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机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学第5章机械系统自激振动机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机

械动力学5.1自激振动的基本概念导轨爬行现象；机床进行切削加工时，在没有周期性外力的作用下，刀具与工件之间也可能产生强烈的相对振动。这样的自激振动都应予以避免和抑制。自激振动？是不是就不需要外界激励，而自行起振的呢？机电工程学院机械

制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学摩擦系数与质量块和皮带之间的相对速度有关。5.1.1自激振动的特征机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学当c-a

>0，振幅逐渐衰退；当c-a<0,振幅逐渐增大；当c-a=0,系统相当于“无阻尼”而产生等幅的自由振动。可见，在一定条件下，非周期性外力也可激起系统的不衰退振动。假设与相对速度是线性关系，并成反比，即摩擦力的变化量为，则系统运动方程及其解为(5-1-1)(5-1-2)机电工

程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学稳定的临界的不稳定的机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学自激振动的主要特征：•与

自由振动相比，都是在没有周期性外力作用下产生的，但自激振动会从振动中不断吸取能量，补偿阻尼的消耗以维持系统作稳定的等幅振动，这相当于引入一个负阻尼以抵偿系统原有的正阻尼。可见，自振系统中必定有一个能量输入环起到负阻尼的作用。机电工程学院机械制造及自动化系Harbin

InstituteofTechnology机械动力学自激振动的主要特征：•与受迫振动相比，都属于稳定的等幅振动，但自激振动却是在没有周期性外力作用下产生的，维持振动的交变力是自振系统自行产生的，自激振动一旦停止，维持振动的交变力必然同时消失。因此，

在自振系统中必定有一个调整环，能把非振荡性能源转换为交变的内部激振力并得到控制。机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学自激振动的主要特征：•自由振动的振幅与外界干扰有关；受迫振动的振幅和频率都与外界干

扰有关；自激振动的振幅和频率都与外界干扰无关，是完全由系统本身的参数决定的。自激振动是在没有周期性外力的作用下，由系统内部激发及反馈的相互作用而产生的稳定的周期性振动。机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTech

nology机械动力学5.1.2自振系统的组成能产生自激振动的系统，简称自振系统。在自振系统中，振动系统的运动控制着调节系统的作用，调节系统所产生的交变力又控制着振动系统的运动。它们之间相互作用、制约形成了一个

具有反馈特性的封闭系统。机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学自激振动是稳定的等幅振动，因此形成自激振动的条件是，在同一个振动周期内从能源输入系统的能量要等

于系统消耗的能量。自振系统必定是一个非线性系统。5.1.3自振系统的能量关系机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学5.1.4自振系统中输入能量的条件：（1）振动位移滞后于系统的交变作用

力P，或导前于系统的交变阻力F。作用力P是指与振动体前进方向（x的正向）相同的调节系统反馈的交变力。图5-4阻力F是指与振动体前进方向相反的交变力。图5-5作用力P和阻力F只有大小的变化，方向始终不变。机电工

程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学对于作用力系统，交变作用力在一个振动周期T=2/内，向系统所作的功当0

180时，UP>0，表示只要振动位移滞后于交变作用力时，就有能量输入系统。(5-1-3)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTe

chnology机械动力学对于阻力系统，交变阻力在一个振动周期T=2/内，向系统所作的功当-1800时，UF>0，表示只有振动位移导前于交变阻力时，才有能量输入系统。(5-1-4)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstitute

ofTechnology机械动力学5.1.5自激振动的实例例5-1车刀后刀面与工件之间的摩擦引起的切削自振车刀后刀面与工件之间的摩擦过程是这个自振系统的调节环，如图5-7机电工程学院机械制造及自动化系HarbinIns

tituteofTechnology机械动力学(5-1-5)(5-1-6)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学阻尼c和水平切削分力Py都是大于0的正数，只有时，即只有具有随运动速度的增加而下降的区域，即低速区域，才可能产生这

种切削自振。()00+yPc00产生这种切削自激振动的条件是。(5-1-7)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学例5-2刀具前、后角动态变化引起的切削自振机电工程学院机械制造及自动化系Harbin

InstituteofTechnology机械动力学机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学(5-1-8)(5-1-9)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology

机械动力学其运动方程：(5-1-10)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学5.2速度反馈引起的自激振动一单自由度振动系统，所受激振力又受其自身振动速度控制，即成为振

动速度的函数。这种系统叫做速度反馈系统。运动方程：(5-2-1)xxF假定可在=0的附近展成幂级数()xFx()()()()+++=2220!2100xxdFdxxddFFxF(5-2-2)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInst

ituteofTechnology机械动力学略去的高次项及对系统振动无影响的恒力项(5-2-3)代入(5-2-1)式得()0=+++kxxccxm(5-2-4)系统本身的阻尼c，阻碍振动运动，正阻尼；速度反馈引起的阻尼c，如在=0附

近是的增函数，则c<0，负阻尼，超过c，则系统总阻尼，负阻尼，扩大系统的振动。令(5-2-4)式成为其通解为x()xFx0)(+cc()()nnmccmk2,2+==(5-2-5)022=++xxxn

n()()−=−tAetxdtncos(5-2-6)(5-2-7)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学机电工程学院机械制造

及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学下面给出并分析爬行的数学模型对图(a)中质量块m列运动方程(5-2-8)设系统的工作点为下图中o点，为研究系统围绕工作点的波动，将坐标原点移到工作点上，即机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstit

uteofTechnology机械动力学(5-2-9)(5-2-10)积分(5-2-9)式，得(5-2-11)D为积分常数。以上三式代入(5-2-8)式，得机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学令积

分常数D=-F(v0)/k，有(5-2-12)由(5-2-9)和(5-2-10)式知P(v0)=0，并记(5-2-13)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学仅取以上幂级数的线性项，代入(5-2-12)，得(5-2-14)此即(5-2-4)

式。采用(5-2-6)式的记号，得(5-2-15)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学5.3位移的延时反馈引起的自激振动设如图所示系统框图，作用在振动体上的力

本身又受其振动位移的控制，运动方程为()xFkxxcxm=++(5-3-1)当x较小时，可将F(x)在x=0附近展成幂级数略去高次项和常数项，得代入(5-3-1)式，得()()xkxdxdFxF−==0(5-3-2)()0=+++xkkxcxm(5-3

-3)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学振动体的刚度k，正的；位移反馈产生的刚度k，如在x=0附近，F(x)随x增加而增加，则-k>0，负刚度，如-k>k，则系统总刚度，负刚度。下图所示分别为正刚度和负刚度情

形。0)(+kk机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学下图分别给出具有正刚度和负刚度系统的两个例子，即正摆和倒摆。显然后者是不稳定的，但其与前面所述由于负阻尼引起的不稳定有很大不同。机电工程学院机械制造及

自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学由(5-3-3)式，系统固有频率负刚度情形下，0成为虚数，即固有频率并不存在。如，引入记号(5-3-4)0imkkp=+−=0)(+kk022=−+xpxpxmkk+=0

()imkkc−=+−=2(5-3-5)(5-3-6)(5-3-3)式写成令(5-3-7)(5-3-8)()stAetx=机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学代入上式，得特征方程解得方程(5-3-7)的通

解0222=−+ppss()ps2,211+−=(5-3-9)(5-3-10)()tstseAeAtx2121+=(5-3-11)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学由于

负刚度引起的失稳称为静态不稳定，区别于前面的由于负阻尼引起的失稳（动态失稳）。例如金属切削中由于刀具变形引起的负刚度及静态失稳现象。“轧刀”现象。机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstit

uteofTechnology机械动力学近视地视刀具为悬臂梁，完全刚性装夹，则刀具刚度(5-3-12)由位移反馈产生的等效刚度k可推算如下：首先求刀刃纵向下沉量dx与横向伸出量ds关系。集中载荷dP作用下端部挠度和转角分别为，。由图关系得dxlzds23=z为刀刃到刀杆中性面之间距离

。(5-3-13)EIdPlf33=EIdPl22=机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学将切削力与切削厚度之间的函数关系P(s0+ds)在s0附近展成幂

级数切削力的增量式中(5-3-14)由于P(s0+ds)是ds的增函数，故有ks>0。将(5-3-13)式代入(5-3-14)略去高阶微量，得由此得等效刚度(5-3-15)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机

械动力学由此得等效刚度(5-3-16)-ks3z/(2l)是由于位移反馈造成的等效负刚度。产生“轧刀”现象的条件为(5-3-17)防止“轧刀”的一个有效措施是改变刀杆形状，使得刀刃向下变形时，同时会退离工件，而不是轧入工件，这

样上式中的第二项会变成正刚度。机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学可见，单纯位移反馈，或只能使系统正刚度增加，或使刚度减小甚至形成负刚度，而引起静态不稳定，但不可能引起动态不稳定，即自激振动。如

作用在系统上瞬时激振力F(t)不是受当时振动位移x(t)控制，而受到一段时间T之前振动位移x(t-T)控制，则得到位移的延时反馈系统（时延系统），如图其运动方程(5-3-18)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学将函数F[x(t

-T)]线性化处理式中(5-3-19)设则而=T是由于时延引起的相位滞后。将(5-3-21)式、(5-3-22)式代入，引入记号(5-3-20)(5-3-21)(5-3-22)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTe

chnology机械动力学(5-3-23)(5-3-24)(5-3-25)得代入(5-3-19)式，得(5-3-26)可见，位移的延时反馈等价于位移与速度同时反馈，它同时改变了系统的阻尼与刚度。式(5-3-23)、

(5-3-24)给出了由于延时反馈产生的等效刚度和等效阻尼系数。视时延T长短,可出现负刚度或负阻尼，从而引起静态或动态的不稳定。机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学5.4模态耦合引起的自激振动一个

两自由度系统，自由振动运动方程(5-4-1)(5-4-2)(5-4-3)(5-4-4)(5-4-5)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学于是(5-4-1)式成为(5-4-6)每一个刚度系数均有两部分：振动系统本身刚度

kij(i,j=1,2)和位移线性反馈的系数ij(i,j=1,2)。令(5-4-7)(5-4-6)式成为(5-4-8)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学(5-4-8)式不一定满足(5-4-2)-(5-4-4)式。有可能发生

动态或静态不稳定，关键在于位移反馈方式，即(5-4-5)式的具体形式。设形式解为(5-4-9)代入(5-4-8)式，得(5-4-10)有非零解，必有(5-4-11)(5-4-12)展开机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力

学(5-4-12)式即特征方程。假定对于系统(5-4-8)，条件(5-4-2)式仍满足，即K11>0，K22>0。令(5-4-13)(5-4-12)式写成(5-4-14)解得(5-4-15)写成(5-4-16)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteo

fTechnology机械动力学在下面的条件下(5-4-17)解出的(p2)1与(p2)2开方，得p1、p2与p3、p4，系统稳定性取决于四个数的取值，而后者又与Kij有关。系统要么存在稳定的周期运动（由于系统中实际存在着阻尼，周期运动必然会衰减掉），要么会出现静

态不稳定，但不会产生动态不稳定，即不会发生自激振动。如果(5-4-18)机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学则由(5-4-16)式知两根为共轭复数再开方，得两自由度（或多自由度）系统因满足(5-4-18)式而出现自激振动，

称为模态耦合型自激振动。机电工程学院机械制造及自动化系HarbinInstituteofTechnology机械动力学