastructure，CNKI）的解释机械优化设计5机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。优化设计流程常规设计流程二者有何区别？前者是找到可行解

决方案，后者是找到最好的方案。机械优化设计62.优化设计的发展概况1.古希腊时期欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。2.十七、十八世纪微

积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。3.19~20世纪初进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。4.二战军事上的需要产生了运筹学，并使优化技术首先应用于解决

战争中的实际问题，如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。机械优化设计75.50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。线性规划与非线性规划是其主要内容。6.60年代初最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O年代初电子

计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，在许多科学技术领域中得到应用。机械优化设计87.近几十年来最优化

设计方法已陆续用到各工程设计领域。(建筑结构、化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车)其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰硕的成果。机械优化设计9机械优化设计应用实例美国波音飞机公

司对大型机翼用138个设计变量进行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值

最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道

路通行能力。LPD17级两栖船坞运输舰首舰"圣安东尼奥"号机械优化设计10体积小如何合理分配传动比节能曲柄均方根扭矩最小机械优化设计11优化设计的优点1.保证产品具有优良的性能2.减轻自重或体积，降低

产品成本3.使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。机械优化设计12基础：（1）最优化数学理论（2）现代计算技术内容：（1）将工程实际问题数学化；（建立优化设计数学模型）（2）用最

优化计算方法在计算机上求解数学模型。优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。3.本课程的任务机械优化设计13本课程的主要目的和任务：①了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；②扩大视野，并初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本方法解决简

单工程实际问题的素质。机械优化设计14§1-2优化设计问题的示例已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，

宽x2，高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；x1x2x3箱盒的优化设计机械优化设计15数学模型123,,xxx122313min2()Sxxxxxx=++123123500100xxxxxx=设计变量：设计目

标：约束条件：x1x2x3机械优化设计16某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格为PA万元，B产品单位价格为PB万元。每生产一个单位A产品需消耗煤aC吨，电aE度，人工aL个人日；每生产一个单位B产品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用生产资源煤C吨，电E度，

劳动力L个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。分析：（1）产值的表达式；（2）设计参数确定：A产品xA，B产品xB；（3）设计约束条件：（a）生产资源煤约束；（b）生产资源电约束；（b）生产资源劳动力约束；最大产值生产资源分配问题机械优化设计17数学模型,ABxxmaxAABBPPxPx=+

CACBEAEBLALBaxbxCaxbxEaxbxL+++设计参数：设计目标：约束条件：机械优化设计18§1-3优化设计的数学模型1.设计变量设计变量—在设计中需进行优选的独立的待求参数；（从互相依赖的参数中把真正独

立的参数分解出来,i=i1*i2）优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式是进行优化设计的基础。包括3个要素：设计变量、目标函数、约束条件。设计变量连续变量离

散变量（齿轮的模数、螺纹的公称直径、滚动轴承的内径）机械优化设计19设计常量—预先已给定的参数；设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为

n维设计问题。1212[,,,]TnnxxXxxxx==由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。12,,,nxxx工程中，设计变量均为实数，设计空间为n维欧氏空间。机械优化设计2

0图1-1设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题n>4时，设计空间成为超越空间机械优化设计21通常,设计自由度,越能获得理想的结果,但求解难度。,n小型设计问题：一般含有2—1

0个设计变量；中型设计问题：10—50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型优化设计问题。机械优化设计222.目标函数优化过程就是使设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整的过程，最后求得X，使F(X)值最好

，一般处理为求最小值形式。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量。可作为参考目标函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。12()()

nFXFxxx=，，，将优化设计的目标用设计变量的函数表达，称为目标函数，以F(X)表示。机械优化设计23在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题

。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。（凸轮机构：紧凑，

基圆半径减小，但压力角增大，传力性能不好）机械优化设计24目标函数等值（线）面()Fc=x目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用

目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：c为一系列常数*等值线（面）—能使目标函数取某一定值的所有设计点的集合;—在无约束极小点处，等值线一般收缩一个点。1x2x)1,2(1=f4=f0=f2221)1()

2()(−+−=xxXf如:机械优化设计253.约束条件设计空间是所有设计点的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束

两种类型：(1)等式约束(2)不等式约束()0hx=()0gx机械优化设计26显式约束隐式约束约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。根据约束的性质可

以把它们区分成：性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。机械优化设

计27消极约束---能够被其他约束条件所替代的约束。可行域:在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间。Dⅲ)起作用的约束与不起作用的约束约束边界上的点为边界点,其余可行点为内点。ⅱ)边界点与内点D内的设计点为可行点,否则为不可行点。*ⅰ)可行点与不可行点DX1x2xO机械优

化设计28图1-3约束条件规定的可行域D例：某优化约束条件如下：g1（X）=x12＋x22—16≤Og2（X）＝2—X2≤0。画出可行域。若又有g3（X）＝4—X1≤0。则g3（X）是否为一个起作用约束。机械优化设计29§1-3优化设计数学模型的表示方法满足约束条件12[,,,]TnXxx

x=()minFX→()0(1,2,,)khXkl==()0(1,2,,)jgXjm=求设计变量向量使目标函数12min()(),:()01,2,,()01,2,,nnjkFXFxxxXRgXjmhXkl===

=，，，D机械优化设计30*12min()(),:()01,2,,()01,2,,nnjkFXFxxxXRgXjmhXkl====，，，D对于若有，使，则称为最优点，相应的目标函数值称为最优值，称为最优解。****12[,,,]TnXxxx=*()minFX→*X*()FX**(,

)XF线性规划：目标函数和约束条件均为设计变量的线性函数。机械优化设计311）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术

进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：机械优

化设计32对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。机械优化设计33§1-4优化计算的数值解法和收敛条件

求解优化问题的基本解法有：1.基本解法解析法数值解法解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。在目标函数比较简单时，求解还可以。局限性：工程优化问题的目标函数

和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。机械优化设计34优点：1）是数值计算而不是数学分析方法；2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算—便于计算机实现；3）最后得出的是逼近精确解的近似解。

数值解法：根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。其中也可能用到解析法，如最

速下降方向的选取、最优步长的确定等。机械优化设计35在中间过程中每一步的迭代形式为：11()()kkkkkkXXSFXFX++=+k=0,1,2,迭代逐步逼近最优点过程示意图上式中：X（k）——第k步迭代计算所得到的点，称第k步迭代点，亦为第k步设计方案；a（k）——第k步迭代计算的步长；S（

k）——第k步迭代计算的探索方向。用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如图所示。机械优化设计36迭代步骤：①选择合适的初始点；②寻找可行的搜索方向；③确定步长因子；④获得新点后，判断其是否在可行域内、目标函数值是否下降；⑤检验是否收敛。机械优化设计372.迭代终止准则（1）点距准则

收敛精度（预先给定的足够小的数）−机械优化设计38113()()(()1)kkkFXFXFX++−（2）函数值下降量准则114()()(()1)()kkkkFXFXorFXFX++−xoffkfk+1xkxk+1

(b)机械优化设计39（3）梯度准则ⅰ）梯度梯度是由函数各个一阶偏导数组成的矢量：ⅱ）梯度准则*对无约束问题，最优点处的各个一阶偏导数均为0，故函数梯度的模必为0。Ox2x1x0变化率为零的方向最速下降方向下降方向上升方向最速上升方向－f(x0)f(x0)机械优化设计

402510~10(1,,5)ii−−=上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：机械优化设计41优化设计流程3.优化设计一般

步骤否是问题分析建立数学模型选择优化方法编写计算机程序准备初始数据，上机计算确定最优设计方案方案评价与决策机械优化设计一、实例例1：某车间生产甲（如轴）、乙（如齿轮）两种产品。生产甲种产品每件需要用材料9㎏，3个工时、4kw电，可获利60元；生产乙种产品每件需要用材料4㎏、10个工时，5kw电,可

获利120元。若每天能供应材料360㎏，有300个工时，能供电200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。材料（㎏）工时（个）用电（kw）获利（元）甲93460乙4105120供应360300200Max？机械优化设计建模标准形式：

=21xxxmaxF(x)=60x1+120x2minF(x)=-60x1-120x2S.T9x1+4x2≤360S.Tg1(x)=360-9x1-4x2≥03x1+10x2≤300g2(x)=300-3x1-10x2≥04x1+5x2≤200g

3(x)=200-4x1-5x2≥0x1≥0g4(x)=x1≥0x2≥0g5(x)=x2≥0材料（㎏）工时（个）用电（kw）获利（元）甲93460乙4105120供应360300200Max？机械优化设

计求解结果：x*=[20,24]F*=4080程序：f=-[60120];A=[94;310;45];b=[360;300;200];xl=[00];[x,f]=linprog(f,A,b,[],[],xl)运行结果：Op

timizationterminatedsuccessfully.x=20.000024.0000f=-4.0800e+003机械优化设计例2喜糖问题：需要购买甲乙两种喜糖，喜糖甲20元/斤，喜糖乙10元/斤。要求花钱不超过200元，总斤数不少于10斤，甲糖不少于5斤。问：(1)购买甲糖、乙糖

分别多少斤，才能在满足要求的条件下花钱最少？(2)购买甲糖、乙糖分别多少斤，才能在满足要求的条件下所买的糖最多？机械优化设计建模设购买甲糖1x斤，乙糖2x斤。可以列出如下数学模型：(min1fx211020)xx+=，x2R(max2fx21)xx+=，x2R2001020..2

1+xxts1021+xx51x02x机械优化设计编程求解如果只考虑目标函数(min1fx211020)xx+=，则应用Matlab求解的程序为：f=[2010];A=[2010;-1-1;-10];b=[200;-10;-5];xl=[00];[x,f]=linprog(f,A

,b,[],[],xl)最优解为：x=[55],(min1fx150)=元。机械优化设计编程求解如果只考虑目标函数(max2fx21)xx+=，则应用Matlab求解的程序为：f=-[11];A=[2010;-1-1;-10];b=[200;-10;-5];xl=[00];[x,f]=li

nprog(f,A,b,[],[],xl)最优解为：x=[510],(max2fx15)=斤。机械优化设计例3设计二级圆柱齿轮减速器。希望在减速器在传递一定功率转速和满足寿命的要求下使用两级齿轮具有最小的体积，以期减小减

速器的整体体积和质量。传动方案：d=coszmni=i1×i2关键：四个齿轮体积44434241432124232221ddddbbbbvvvvV+++=+++=)()(24233222114ddbddb

+++=3232223121212121cos)1(cos)1(4bimbizmnn+++=求：minV机械优化设计数学模型)1()1()(min25292827264232221cos25cos4xixxx

xxxxxxxF+++=其中：Txxxxxxxxxx987654321,,,,,,,,=9333311111,,,,,,,,RbzmibzmTnn=S.T55314322211][8cos11022.4)(xxxTkkxxxHAxg+•−=≥0

1][cos312)(1728)(4321FFAYxxxTkkxxg−=≥0)1(1022.4)(5281933736][8cos3ixxTkkxxxHAxg+−=≥0机械优化设计)(1728)(29873][cos3

64FFAYxxxTKKxxg−=≥095214765coscos)1()(5xxxxxxxxgxi−+=)(coscos2194sxxx+−≥0ixxg2.1)(56−=≥0573.1)(xixg−=≥02)(18−=xxg≥01

910)(xxg−=≥02)(610−=xxg≥0机械优化设计61110)(xxg−=≥017)(212−=xxg≥021350)(xxg−=≥017)(714−=xxg≥071550)(xxg−=≥05166)(xxg−=≥041801517)(xx

g−=≥01808418)(−=xxg≥091801519)(xxg−=≥01808920)(−=xxg≥0机械优化设计53作业25要求：步骤完整书写规范按时上交过期不改