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笫五章机械能守恒（一）功动能定理（二）保守力做功与势能（三）机械能和机械能守恒定律（四）两体碰撞与两体问题目录1一、功（一）功动能定律定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积.rdFd

W=cosrdF==BArdFW功是力对空间的累积作用单位:1焦耳(J)=1牛顿（N）.米（m）量纲：ML2T-2ABFrd元功第五章机械能守恒2说明：（1）在直角坐标系中：)(dzFdyFdxFrdFWzyBAxBA++==

++=++=kdzjdyidxrdkFjFiFFzyxˆˆˆˆˆˆ第五章机械能守恒（2）几个力同时作用在物体上时，所作的功：++++=iFFFF213++=++=2121)(WW

rdFrdF合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。=rdFW（4）功率：vFvFdtdrFdtdWP====coscos单位:焦耳/秒(瓦特)量纲：ML2T-3力在单位时间内所做的功第五章机械能守恒（3）功是标量，没有方向，但有正负.4

1m5N例题5.1如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质量为1.0kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上。若用5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速运动.当系在物体上的绳索从与水平成变为时,力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面间的距离为1m.037030第五章机械能

守恒5解:建立坐标系(如图)−=cosFFxdxxxFdxWxxxxxF+−==21212121xxF+−=)11(2221xxFW+−+=J69.1=mtgx732.130101==mtgx327.137102==

x0F1m5N第五章机械能守恒6二、质点动能定理dsF=dWFdr=dsdtdvm=mvdv=元功:质点由A到B这一过程中，力作总功为：21BvAvWdWmvdv==212kEmv=ABmFrd---质点的动能第五章机械能守恒cosFds=22211122mv

mv=−12kkEEW−=---质点动能定理令则7例题5.2如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b,设绳子总长度为L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率.解：方法一：利用动能定理−==LbLMgMgdxLxWLb2221LxMm=中其mgdxdW=建立作坐标系，重力所作元功为

：由动能定理得：()22bLLgv−=()0212222−=−MvLbLMgM,Lbxot=0,v=0第五章机械能守恒8方法二：利用牛顿定律()22bLLgv−=dtdvMmg=gLxgMmdtdv==即由牛顿定律得g

LxdxdvvgLxdtdxdxdv==两种方法结果相同M,Lbxot=0,v=0第五章机械能守恒9例题5.3假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置h落入洞中，求质点通过地心的速度。由动能定理：解：矢径方向如图所示，设通过地心的速度为vdrfdrfRhRR+−−=

0内外++=−RhRRrdfrdfmv02021内外OmhRr第五章机械能守恒1032333434RGMmrrmrRMGf==内又质点在地球内、外受力不同drRGMmrdrrGMmmvRRhR−−=−+0

322021()()3GMmRhvRRh+=+2rGMmf=外第五章机械能守恒110kikiEEWi−=三、质点系动能定理---质点系动能定理===−=nininikiokiiEEW111对所有质

点求和：设一个系统内有n个质点，作用于笫i个质点的力所作的功为，由质点动能定理iW第五章机械能守恒12−=+ikiikiEEWW0内外()内外iiWW（2）是每个质点所受外力（内力）作功之和，而不是合力功之和.===+=+=ni

iniiniiWWWWW111内外内外说明：（3）质点系内力的功：研究两质点１、２间作用力与反作用力元功之和()()rdFrdrdFrdFrdFdA=−=−+=1212即一对内力所作的功仅决定于

力和质点间相对位移的标积.（1）质点系所受的力分外力和内力，则内力作的总功一般不为零第五章机械能守恒13例题5.4如图，质量为M的卡车载一质量为m的木箱，以速率v沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑

行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了l距离,卡车滑行了L距离。求L和l。巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为，卡车轮与地面的滑动摩擦系数为12LlfmgNMgNfFmg第五章机械能守恒14卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力和地面对车的摩擦力F做功，三力

之受力质点位移各为.根据质点动能定理得ff、LlLL、、+解得()LgvlgmmMMvL−=−+=121222解：解法一（用质点动能定理求解）第五章机械能守恒()212102mgmMgLMv−+=−卡车：（1

）()21102mgLlmv−+=−木箱：（2）15解法二（用质点系动能定理求解）视卡车与木箱为一质点系.外力F做功，内力做功等于力与相对位移的标积，即()gLmM+−2mgl1−根据质点系动能定理，有()()212102mglMm

gLMmv−−+=−+又视木箱为质点，得上面(2)式.(2)(3)联立得与上法相同结果.第五章机械能守恒（3）16（二）保守力做功与势能一、几种常见的力作功1、重力作功jmgPˆ−=()+==jdyidxPrdPWˆˆdymgyy）（−=1212mgymgyW−=重力

作功只与质点的起始和终止位置有关，而与所经过的路径无关。xabPyy2y1rd第五章机械能守恒1702ˆrrMmGF−=rdrrMmGrdFdW−==02ˆ移动位移元，F可近似认为不变，故rd由图知：drrdrd

rrdr===coscosˆˆ00于是：drrMmGdW2−=2、万有引力作功如图，M不动，m由a经任一路径到b）（abbarrrrGMmdrrGMmdWWba1112−=−==Mardrr+mbrddrF第五章机械能守恒1821221211()2

2xxWdWkxdxkxkx==−=−在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置决定，而与形变的过程无关。3、弹性力作功kxdxrdFdW−==ikxFˆ−=如图，O点为平衡位置，拉长到P点时，伸

长量为x：万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经过的路径无关。第五章机械能守恒0xxFKmP19保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关的力。二、保守力与非保守力22212121kxkxW−=）（abrrGMmW11−=12mgymg

yW−=分析三种力作功的特点反映保守力作功特点的数学表达式：bcdaFF物体沿不同路径从a到b，保守力作功===adbacbadbacbrdFrdFWW第五章机械能守恒该类力产生的力场为保守力场。20保

守力沿任意闭合路径作功为零。bcda沿闭合路径运动一周，保守力作功：=+==bdalacbrdFrdFrdFW0=LldF0保守力的一些判据：(1)对于一维运动，凡是位置x单值函数的力都是保守力,如弹性力f=f(

x)=－k(x－x0)是x的单值函数，故它是保守力；(2)对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力f=mg,是保守力;(3)有心力是保守力，例如万有引力、库仑力都是保守力。第五章机械能守恒21①称为耗散力（如滑动摩擦力，将机械能转化为热能）0rdf

非保守力：0rdf②（如爆炸力），将其他形态的能（如化学能、电磁能）转化为机械能.所作的功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿任一闭合路径一周作功不为零的力。非保守力可分两类：第五章机械能守恒22三、势

能证：在保守力场中，选择一个标量函数：如图，先任取一点rC，令：对空间任意点，定义：0)(VrVC=)()(0rrAVrVC→−=rArCrB第五章机械能守恒定理对于保守力场，可以定义一个标量函数，使保守力

做的功为其中，表示质点从空间点运动到点时保守力所做的功。称为势能（或势函数、位能）。()rV()()()BABArVrVrrA−=→()BArrA→BrAr()rV23由于是保守力场，故

唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点，我们定义的的值确定并且唯一。()rrAC→)(rV下面证明就是势能)(rVr)()(0rrAVrVC→−=对于空间中任意两点和，按照我们对的定义，有：

BrAr)(rV)1()()(0ACArrAVrVA→−=点：)2()()(0BCBrrAVrVB→−=点：由定义：第五章机械能守恒24将上面(1)与(2)两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得：()()()()ABACCBV

rVrArrArr−=→+→即故就是势能。证毕反之，存在势能的力一定是保守力。)()()()(ACBCBArrArrArVrV→−→=−)()(CABCrrArrA→+→=)()()(BABArVrVrrA−=→)(rV

注：由证明可见，势能具有一个任意常数0)(VrVC=一般我们规定∞点（无穷远处）的势能为零。第五章机械能守恒25(2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零.而势能零点可根据

问题的需要任意选择；(3)势能是属于系统的。实质上势能是相互作用能；❖说明(1)势能是状态（位置坐标）的函数，即：(4)自然界中的大部分能量是以引力势能的形式存在。),,()(zyxVrVV==)0)()(00==r

VrdFrVrr（其中1.势能的计算)(rV由定理可得：即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到势能零点的积分值第五章机械能守恒26mgyVP=VVVWpp−=−−=)(12保即：保守力对

物体作的功等于物体势能增量负值。=0)(rrrdFrV重力势能2三种势能：保守力作功可用势能差表示：rMmGVP−=221kxVP=引力势能弹性势能第五章机械能守恒273势能曲线当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数势能随坐标变化的曲

线称为势能曲线。如图:),,()(zyxVrV=mghVhrVrGMm−第五章机械能守恒Vr122kxrV0r28❖势能曲线的用途：dVrdFdVdW−=−=保守力与势能的关系：WV=−保zVFyVFxVFzyx−=−=−

=,,dzzVdyyVdxxVdV++=dzFdyFdxFrdFzyx++=VkzVjyVixVF−=−−−=ˆˆˆ(1)由势能曲线求保守力第五章机械能守恒29mghVhrVrGMm−Vr122kx第五章机械能守恒rV0rFxFh

-mgFr2GMmr−Fr重力及其势能万有引力及其势能弹性力及其势能双原子分子及其势能30平衡位置：就是物体所受作用力为零的位置。(2)求平衡位置及判断平衡的稳定性：平衡的稳定性：取决于偏离平衡位置时，物体所受力方向：第五章机械能守恒xOVx0xOV

x0xOVx1x0x2022xV(a)稳定平衡(),力始终指向平衡位置；022xV(b)不稳定平衡(),离开平衡位置,力背离平衡位置方向；(c)亚稳平衡;0=F(d)随遇平衡（x1~x2,）。xOVx0x

'031第五章机械能守恒➢利用势能曲线求平衡位置：0=−=VFFxO－kxVx122kx例如：弹性势能➢二维三维情况：特例马鞍形势能曲面中心O处的质点在x方向不稳定平衡，y方向为稳定平衡(3)决定质点的运动范围V0x1

x2rV0r双原子分子势能曲线320WWEE+=−外内非内非内保内WWW+=一、质点系的功能原理（三）机械能守恒定律根据质点系动能定理−=+ikiikiEEWW0内外功能原理—质点系机械能的增量，等

于外力与非保守内力对质点系作功之和。机械能：E=Ek+V第五章机械能守恒与质点系动能定理的关系？0()iiiiWVV=−−内保00()()kiikiiiiiiWWEVEV+=+−+外内非33二、机械能守恒定律当作用于

质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统机械能守恒。时，内非外00==WW当0WWEE+=−外内非根据功能原理：或kdEdV=−或可写为：VEk−=00kiikioiEEEVEV=+=+第五章机械能守恒34第五章机械能

守恒说明：（1）功能原理和机械能守恒定律只在惯性系中成立；非惯性系中要引入惯性力；（2）在不同的参考系中，力所做的功，体系的动能和体系的机械能可能不同；（3）一个体系在一个参考系中机械能守恒，但在另一个参考系中并不一定成立;i.功与参考系有关:内力做

功与参考系无关;外力做功与参考系有关.ii.体系的动能与参考系有关;iii.体系的势能与参考系无关.（4）功是一个过程量,能量是一个状态量.35三、柯尼希（Konig）定理相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质

点的动能之和()iiiiiiikvvmvmE==21212设为质点系的质心速度，为笫i个质点相对质心系的速度，则有cvivicivvv+=代入上式得()()iciciikvvvvmE++=21第五章机械能守恒36()()iiciiciiciciikvmvv

mvmvvvvmE++=++=22212121kcciiickEMvvmmvE+=+=222212121于是质心动能体系相对质心系动能柯尼希定理－体系动能等于质心动能和体系相对质

心系的动能之和.cMv=0=第五章机械能守恒()iimrdMdtM=其中笫三项中iiiidrmvmdt=37第五章机械能守恒四、一般质心系中的功能原理ac=0，质心系为惯性系；ac≠0，质心系（平动参考系）为非惯性系，

此时惯性力所做的总功为：()=itCicirdamAt0惯−=iCiitcrdmat0()CCCtcCiCiiCtciCiitcrmdamrmdmarmda−=−=−=ttt000)(0=即质心系虽为非惯性

系时，可不考虑惯性力所做的功！38五、三种宇宙速度➢笫一宇宙速度－人造卫星21217.9/vMmmGrrGMGMGMvkmsrRhR===+➢笫二宇宙速度（或称逃逸速度）－人造行星（太阳系）飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇

宙速度.飞行物在地球引力作用下，环绕地球表面运行，成为人造卫星.分别考虑r处和无穷远处的机械能0)(0)()(21)(2=−==VErMmGrVmvrEkk，，第五章机械能守恒39应当满足机械能守恒，即，于是)

()(=ErE0212−+rMmGmv取其等于零，得逃逸速度skmRGMRhGMrGMv/2.112222+==第五章机械能守恒❖产生“黑洞”的条件令笫二宇宙速度取其等于光速c，则对质量为M的天体，要成为“黑洞”，其

半径需为22gGMRc=以太阳为例：Ms=1.99x1030kg，2.95gRkm=40➢笫三宇宙速度－人造行星(银河系)飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星.根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的笫三宇宙速度rGMVs23=第五章机械能守恒其中太阳质量（地球质量），太阳-地

球平均距离（地球半径）MMs310332Rr2810234105.1=skmvV/2.4210234103322233=故41这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕太阳的公转速度，两者相减skmv/8.29skmvVV/4.1233−=这是地球-飞行器质

心参考系看来，飞行器冲出地球引力范围时，应有的速度。再追溯到地面附近h高度，发射速度应当满足机械能守恒，即3v021212323+=−+VmRMmGmv第五章机械能守恒注意到，故2221mvRGMm=232223Vvv+=v3VSunEarth3vv+42最

后得出笫三宇宙速度()()skmskmVvv/7.16/4.122.112223223++=综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定高度，物体在水平方向上的三个特征速度：第五章机械能守恒32vvv当，发射体环绕太阳作椭

圆轨道运行；21vvv当，发射体环绕地球作椭园轨道运行；3vv当，发射体将沿双曲线轨道离开太阳系.43（四）两体碰撞与两体问题所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的现象。碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用。一、正碰－对心碰撞说明：①e=0完全非

弹性碰撞②0<e<1非弹性碰撞(如采用不同材料时)③e=1完全弹性碰撞1102201122mvmvmvmv+=+②碰撞定律1201020vvvevvv−==−恢复系数碰撞前两球速度均沿两球中心连线满足：①动量

守恒定律10v2v1v20v1m2m第五章机械能守恒44⑴当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得讨论：()()21211020121212121020121211emmemvvvmmmmemmemvvvmmmm+−=++++−=+++碰撞过程中损失的动能为()()2212102012112

kmmEevvmm=−−+由此可知，对于完全弹性碰撞，e=1，动能守恒；对于完全非弹性碰撞，e=0，动能损失最大.第五章机械能守恒45第五章机械能守恒❖高能粒子加速器资用能:真正参与粒子反应的能量，质心动能不参与反应目的：用来研究微观粒子的结构、相互作用和反应机制10v200v=1m2m10v2

0v1m2m？120,mmm==令情况i情况i:资用能()()()22121020121102kmmEevvemm=−−=+由取20101142kCkEmvE==情况i:资用能2010kCkEmv

E==情况ii:高能粒子对撞1020)vv=(令例如:1987年,北京正负电子对撞机:资用能⎯2x2.2GeV若单束加速:1.9x104GeV46⑵质心系中的正碰撞上面讨论的是在实验室系（L系）中正碰撞。而在质心系（C系）中，由于对质心的动量之和永远为零，故在质心系中描写碰撞，表达形式简单，

物理意义清晰。在L系中，质心速度为11022012cmvmvvmm+=+在C系中，设碰撞前后两质点的速度分别为和则212010vvvv，，1102201122mvmvmvmv0+=+=()211020vvevv−=−由这两方

程可得110220vevvev=−=−第五章机械能守恒47在C系中，碰撞损失的动能为()()22102201122k1Eemvmv=−+思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系?二、弹性

斜碰碰撞前两球的速度不在两球中心连线上的碰撞叫斜碰.一般情况下，斜碰为三维问题.若，则变为二维问题.2010vv，020=v提示：101020201122ccccvvvvvvvvvvvv=+=+=+=+第五章机械能守恒48如图，取的方向为x轴，则上面笫一式化为1

0v110111222111222coscos0sinsinmvmvmvmvmv=+=−22221121012211101212121vmvmvmvmvmvm+=+=在完全弹性碰撞中，

动量和能量都守恒，有式中称为散射角.另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中心在y方向上的距离b有关.b称为瞄准距离.b=0时即为正碰.21、通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才能求出其余三个未知数.b121m2m1v2v10v第五章机械能守恒49例题5.5如图，质量为M的物块

A在离平板为h的高度处自由下落.落在质量也为M的平板B上.已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量.解：本题可分为三个物理过程⑴物块A下落①ghv221=⑵物块A与平板B发生碰撞()②2

1vMMMv+=⑶碰撞后弹簧被压缩机械能守恒0=+=pkEEEh第五章机械能守恒50弹簧被最大压缩时()22210vMMEk+−=()()2212212121gxMMkxxxkEp+−−+=如图，取弹簧不承载平板的平衡位置为坐标原点O.则平板B放上后位移为，物块A碰

撞后位移为，则1x2x根据机械能守恒式，得()()()③0212122122122=+−−+++−gxMMxxxkvMM而④Mgkx=1xh1x2x第五章机械能守恒O51将①、②、④式代入③式，整理后得02222=−−kMghxkMgxhkMgkMgkMgxxx+

+=+=221max2因，故应将负根舍去.得碰撞后弹簧最大压缩量为02x解之得hkMgkMgkMgx+=22第五章机械能守恒52第五章机械能守恒例题5.6弹弓效应如图，土星的质量为5.67x1026kg，以相对于太阳的轨道速率9.6km.

s-1运行；一空间探测器质量为150kg，以相对于太阳10.4km.s-1的速率迎向土星飞行。由于土星的引力，探测器绕过土星沿和原来速度相反的方向离去，求它离开土星的速度。v10v1v20解：将其看成无接触碰撞，其

中e=1，m1可忽略，则()2121102012121emmemvvvmmmm+−=+++11020229.6()vvkms−=−+=−➢探测器绕过土星后由于引力作用速率增大，这种效应称为弹弓效应。53第五章机械能守恒三、两体问题处理方法m1rC1rC2m2r1rCr2O

如图，考虑质量分别为m1和m2的两个质点的孤立体系，质点间的作用力是保守力，由两质点的相对位置决定。取一惯性系，位矢和速度分别为，质心的质量、位矢分别为mC和rC，则有：2121vvrr、和、21mmmC+=在该惯性系中，动力学方程为：212211mmrmrmrC++

=122121Fdtrdm=122222Fdtrdm=FFF=−=2112１．处理方法一（S参考系法）54第五章机械能守恒考虑m1相对于m2的运动。选择与m2（通常选取质量较大的物体）相对静止的参考系，m2位于原点，称该参考系为S系（非惯性系）。21r

rr−=在S系中，m1的位置为r，速度为v：21vvv−=和也可以通过引入惯性力来列出运动的牛顿方程122121Fdtrdm=122222Fdtrdm=FFF=−=2112由FmmmmFmmrrdtd

2121212122)11()(+=+=−令，则2121mmmm+=Fdtrd=22该方程与牛顿定律类似，即利用约化质量，即可把两体问题化成单体问题。其中约化质量，或折合质量55第五章机械能守恒例如：单电子围绕原子核（如H原子），或地球围绕太阳的运动等，

我们通常可以将大质量的物体看成静止，而仅研究小质量物体的运动，即将两体运动问题转化为单体问题。121121211mmmmmmmm=+=+=又由于m1<<m2，则所以在S系中Fdtrdmdtrd==22122这就是我们处理此类两体问题的依据所在。讨论：1.即使m

2不是很大，且m2也运动时，只要利用约化质量，即可把两体问题化成单体问题；2.其它多质点动力学问题不能化成单体问题。即使三体问题也未能一般解出。这类问题通常用摄动法（微扰法）解。56第五章机械能守恒另外取质心为原点建立质心参考系（质心系）在以O点

的惯性系中设m1、m2在质心系中的坐标分别为rC1、rC2，有：)(21212212211111rrmmmmmrmrmrrrrCC−+=++−=−=)(21211212211222rrmmmmmrmrmrrrrCC

−+−=++−=−=22dtrdmCC0=该式表明孤立体系的质心系是惯性系２．处理方法二（质心参考系法）21CCr//r故，且有1.质心在两质点的连线上；2.质点与质心距离反比于质点的质量m1rC1rC2m2r1rCr2OC57第五章机械能守恒在质心系中的机械能：)(

2121222211rVvmvmECC++=)()(21)(2122212122221221rVvmmmmvmmmm++++=)(2122121rVvmmmm++=系统的势能利用约化质量，可得在质心系中的机械能：)(212rVvE+=v

mmmvvmmmvC212212121)(+=−+=vmmmvvmmmvC211212112)(+−=−+−=由上式可得质点m1、m2在质心系中的速度为：()21vvv−=这里58本章基本要

求⒈掌握功的定义及变力做功的计算方法.⒉理解质点和质点系的动能定理的意义及其应用.⒊掌握保守力和由之定义的势能的概念.掌握重力势能、万有引力势能和弹性势能的概念和计算方法,特别注意势能零点的选择.⒋熟练掌握机械守恒定律，并能联系动量守恒定律解决一些问题.⒌理解柯

尼希定理及应用.⒍掌握两体碰撞的基本规律及应用.7.掌握两体问题的处理方法.第五章机械能守恒59